Polinomok - Módszertani kézikönyv. Önállóan megoldandó problémák

Meghatározás 3.3. Egytagú olyan kifejezés, amely számok, változók és hatványok szorzata természetes kitevővel.

Például mindegyik kifejezés,
,
egy monom.

Azt mondják, hogy a monomiálisnak van standard nézet , ha eleve csak egy numerikus tényezőt tartalmaz, és benne azonos változók minden szorzata egy fokkal van ábrázolva. A szabványos formában írt monom numerikus tényezőjét ún a monom együtthatója . A monomiális ereje által az összes változója kitevőinek összegének nevezzük.

Meghatározás 3.4. Polinom monomiálisok összegének nevezzük. Azokat a monomokat, amelyekből egy polinom áll, nevezzüka polinom tagjai .

Hasonló kifejezéseket - a polinomban lévő monomokat - nevezzük a polinom hasonló tagjai .

Meghatározás 3.5. Szabvány alakú polinom polinomnak nevezzük, amelyben az összes kifejezést szabványos formában írjuk fel, és hasonló kifejezéseket adunk meg.Szabvány alakú polinom foka a benne foglalt monomok legnagyobb hatványának nevezzük.

Például egy negyedfokú standard alakú polinom.

Műveletek monomokon és polinomokon

A polinomok összege és különbsége standard alakú polinommá alakítható. Két polinom összeadásakor az összes tagot leírjuk, és hasonló kifejezéseket adunk meg. Kivonáskor a kivonandó polinom összes tagjának előjele megfordul.

Például:

A polinomok tagjai csoportokra oszthatók és zárójelek közé tehetők. Mivel ez a transzformáció azonos a zárójelek nyitásával, a következőt állapítjuk meg zárójelezési szabály: ha a zárójelek elé pluszjelet teszünk, akkor minden zárójelbe tett kifejezést a jeleivel együtt írunk; Ha mínusz jelet teszünk a zárójelek elé, akkor minden zárójelbe tett kifejezést ellentétes előjellel írunk.

Például,

Polinom polinommal való szorzásának szabálya: Egy polinom polinommal való megszorzásához elegendő egy polinom minden tagját megszorozni egy másik polinom minden tagjával, és összeadni a kapott szorzatokat.

Például,

Meghatározás 3.6. Polinom egy változóban fokon a forma kifejezésének nevezzük

Ahol
- bármilyen hívott szám polinomiális együtthatók , és
,– nem negatív egész szám.

Ha
, akkor az együttható hívott a polinom vezető együtthatója
, monomiális
- övé rangidős, korelnök , együttható – ingyenes tag .

Ha változó helyett polinomhoz
helyettesítő valós szám , akkor az eredmény egy valós szám lesz
amelyet úgy hívnak a polinom értéke
nál nél
.

Meghatározás 3.7. Szám hívotta polinom gyöke
, Ha
.

Fontolja meg egy polinom elosztását egy polinommal, ahol
És - egész számok. Az osztás akkor lehetséges, ha a polinomiális osztalék mértéke
nem kisebb, mint az osztópolinom foka
, vagyis
.

Polinom felosztása
polinomhoz
,
, két ilyen polinom megtalálását jelenti
És
, nak nek

Ebben az esetben a polinom
fokon
hívott polinom-hányados ,
– a maradék ,
.

Megjegyzés 3.2. Ha az osztó
–nem nulla polinom, akkor osztás
tovább
,
, mindig megvalósítható, és a hányados és a maradék egyedileg meghatározott.

Megjegyzés 3.3. Abban az esetben
mindenki előtt , vagyis

azt mondják, hogy ez egy polinom
teljesen megosztott(vagy részvényeket)polinomhoz
.

A polinomok felosztása a többjegyű számok osztásához hasonlóan történik: először az osztópolinom vezető tagját elosztjuk az osztópolinom vezető tagjával, majd a tagok osztásából származó hányadossal, ami lesz a hányadospolinom vezető tagját megszorozzuk az osztópolinommal, és a kapott szorzatot kivonjuk az osztópolinomból. Ennek eredményeként egy polinomot kapunk - az első maradékot, amelyet hasonló módon osztunk el az osztópolinommal, és megtaláljuk a hányados polinom második tagját. Ezt a folyamatot addig folytatjuk, amíg nulla maradékot nem kapunk, vagy a maradék polinom foka kisebb, mint az osztópolinom foka.

Ha egy polinomot osztunk binomimmal, használhatjuk a Horner-sémát.

Horner-séma

Tegyük fel, hogy fel akarunk osztani egy polinomot

binomiálisan
. Az osztás hányadosát jelöljük polinomként

és a maradék - . Jelentése , polinomiális együtthatók
,
és a maradék Írjuk a következő formában:

Ebben a sémában az egyes együtthatók
,
,
, …,az alsó sorban lévő előző számból a számmal való szorzással kapott és a kapott eredményhez hozzáadjuk a megfelelő számot a kívánt együttható feletti felső sorban. Ha bármilyen végzettség hiányzik a polinomból, akkor a megfelelő együttható nulla. Miután meghatároztuk az együtthatókat az adott séma szerint, felírjuk a hányadost

és az osztás eredménye, ha
,

vagy ,

Ha
,

3.1. Tétel. Annak érdekében, hogy egy redukálhatatlan tört (

,

)volt a polinom gyöke
egész együtthatókkal, szükséges, hogy a szám a szabad kifejezés osztója volt , és a szám - a vezető együttható osztója .

Tétel 3.2. (Bezout tétele ) Maradék polinom felosztásából
binomiálisan
egyenlő a polinom értékével
nál nél
, vagyis
.

Polinom felosztásánál
binomiálisan
egyenlőségünk van

Ez különösen akkor igaz, amikor
, vagyis
.

Példa 3.2. Oszd el
.

Megoldás. Alkalmazzuk Horner sémáját:

Ennélfogva,

Példa 3.3. Oszd el
.

Megoldás. Alkalmazzuk Horner sémáját:

Ennélfogva,

,

Példa 3.4. Oszd el
.

Megoldás.

Ennek eredményeként azt kapjuk

Példa 3.5. Feloszt
tovább
.

Megoldás. Osszuk el a polinomokat oszlopokkal:

Akkor kapunk

.

Néha hasznos egy polinomot két vagy több polinom egyenlő szorzataként ábrázolni. Az ilyen identitástranszformációt ún polinom faktorálása . Tekintsük az ilyen bontás főbb módszereit.

A közös tényezőt zárójelből kivéve. Ahhoz, hogy egy polinomot úgy faktorozhasson, hogy a közös tényezőt kiveszi a zárójelekből, a következőket kell tennie:

1) Keresse meg a közös tényezőt. Ehhez, ha a polinom összes együtthatója egész szám, akkor a polinom összes együtthatójának legnagyobb modulo közös osztóját tekintjük a közös tényező együtthatójának, és a polinom összes tagjában szereplő minden változót a legnagyobbkal veszünk. kitevője van ebben a polinomban;

2) keresse meg egy adott polinom közös tényezővel való osztásának hányadosát;

3) írja fel az általános tényező és a kapott hányados szorzatát!

A tagok csoportosítása. Egy polinom csoportosítási módszerrel történő faktorálásakor annak tagjait két vagy több csoportra osztjuk, így mindegyik szorzattá alakítható, és a kapott szorzatoknak közös tényezője lenne. Ezt követően az újonnan transzformált kifejezések közös tényezőjének zárójelbe vételének módszerét alkalmazzuk.

Rövidített szorzóképletek alkalmazása. Azokban az esetekben, amikor a bővítendő polinom faktorokba, bármely rövidített szorzási képlet jobb oldalának alakja, faktorizálása a megfelelő, eltérő sorrendben felírt képlet használatával érhető el.

Hadd

, akkor a következők igazak rövidített szorzóképletek:

Mert :
Ha páratlan ( ):
Newton binomiális: Ahol – kombinációinak száma Által .

Új segédtagok bevezetése. Ez a módszer abból áll, hogy egy polinomot lecserélünk egy másik polinomra, amely azonos vele azonos, de eltérő számú tagot tartalmaz, két ellentétes tag bevezetésével vagy bármely tag helyettesítésével azonos monomok azonos összegével. A csere úgy történik, hogy a kapott polinomra a tagok csoportosításának módszere alkalmazható.

Példa 3.6..

Megoldás. A polinom minden tagja tartalmaz egy közös tényezőt
. Ennélfogva,.

Válasz: .

Példa 3.7.

Megoldás. Külön csoportosítjuk az együtthatót tartalmazó kifejezéseket és kifejezéseket tartalmazó kifejezések . A csoportok közös tényezőit zárójelekből kivéve a következőket kapjuk:

.

Válasz:
.

Példa 3.8. Tényező egy polinom
.

Megoldás. A megfelelő rövidített szorzási képlet segítségével a következőket kapjuk:

Válasz: .

Példa 3.9. Tényező egy polinom
.

Megoldás. A csoportosítási módszer és a megfelelő rövidített szorzási képlet segítségével a következőt kapjuk:

.

Válasz: .

3.10. példa. Tényező egy polinom
.

Megoldás. Cseréljük tovább
, csoportosítsa a kifejezéseket, alkalmazza a rövidített szorzási képleteket:

.

Válasz:
.

Példa 3.11. Tényező egy polinom

Megoldás. Mert ,
,
, Azt

Az óra témája:

Polinomok egy változóban.

11. évfolyam

Matematika tanár

Kazantseva M. V.

MBOU "110. számú középiskola"

Nézzük a polinomokat:

2x 2 – 11x +12

– 14x 5 + 3x 2 – 6x+7

x 6 + 11

Ezek a polinomok szabványos formában vannak felírva.

Egy szabványos polinom nem tartalmaz hasonló kifejezéseket, és a tagok fokozatai szerint csökkenő sorrendben írják le.

P(x)= a P x P +a n–1 x n–1 +a n–2 x n–2 +

+… + a 2 x 2 + a 1 x+a 0

Ahol A 0 , A 1 , A 2 …. A P – néhány szám, és A P  0, p 

A P x P – a polinom vezető tagja

A P – együttható nál nél idősebb

tag

P – polinom foka

A 0 – a polinom szabad tagja

P(x)= a P x P +a n–1 x n–1 +a n–2 x n–2 +

+… + a 2 x 2 + a 1 x+a 0

Ha

A P =1 ,

majd a polinom P (x) - redukált

Példa: x+3; x 5 +3x 2 -4

A P ≠1 ,

majd a polinom P (x) - redukálatlan

Példa: 2x 2 +x; -0,5x 7 +3x 3 -11

1. tétel:

Két polinom ( szabványos típus) azonosak, ha a hatványaik egyenlőek, és az x azonos hatványainak együtthatói egyenlőek.

1. számú feladat

Keresse meg az a és b számokat, ha a polinom x 3 + 6x 2 + ah + b egyenlő a binomiális kockájával x + 2

Műveletek polinomokkal:

1. Összeadás és kivonás.

Két különböző fokú polinom összeadásakor (kivonásakor) egy olyan polinomot kapunk, amelynek foka megegyezik a rendelkezésre álló fokok közül a nagyobbikkal.

2. feladat

Keresse meg a polinomok összegét!

x+3 és -0,5x 5 +3x 2 -4

Műveletek polinomokkal:

1. Összeadás és kivonás.

Két azonos fokú polinom összeadásakor (kivonásakor) azonos vagy kisebb fokú polinomot kapunk.

3. feladat

Keresse meg az összeget és a különbséget polinomok

2x 3 +3x 2 -x és -2x 3 +3x-4

Műveletek polinomokkal:

2. Munka.

Ha a p(x) polinomnak a legmagasabb m foka, és az s(x) polinomnak a legmagasabb n foka, akkor a szorzatuk р(х)∙ s(x) m+n foka.

4. feladat

Keress egy darabot polinomok

x+3 és -0,5x 5 +3x 2 -4

Műveletek polinomokkal:

3. Hatványozás.

Ha egy m fokú p(x) polinomot n hatványra emelünk, akkor mn fokú polinomot kapunk.

5. probléma

Szerkesszünk polinomot

-0,5x 5 +3x 2 -4 négyzet alakú

Műveletek polinomokkal:

4. Egy polinom felosztása polinom.

Ha egy p(x) polinom osztható egy nem nulla s(x) polinommal, ha van olyan q(x) polinom, amelyre az azonosság érvényes:

p(x) = s(x) q(x)

p(x) – osztható (vagy többszörös)

s(x) – osztó

q(x) – hányados

Sarokosztási módszer

Polinom felosztása 8x 2 +10х–3 polinomhoz 2x+3

2x+3

– 3

8x 2 +10х–3

–

8x 2 +12x

– 1

4x

– 2x

–

– 2x–3

0

6. probléma

Polinom felosztása 6x 3 +7x 2 – 6x +1 polinomhoz 3x –1

7. probléma

Polinom felosztása x 3 – 3x 2 + 5x – 15 polinomhoz x-3

8. számú probléma

Polinom felosztása x 4 + 4 polinomhoz x 2 + 2x + 2

lecke a témában: "A polinom fogalma és meghatározása. A polinom standard alakja"

Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el megírni észrevételeiket, véleményeiket, kívánságaikat. Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrizte.

Oktatási segédanyagok és szimulátorok az Integral webáruházban 7. osztályosoknak
Elektronikus tankönyv Yu.N. tankönyve alapján. Makarycheva
Elektronikus tankönyv Sh.A. tankönyve alapján. Alimova

Srácok, már tanulmányoztátok a monomokat a következő témakörben: A monom szabványos formája. Definíciók. Példák. Tekintsük át az alapvető definíciókat.

Egytagú– számok és változók szorzatából álló kifejezés. A változók természetes hatványra emelhetők. A monom nem tartalmaz más műveletet, mint a szorzás.

A monom szabványos formája- ez a típus, amikor az együttható (numerikus tényező) az első, majd a különböző változók fokozatai.

Hasonló monomok– ezek vagy azonos monomiumok, vagy olyan monomiumok, amelyek együtthatóban különböznek egymástól.

A polinom fogalma

A polinom a monomihoz hasonlóan egy bizonyos típusú matematikai kifejezések általánosított neve. Korábban is találkoztunk már ilyen általánosításokkal. Például: „összeg”, „termék”, „hatványozás”. Amikor „számkülönbséget” hallunk, eszünkbe sem jut a szorzás vagy osztás gondolata. Ezenkívül a polinom egy szigorúan meghatározott típusú kifejezés.

A polinom definíciója

Polinom a monomok összege.

A polinomot alkotó monomokat ún a polinom tagjai. Ha két tag van, akkor binomimmal van dolgunk, ha három, akkor trinomiálissal. Ha több tag van, akkor polinomról van szó.

Példák polinomokra.

1) 2аb + 4сd (binomiális);

2) 4ab + 3cd + 4x (trinomiális);

3) 4a 2 b 4 + 4c 8 d 9 + 2xу 3 ;

3c 7 d 8 - 2b 6 c 2 d + 7xy - 5xy 2.

Nézzük alaposan az utolsó kifejezést. Definíció szerint a polinom a monomok összege, de az utolsó példában nem csak összeadjuk, hanem ki is vonjuk a monomokat.
A tisztázás érdekében nézzünk egy kis példát.

Írjuk fel a kifejezést a + b - c(egyezzünk meg a ≥ 0, b ≥ 0 és c ≥0), és válaszoljon a kérdésre: ez az összeg vagy a különbség? Nehéz megmondani.
Valóban, ha a kifejezést így írjuk át a + b + (-c), két pozitív és egy negatív tag összegét kapjuk.
Ha megnézi a példánkat, akkor konkrétan a 3, - 2, 7, -5 együtthatójú monomok összegével van dolgunk. A matematikában van egy "algebrai összeg" kifejezés. Így a polinom definíciójában „algebrai összeget” értünk.

De a 3a: b + 7c alakú jelölés nem polinom, mert a 3a: b nem monomiális.
A 3b + 2a * (c 2 + d) alak jelölése szintén nem polinom, mivel a 2a * (c 2 + d) nem monomiális. Ha kinyitja a zárójeleket, a kapott kifejezés egy polinom lesz.
3b + 2a * (c 2 + d) = 3b + 2ac 2 + 2ad.

Polinom fokozat tagjainak legmagasabb foka.
Az a 3 b 2 + a 4 polinom ötödik fokozatú, mivel az a 3 b 2 monom foka 2 + 3= 5, az a 4 monomié pedig 4.

A polinom szabványos alakja

Az a polinom, amely nem rendelkezik hasonló tagokkal, és a polinom tagjainak hatványainak csökkenő sorrendjében van felírva, szabvány alakú polinom.

A polinom szabványos formára kerül, hogy eltávolítsuk a felesleges nehézkes írásokat és leegyszerűsítsük vele a további műveleteket.

Valóban, miért kell például a 2b 2 + 3b 2 + 4b 2 + 2a 2 + a 2 + 4 + 4 hosszú kifejezést kiírni, ha rövidebbre is írható, mint 9b 2 + 3a 2 + 8.

A polinom szabványos formába állításához a következőket kell tennie:
1. minden tagját szabványos formába hozza,
2. adjunk hozzá hasonló (azonos vagy eltérő numerikus együtthatójú) kifejezéseket. Ezt az eljárást gyakran ún hasonlót hozva.

Példa.
Csökkentse az aba + 2y 2 x 4 x + y 2 x 3 x 2 + 4 + 10a 2 b + 10 polinomot szabványos alakra.

Megoldás.

a 2 b + 2 x 5 y 2 + x 5 y 2 + 10a 2 b + 14= 11a 2 b + 3 x 5 y 2 + 14.

Határozzuk meg a kifejezésben szereplő monomiálisok hatványait, és rendezzük őket csökkenő sorrendbe.
A 11a 2 b a harmadik fok, a 3 x 5 y 2 a hetedik, a 14 a nulla fok.
Ez azt jelenti, hogy az első helyre a 3 x 5 y 2-t (7. fok), a másodikra ​​a 12a 2 b-t (3. fokozat), a harmadikra ​​a 14-et (nulla fok) tesszük.
Ennek eredményeként egy 3x 5 y 2 + 11a 2 b + 14 standard alakú polinomot kapunk.

Példák önmegoldásra

Csökkentse a polinomokat szabványos formára.

1) 4b 3 aa - 5x 2 y + 6ac - 2b 3 a 2 - 56 + ac + x 2 y + 50 * (2 a 2 b 3 - 4x 2 y + 7ac - 6);

2) 6a 5 b + 3x 2 y + 45 + x 2 y + ab - 40 * (6a 5 b + 4xy + ab + 5);

3) 4ax 2 + 5bc - 6a - 24bc + xx 4 x (5ax 6 - 19bc - 6a);

4) 7abc 2 + 5acbc + 7ab 2 - 6bab + 2cabc (14abc 2 + ab 2).

Levelező iskola 7. osztály. 2. feladat.

Módszertani kézikönyv 2. sz.

Témák:

Polinomok. Polinomok összege, különbsége és szorzata;

Egyenletek és feladatok megoldása;

Polinomok faktorálása;

Rövidített szorzóképletek;

Problémák az önálló megoldáshoz.

Polinomok. Polinomok összege, különbsége és szorzata.

Meghatározás. Polinom monomiálisok összegének nevezzük.

Meghatározás. Azokat a monomokat, amelyekből egy polinom áll, nevezzük a polinom tagjai.

Egy monom szorzata egy polinommal .

Egy monom és egy polinom szorzásához meg kell szorozni ezt a monomit a polinom minden tagjával, és össze kell adni a kapott szorzatokat.

Polinom szorzása polinommal .

Egy polinom polinommal való szorzásához meg kell szoroznia egy polinom minden tagját egy másik polinom minden tagjával, és össze kell adnia a kapott szorzatokat.

Példák problémamegoldásra:

Egyszerűsítse a kifejezést:

Megoldás.

Megoldás:

Mivel feltétel szerint az együttható at akkor egyenlőnek kell lennie nullával

Válasz: -1.

Egyenletek és feladatok megoldása.

Meghatározás . Változót tartalmazó egyenlőséget nevezünk egyenlet egy változóval vagy egyenlet egy ismeretlennel.

Meghatározás . Egyenlet gyöke (egyenlet megoldása) annak a változónak az értéke, amelynél az egyenlet igazzá válik.

Egy egyenlet megoldása sok gyökér megtalálását jelenti.

Meghatározás. A forma egyenlete
, Ahol x változó, a És b – egyes számokat egyváltozós lineáris egyenleteknek nevezünk.

Meghatározás.

Egy csomó A lineáris egyenlet gyökerei:

Példák problémamegoldásra:

A megadott 7-es szám az egyenlet gyöke:

Megoldás:

Így x=7 az egyenlet gyöke.

Válasz: Igen.

Oldja meg az egyenleteket:

Megoldás:
Válasz: -12		Válasz: -0,4

A mólótól 12 km/órás sebességgel egy hajó indult el a város felé, majd fél óra múlva egy gőzhajó 20 km/órás sebességgel indult el ebbe az irányba. Mekkora a távolság a mólótól a városig, ha a gőzös 1,5 órával a hajó előtt érkezett a városba?

Megoldás:

Jelöljük x-szel a mólótól a városig mért távolságot.

	Sebesség (km/h)	Idő (h)	Útvonal (km)
Hajó
Gőzhajó

A probléma körülményei szerint a hajó 2 órával több időt töltött, mint a gőzös (mivel a hajó fél órával később hagyta el a mólót és 1,5 órával a hajó előtt érkezett a városba).

Hozzuk létre és oldjuk meg az egyenletet:

60 km – távolság a mólótól a városig.

Válasz: 60 km.

A téglalap hosszát 4 cm-rel csökkentettük, és egy négyzetet kaptunk, amelynek területe 12 cm²-rel kisebb, mint a téglalap területe. Keresse meg a téglalap területét.

Megoldás:

Legyen x a téglalap oldala.

	Hossz	Szélesség	Négyzet
Téglalap			x(x-4)
Négyzet			(x-4) (x-4)

A feladat feltételei szerint egy négyzet területe 12 cm²-rel kisebb, mint egy téglalapé.

Hozzuk létre és oldjuk meg az egyenletet:

7 cm a téglalap hossza.

(cm²) – a téglalap területe.

Válasz: 21 cm².

A turisták három nap alatt teljesítették a tervezett útvonalat. Az első napon a tervezett útvonal 35%-át tettek meg, a másodikon - 3 km-rel többet, mint az elsőn, a harmadikon pedig - a maradék 21 km-t. Milyen hosszú az útvonal?

Megoldás:

Legyen x a teljes útvonal hossza.

	1 nap	2. nap	3. nap
Úthossz		0,35x+3
Az út teljes hossza x km volt.

Így létrehozzuk és megoldjuk az egyenletet:

0,35x+0,35x+21=x

0,7x+21=x

0,3x=21

A teljes útvonal 70 km hosszan.

Válasz: 70 km.

Polinomok faktorálása.

Meghatározás . Ha egy polinomot két vagy több polinom szorzataként ábrázolunk, azt faktorizációnak nevezzük.

A közös tényezőt zárójelből kivéve .

Példa :

Csoportosítási módszer .

A csoportosítást úgy kell elvégezni, hogy minden csoportnak legyen egy közös tényezője, ráadásul az egyes csoportokban a közös tényező zárójelből való kiemelése után a kapott kifejezéseknek is közös tényezővel kell rendelkezniük.

Példa :

Rövidített szorzóképletek.

Két kifejezés különbségének és összegének szorzata egyenlő e kifejezések négyzeteinek különbségével.

Két kifejezés összegének négyzete egyenlő az első kifejezés négyzetével, plusz az első és a második kifejezés szorzatának kétszeresével, plusz a második kifejezés négyzetével. megoldásokat. 1. Keresse meg az osztás maradékát polinom x6 – 4x4 + x3 ... nem rendelkezik megoldásokat, A döntéseket a második az (1; 2) és (2; 1) párok. Válasz: (1; 2) , (2; 1). Feladatok Mert független megoldásokat. Oldja meg a rendszert...

• Az algebra és elemi elemzés hozzávetőleges tananyaga 10-11. évfolyamra (profilszint) Magyarázó megjegyzés

  Program

  Minden bekezdés megadja a szükséges mennyiséget feladatokat Mert független megoldásokat növekvő nehézségi sorrendben. ...dekompozíciós algoritmus polinom binomiális hatványokkal; polinomokösszetett együtthatókkal; polinomokérvényes...

• Választható kurzus „Nem szabványos problémák megoldása. 9. osztály" Matematikatanár végezte

  Választható tárgy

  Az egyenlet ekvivalens a P(x) = Q(X) egyenlettel, ahol P(x) és Q(x) néhány polinomok egy x változóval Q(x) átvitele a bal oldalra... = . VÁLASZ: x1=2, x2=-3, xs=, x4=. FELADATOK FOR FÜGGETLEN MEGOLDÁSOK. Oldja meg a következő egyenleteket: x4 – 8x...

• Választható program matematikából 8. osztály számára

  Program

  Algebra tétel, Vieta tétel Mert másodfokú trinomiális és Mert polinom tetszőleges fokozat, tétel a racionális... anyagról. Ez nem csak egy lista feladatokat Mert független megoldásokat, hanem a fejlesztési modell készítés feladata is...