Princip mogućeg pomaka. Opća jednadžba dinamike Redukcija sila temelji se na principu mogućih pomaka

Slika 2.4

Riješenje

Zamijenimo raspodijeljeno opterećenje koncentriranom silom Q = qDH. Ova sila se primjenjuje u sredini segmenta D.H.- u točki L.

Snaga F rastaviti na komponente projicirajući ga na os: vodoravna F x cosα i okomiti F y sinα.

Slika 2.5

Da bi se problem riješio principom mogućih pomaka, potrebno je da se konstrukcija može kretati i da u isto vrijeme postoji jedna nepoznata reakcija u jednadžbi rada. u podršci A Reakcija se rastavlja na komponente. X A, Y A.

Za određivanje X A promijeniti dizajn potpore A tako da je točka A mogao kretati samo vodoravno. Pomake točaka konstrukcije izražavamo kroz moguću rotaciju dijela CDB oko točke B na uglu δφ 1, Dio AKC konstrukcija u ovom slučaju rotira oko točke C V1- trenutno središte rotacije (slika 2.5) za kut δφ 2, i pokretne točke L I C- volja

δS L = BL∙δφ 1 ;
δS C = BC∙δφ 1.

U isto vrijeme

δS C = CC V1 ∙δφ 2

δφ 2 = δφ 1 ∙BC/CC V1.

Pogodnije je jednadžbu rada sastaviti preko rada momenata zadanih sila, u odnosu na centre rotacije.

Q∙BL∙δφ 1 + F x ∙BH∙δφ 1 + F y ∙ED∙δφ 1 +
+ M∙δφ 2 — X A ∙AC V1 ∙δφ 2 = 0.

Reakcija Y A ne radi. Transformirajući ovaj izraz, dobivamo

Q∙(BH + DH/2)∙δφ 1 + F∙cosα∙BD∙δφ 1 +
+ F∙sinα∙DE∙δφ 1 + M∙δφ 1 ∙BC/CC V1 —
— X A ∙AC V1 ∙δφ 1 ∙BC/CC V1 = 0.

Smanjenje za δφ 1, dobivamo jednadžbu iz koje je lako pronaći X A.

Za određivanje Y A potporna konstrukcija A promijeniti tako da pri pomicanju točke A samo je sila radila Y A(Slika 2.6). Uzmimo za eventualni pomak dijela konstrukcije bdc rotacija oko fiksne točke B — δφ 3.

Slika 2.6

Za točku C δS C = BC∙δφ 3, trenutno središte rotacije za dio strukture AKC bit će točka C V2, i pomicanje točke C izrazio.

Princip mogućih kretanja: za ravnotežu mehaničkog sustava s idealnim vezama potrebno je i dovoljno da zbroj elementarnih radova svih aktivnih sila koje na njega djeluju za svaki mogući pomak bude jednak nuli. odnosno u projekcijama: .

Načelo mogućih pomaka daje u općem obliku uvjete ravnoteže za bilo koji mehanički sustav, daje opću metodu za rješavanje problema statike.

Ako sustav ima više stupnjeva slobode, tada se jednadžba principa mogućih pomaka sastavlja za svaki od nezavisnih pomaka posebno, tj. bit će onoliko jednadžbi koliko sustav ima stupnjeva slobode.

Načelo mogućih pomaka pogodno je jer se pri razmatranju sustava s idealnim vezama ne uzimaju u obzir njihove reakcije i potrebno je djelovati samo s aktivnim silama.

Načelo mogućih kretanja formulira se na sljedeći način:

Majci. sustav podvrgnut idealnim ograničenjima miruje, potrebno je i dovoljno da zbroj elementarnih radova aktivnih sila na moguće pomake točaka sustava bude pozitivan

Jednadžba opće dinamike- kada se sustav kreće s idealnim vezama u bilo kojem trenutku vremena, zbroj elementarnih radova svih primijenjenih aktivnih sila i svih sila tromosti na bilo koje moguće kretanje sustava bit će jednak nuli. Jednadžba koristi princip mogućih pomaka i d'Alembertov princip i omogućuje sastavljanje diferencijalnih jednadžbi gibanja za bilo koji mehanički sustav. Daje opću metodu za rješavanje problema dinamike.

Redoslijed kompilacije:

a) na svako tijelo djeluju određene sile koje na njega djeluju, a također se uvjetno primjenjuju sile i momenti parova sila tromosti;

b) obavijestiti sustav o mogućim kretanjima;

c) sastavite jednadžbe principa mogućih pomaka, smatrajući da je sustav u ravnoteži.

Treba napomenuti da se opća jednadžba dinamike također može primijeniti na sustave s neidealnim vezama, samo u tom slučaju reakcije neidealnih veza, kao što su npr. sila trenja ili moment trenja kotrljanja, moraju klasificirati kao aktivne sile.

Rad na mogućem pomaku i aktivne i sile tromosti traži se na isti način kao i elementarni rad na stvarnom pomaku:

Mogući rad sile: .

Mogući rad momenta (par sila): .

Generalizirane koordinate mehaničkog sustava su međusobno neovisni parametri q 1 , q 2 , …, q S bilo koje dimenzije, koji jednoznačno određuju položaj sustava u svakom trenutku.

Broj generaliziranih koordinata je S - broj stupnjeva slobode mehaničkog sustava. Položaj svake ν-te točke sustava, odnosno njezin radijus vektor, u općem slučaju uvijek se može izraziti kao funkcija generaliziranih koordinata:

Opća jednadžba dinamike u generaliziranim koordinatama izgleda kao sustav S jednadžbi kako slijedi:

……..………. ;

………..……. ;

ovdje je generalizirana sila koja odgovara generaliziranoj koordinati:

a je generalizirana sila inercije koja odgovara generaliziranoj koordinati:

Broj nezavisnih mogućih pomaka sustava naziva se broj stupnjeva slobode tog sustava. Na primjer. lopta se u ravnini može kretati u bilo kojem smjeru, ali se svako moguće kretanje može dobiti kao geometrijski zbroj dvaju kretanja po dvjema međusobno okomitim osima. Slobodno kruto tijelo ima 6 stupnjeva slobode.

Generalizirane sile. Za svaku generaliziranu koordinatu može se izračunati odgovarajuća generalizirana sila Qk.

Izračun se vrši prema ovom pravilu.

Za određivanje generalizirane sile Qk koji odgovara generaliziranoj koordinati q k, ovoj koordinati trebate dati prirast (povećati koordinatu za ovaj iznos), ostavljajući sve ostale koordinate nepromijenjene, izračunati zbroj rada svih sila primijenjenih na sustav na odgovarajućim pomacima točaka i podijeliti ga s prirastom koordinate:

gdje je pomak ja-ta točka sustava, dobivena mijenjanjem k-th generalizirana koordinata.

Generalizirana sila se određuje pomoću elementarnog rada. Stoga se ova sila može izračunati drugačije:

A budući da postoji povećanje radijus vektora zbog povećanja koordinata s preostalim koordinatama i vremenom nepromijenjenim t, omjer se može definirati kao djelomična derivacija od . Zatim

gdje su koordinate točaka funkcije generaliziranih koordinata (5).

Ako je sustav konzervativan, odnosno kretanje se događa pod djelovanjem potencijalnih sila polja, čije su projekcije , gdje su , a koordinate točaka su funkcije generaliziranih koordinata, tada

Generalizirana sila konzervativnog sustava je parcijalna derivacija potencijalne energije u odnosu na odgovarajuću generaliziranu koordinatu s predznakom minus.

Naravno, kada se računa ova generalizirana sila, potencijalna energija treba biti definirana kao funkcija generaliziranih koordinata

P = P( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).

Opaske.

Prvi. Pri proračunu generaliziranih sila reakcije ne uzimaju se u obzir idealne veze.

Drugi. Dimenzija generalizirane sile ovisi o dimenziji generalizirane koordinate.

Lagrangeove jednadžbe 2. vrste izvode se iz opće jednadžbe dinamike u generaliziranim koordinatama. Broj jednadžbi odgovara broju stupnjeva slobode:

Za sastavljanje Lagrangeove jednadžbe 2. vrste biraju se generalizirane koordinate i nalaze se generalizirane brzine . Nađena je kinetička energija sustava koja je funkcija generaliziranih brzina , a u nekim slučajevima i generalizirane koordinate. Izvode se operacije diferenciranja kinetičke energije predviđene lijevim dijelovima Lagrangeovih jednadžbi. Dobiveni izrazi se izjednačuju s generaliziranim silama, za koje se osim formula (26) često koriste pri rješavanju problemi:

U brojniku desne strane formule - zbroj elementarnog rada svih aktivnih sila na mogućem pomaku sustava, koji odgovara varijaciji i-te generalizirane koordinate - . S ovim mogućim pomakom sve ostale generalizirane koordinate se ne mijenjaju. Dobivene jednadžbe su diferencijalne jednadžbe gibanja mehaničkog sustava sa S stupnjevi slobode.

Potrebno je i dovoljno da zbroj rada svih aktivnih sila na sustav pri eventualnom pomaku sustava bude jednak nuli.

Broj jednadžbi koje se mogu sastaviti za mehanički sustav, na temelju principa mogućih pomaka, jednak je broju stupnjeva slobode samog tog mehaničkog sustava.

Književnost

• Targ S. M. Kratki tečaj teorijske mehanike. Proc. za visoke tehničke škole.- 10. izd., revidirano. i dodatni - M.: Viši. škola, 1986.- 416 str., ilustr.
• Glavni tečaj teorijske mehanike (prvi dio) N. N. Bukhgolts, izdavačka kuća "Nauka", Glavna redakcija fizičke i matematičke literature, Moskva, 1972, 468 stranica.

Zaklada Wikimedia. 2010. godine.

Pogledajte što je "Princip mogućih kretanja" u drugim rječnicima:

princip mogućih kretanja

Jedan od varijacijskih principa mehanike, koji uspostavlja opći uvjet za ravnotežu mehaničkog sustava. Prema V. p. p., za ravnotežu mehaničkog. sustava s idealnim ograničenjima (vidi MEHANIČKE VEZE) potrebno je i dovoljno da zbroj radova dAi… … Fizička enciklopedija

Veliki enciklopedijski rječnik

NAČELO MOGUĆIH GIBANJA, za ravnotežu mehaničkog sustava potrebno je i dovoljno da zbroj radova svih sila koje djeluju na sustav za svaki mogući pomak sustava bude jednak nuli. Načelo mogućeg pomaka primjenjuje se kada… … enciklopedijski rječnik

Jedan od varijacijskih principa mehanike (vidi Varijacijski principi mehanike), koji uspostavlja opći uvjet za ravnotežu mehaničkog sustava. Prema V. p. p., za ravnotežu mehaničkog sustava s idealnim vezama (vidi Veze ... ... Velika sovjetska enciklopedija

Princip virtualnih brzina, diferencijalni varijacijski princip klasične mehanike, koji izražava najopćenitije uvjete za ravnotežu mehaničkih sustava ograničenih idealnim vezama. Prema V. p. p. mehan. sustav je u ravnoteži... Matematička enciklopedija

Za ravnotežu mehaničkog sustava potrebno je i dovoljno da zbroj radova svih sila koje djeluju na sustav za svaki mogući pomak sustava bude jednak nuli. U proučavanju uvjeta ravnoteže primjenjuje se princip mogućih pomaka ... ... enciklopedijski rječnik

Za mehaničku ravnotežu sustava potrebno je i dovoljno da zbroj rada svih sila koje djeluju na sustav za svaki mogući pomak sustava bude jednak nuli. V. p. p. koristi se u proučavanju uvjeta ravnoteže za složene mehan. sustavi…… Prirodna znanost. enciklopedijski rječnik

princip virtualnih pomaka- virtualiųjų poslinkių principas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. princip virtualnog pomaka vok. Prinzip der virtuellen Verschiebungen, n rus. princip virtualnih pomaka, m; princip mogućih kretanja, m pranc. principe des … Fizikos terminų žodynas

Jedno od varijacijskih načela mehanike, prema Romi za danu klasu mehaničkih gibanja koja se međusobno uspoređuju. sustav vrijedi za koje fizičke. vrijednost, tzv djelovanja, ima najmanji (točnije stacionarni) ... ... Fizička enciklopedija

knjige

• Teorijska mehanika. U 4 sveska. Svezak 3: Dinamika. Analitička mehanika. Tekstovi predavanja. Vulture Ministarstva obrane Ruske Federacije, Bogomaz Irina Vladimirovna. Udžbenik sadrži dva dijela objedinjenog kolegija teorijske mehanike: dinamiku i analitičku mehaniku. U prvom dijelu detaljno se razmatraju prvi i drugi problem dinamike, također ...

Postavljanje općeg uvjeta ravnoteže mehaničkog sustava. Prema ovom principu, za ravnotežu mehaničkog sustava s idealnim ograničenjima potrebno je i dovoljno da zbroj virtualnih radova $A\_i$ samo aktivne sile na bilo koji mogući pomak sustava bila jednaka nuli (ako se sustav dovede u ovaj položaj s brzinama nula).

Broj linearno neovisnih jednadžbi ravnoteže koje se mogu sastaviti za mehanički sustav, na temelju načela mogućih pomaka, jednak je broju stupnjeva slobode tog mehaničkog sustava.

moguće pokreta imaginarni infinitezimalni pomaci dopušteni u danom trenutku ograničenjima nametnutim sustavu nazivaju se neslobodni mehanički sustavi (u ovom slučaju, vrijeme uključeno eksplicitno u jednadžbe nestacionarnih ograničenja smatra se fiksnim). Projekcije mogućih pomaka na Kartezijeve koordinatne osi nazivaju se varijacije Kartezijeve koordinate.

Virtualan pokreta nazivaju se infinitezimalni pomaci koje dopuštaju veze, sa "zamrznutim vremenom". Oni. razlikuju se od mogućih pomaka samo kada su veze reonomne (izričito ovisne o vremenu).

Ako je npr. Sustav nametnut $l$ holonomne reonomske veze:

$f\_(\backslash alpha)(\backslash vec\; r,\; t)\; =\; 0,\; \backslash quad\; \backslash alpha\; =\; \backslash overline(1,l)$

Zatim mogući pokreti $\backslash Delta\; \backslash vec\; r$ su one koje zadovoljavaju

$\backslash sum\_(i=1)^(N)\; \backslash frac(\backslash partial\; f\_(\backslash alpha))(\backslash partial\; \backslash vec(r))\; \backslash cdot\; \backslash Delta\; \backslash vec(r)\; +\; \backslash frac(\backslash partial\; f\_(\backslash alpha\; ))(\backslash partial\; t)\; \backslash Delta\; t\; =\; 0,\; \backslash quad\; \backslash alpha\; =\; \backslash overline(1,l)$

I virtualni $\backslash delta\; \backslash vec\; r$:

$\backslash sum\_(i=1)^(N)\; \backslash frac(\backslash partial\; f\_(\backslash alpha))(\backslash partial\; \backslash vec(r))\backslash delta\; \backslash vec(r)\; =\; 0,\; \backslash quad\; \backslash alpha\; =\; \backslash overline(1\; ,l)$

Virtualni pomaci, općenito govoreći, nemaju nikakve veze s procesom gibanja sustava - oni se uvode samo da bi se otkrili odnosi sila koji postoje u sustavu i dobili uvjeti ravnoteže. Potrebna je malenost pomaka da bi se reakcije idealnih veza mogle smatrati nepromijenjenima.

Napišite recenziju na članak "Načelo mogućih pomaka"

Književnost

• Buchholz N. N. Osnovni tečaj teorijske mehanike. Dio 1. 10. izd. - St. Petersburg: Lan, 2009. - 480 str. - ISBN 978-5-8114-0926-6.
• Targ S. M. Kratki tečaj teorijske mehanike: udžbenik za sveučilišta. 18. izd. - M .: Viša škola, 2010. - 416 str. - ISBN 978-5-06-006193-2.
• Markeev A.P. Teorijska mehanika: udžbenik za sveučilišta. - Iževsk: Istraživački centar "Regularna i kaotična dinamika", 2001. - 592 str. - ISBN 5-93972-088-9.

Izvadak koji karakterizira načelo mogućih pomaka

– Nous y voila, [To je bit.] Zašto mi nisi prije rekao?
“U aktovci od mozaika koju drži pod jastukom. Sad znam”, rekla je princeza ne odgovorivši. “Da, ako za mene postoji grijeh, veliki grijeh, onda je to mržnja prema ovom gadu”, gotovo je viknula princeza, posve promijenjena. “A zašto se ona trlja ovdje?” Ali reći ću joj sve, sve. Doći će vrijeme!

Dok su se takvi razgovori vodili u sobi za primanje iu kneginjinim sobama, kočija s Pjerom (kojeg su poslali) i Anom Mihajlovnom (koja je smatrala potrebnim poći s njim) uvezla se u dvorište grofa Bezuhoja. Kad su kotači kočije tiho zazvocali po slami položenoj ispod prozora, Ana Mihajlovna se utješno obrativši svome suputniku, uvjeri se da on spava u kutu kočije i probudi ga. Probudivši se, Pierre je izašao iz kočije za Anom Mihajlovnom i tada je samo razmišljao o susretu s umirućim ocem koji ga je čekao. Primijetio je da se nisu dovezli na prednji, nego na stražnji ulaz. Dok je silazio s podnožja, dva čovjeka u buržoaskoj odjeći žurno su pobjegla s ulaza u sjenu zida. Zastajući, Pierre ugleda u sjeni kuće s obje strane još nekoliko istih ljudi. Ali ni Ana Mihajlovna, ni lakaj, ni kočijaš, koji nisu mogli ne vidjeti te ljude, nisu obraćali pozornost na njih. Dakle, ovo je tako potrebno, zaključi Pierre u sebi i pođe za Anom Mihajlovnom. Ana Mihajlovna se užurbanim korakom penjala slabo osvijetljenim uskim kamenim stubama, dozivajući Pjera, koji je zaostajao za njom, koji, iako nije razumio zašto uopće mora ići do grofa, a još manje zašto mora ići s njim. stražnjim stepenicama, ali je, sudeći po samopouzdanju i žurbi Ane Mihajlovne, zaključio da je to potrebno. Na pola stepenica skoro su ih oborili neki ljudi s kantama, koji su, zveckajući čizmama, potrčali prema njima. Ti su se ljudi stisnuli uza zid da propuste Pjera i Anu Mihajlovnu i nisu se nimalo iznenadili ugledavši ih.
- Ima li ovdje poluprinceza? Anna Mikhailovna upita jednog od njih...
- Evo - odgovori lakaj odvažnim, jakim glasom, kao da je sada već sve moguće - vrata su lijevo, majko.
„Možda me grof nije pozvao“, rekao je Pierre dok je izlazio na peron, „ja bih otišao na svoje mjesto.
Ana Mihajlovna zastane da sustigne Pierrea.
Ah, mon ami! - rekla je istom kretnjom kao i ujutro sa sinom, dodirujući mu ruku: - croyez, que je souffre autant, que vous, mais soyez homme. [Vjeruj mi, ne patim ništa manje od tebe, ali budi čovjek.]
- Dobro, ići ću? - upita Pierre, nježno gledajući kroz naočale Anu Mihajlovnu.

Načelo mogućih pomaka omogućuje rješavanje širokog spektra zadataka o ravnoteži mehaničkih sustava - pronaći nepoznate aktivne sile, odrediti reakcije veza, pronaći ravnotežne položaje mehaničkog sustava pod djelovanjem primijenjenog sustava sila. . Ilustrirajmo to konkretnim primjerima.

Primjer 1. Odredite veličinu sile P koja drži teške glatke prizme s masama u stanju ravnoteže. Kut skošenja prizmi je (slika 73).

Riješenje. Poslužimo se principom mogućih pomaka. Recimo sustavu mogući pomak i izračunajmo mogući rad aktivnih sila:

Mogući rad gravitacije je nula, jer je sila okomita na elementarni vektor pomaka točke djelovanja sile. Zamjenom vrijednosti ovdje i izjednačavanjem izraza s nulom, dobivamo:

Kako je , tada je izraz u zagradama jednak nuli:

Odavde nalazimo

Primjer 2. Homogena greda AB duljine i težine P, opterećena parom sila sa zadanim momentom M, učvršćena je kako je prikazano na sl. 74 i miruje. Odredi reakciju štapa BD ako s horizontom zatvara kut a.

Riješenje. Zadatak se razlikuje od prethodnog po tome što je ovdje potrebno pronaći reakciju idealne veze. Ali u jednadžbi rada koja izražava princip mogućih pomaka, reakcije idealnih veza nisu uključene. U takvim slučajevima treba primijeniti načelo mogućih pomaka zajedno s načelom oslobađanja od veza.

Mentalno odbacimo štap BD i razmotrimo njegovu reakciju S kao djelatnu silu nepoznate veličine. Nakon toga ćemo obavijestiti sustav o mogućem kretanju (pod uvjetom da je ta veza potpuno odsutna). To će biti elementarna rotacija grede AB pod kutom oko osi zgloba A u jednom ili drugom smjeru (na slici 74 - suprotno od kazaljke na satu). Elementarni pomaci točaka primjene aktivnih sila i s njima povezana reakcija S jednaki su:

Sastavljamo jednadžbu rada

Izjednačavanje s nulom izraza u zagradama, odavde nalazimo

Primjer 3. Homogena šipka OA učvršćena je utegom pomoću cilindričnog zgloba O i opruge AB (slika 75). Odredite položaje u kojima štap može biti u ravnoteži ako je konstanta opruge jednaka prirodnoj duljini opruge k, a točka B je na istoj vertikali s točkom O.

Riješenje. Na štap OA djeluju dvije aktivne sile - vlastita težina i elastična sila opruge pri čemu je kut koji štap čini s vertikalom OB. Idealne su superponirane veze (u ovom slučaju postoji samo jedna veza - šarka O).

Obavještavamo sustav o mogućem pomaku - elementarnoj rotaciji šipke oko osi šarke O pod kutom , izračunamo mogući rad aktivnih sila i izjednačimo ga s nulom:

Zamijenivši ovdje izraz za silu F i vrijednost

Nakon jednostavnih transformacija dobivamo sljedeću trigonometrijsku jednadžbu za određivanje kuta (p u ravnoteži štapa:

Jednadžba definira tri vrijednosti za kut:

Dakle, štap ima tri ravnotežna položaja. Budući da prva dva ravnotežna položaja postoje ako je zadovoljen uvjet. Ravnoteža uvijek postoji.

Zaključno, napominjemo da se načelo mogućih pomaka može primijeniti i na sustave s neidealnim ograničenjima. Naglasak na idealnosti veza stavljen je u formulaciji principa s jednim jedinim ciljem - pokazati da se jednadžbe ravnoteže mehaničkih sustava mogu sastaviti bez uključivanja reakcija idealnih veza u njih, čime se pojednostavljuju izračuni.

Za sustave s neidealnim vezama načelo mogućih pomaka treba preformulirati na sljedeći način: za ravnotežu mehaničkog sustava s ograničenjima, među kojima ima i neidealnih veza, potrebno je i dovoljno da mogući rad aktivnih sila a reakcije neidealnih veza jednaka nuli. Međutim, moguće je odustati od preformulacije načela, konvencionalno klasificirajući reakcije neidealnih veza kao aktivne sile.

Pitanja za samoispitivanje

1. Koja je glavna značajka neslobodnog mehaničkog sustava u usporedbi sa slobodnim?

2. Što se naziva mogućim pomakom? Navedite primjere.

3. Kako se određuju promjene koordinata točaka sustava tijekom njegovog mogućeg pomaka (navedite tri načina)?

4. Kako se klasificiraju veze prema vrsti njihovih jednadžbi? Navedite primjere obveznica koje drže i ne drže, stacionarne i nestacionarne.

5. U kojem slučaju se spoj naziva idealnim? Nije idealno?

6. Usmeno formulirati i matematički zabilježiti princip mogućih pomaka.

7. Kako je formuliran princip mogućih pomaka za sustave koji sadrže nesavršene veze?

8. Navedite glavne tipove problema koji se rješavaju načelom mogućih pomaka.

Vježbe

Primjenom principa mogućih pomaka riješite sljedeće zadatke iz zbirke I.V. Meshchersky 1981 izdanja: 46,1; 46,8; 46.17; 2.49; 4.53.