itthon Állapot

A fokozatok ugyanazok, de az alapok mások. A hatáskörök megosztásának szabálya

Minden egyes aritmetikai művelet néha túl nehézkessé válik a megíráshoz, és megpróbálják leegyszerűsíteni. Egyszer ez volt a helyzet az összeadási művelettel. Az embereknek ugyanazt a típust kellett ismételten hozzáadniuk, például száz perzsa szőnyeg árának kiszámításához, amelyek ára egyenként 3 aranyérme. 3+3+3+…+3 = 300. Nehézsége miatt úgy döntöttek, hogy a jelölést 3 * 100 = 300-ra rövidítik. Valójában a „háromszor száz” jelölés azt jelenti, hogy egyet kell venni százhármast, és összeadjuk őket. A szorzás felkapott és általános népszerűségre tett szert. De a világ nem áll meg, és a középkorban felmerült az igény az azonos típusú többszörözés elvégzésére. Emlékszem egy régi indiai rejtvényre egy bölcsről, aki a következő mennyiségben kért búzaszemeket az elvégzett munka jutalmaként: a sakktábla első mezőjéért egy szem, a másodikért kettőt, a harmadikért négyet kért, az ötödik - nyolc, és így tovább. Így jelent meg a hatványok első szorzata, mert a szemek száma a sejtszám hatványának kettővel egyenlő volt. Például az utolsó cellában 2*2*2*...*2 = 2^63 szem lenne, ami egy 18 karakter hosszúságú számnak felel meg, ami valójában a rejtvény jelentése.

A hatványozás művelete meglehetősen gyorsan megfogott, és gyorsan felmerült az összeadás, kivonás, osztás és hatványszorzás elvégzésének szükségessége is. Ez utóbbit érdemes részletesebben megfontolni. A képességek hozzáadásának képlete egyszerű és könnyen megjegyezhető. Ezen kívül nagyon könnyen érthető, hogy honnan származnak, ha a teljesítményműveletet szorzás váltja fel. De először meg kell értened néhány alapvető terminológiát. Az a^b kifejezés (értsd: „a b hatványára”) azt jelenti, hogy az a számot önmagával kell megszorozni b-szeresével, ahol „a”-t a hatvány alapjának, „b”-t pedig hatványkitevőnek nevezzük. Ha a fokok alapjai megegyeznek, akkor a képleteket egészen egyszerűen levezetjük. Konkrét példa: keresse meg a 2^3 * 2^4 kifejezés értékét. Ahhoz, hogy megtudja, mi történjen, a megoldás megkezdése előtt meg kell találnia a választ a számítógépen. Ha beírja ezt a kifejezést bármely online számológépbe, keresőbe, beírja a „hatványok szorzása különböző bázisokkal és azonos” vagy egy matematikai csomagot, a kimenet 128 lesz. Most írjuk ki ezt a kifejezést: 2^3 = 2*2*2, és 2^4 = 2 *2*2*2. Kiderült, hogy 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Kiderül, hogy az azonos bázisú hatványok szorzata egyenlő a két előző hatvány összegével egyenlő hatványra emelt bázissal.

Azt gondolhatnánk, hogy ez véletlen, de nem: minden más példa csak megerősítheti ezt a szabályt. Így általában a képlet így néz ki: a^n * a^m = a^(n+m) . Van egy szabály, hogy a nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel. Itt emlékeznünk kell a negatív hatványok szabályára: a^(-n) = 1 / a^n. Vagyis ha 2^3 = 8, akkor 2^(-3) = 1/8. Ezzel a szabállyal igazolhatja az a^0 = 1 egyenlőség érvényességét: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^( n) , a^ (n) redukálható és egy marad. Innen származik az a szabály, hogy az azonos bázisú hatványok hányadosa ezzel az alappal egyenlő az osztó és osztó hányadosával egyenlő mértékben: a^n: a^m = a^(n-m) . Példa: egyszerűsítse a 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) kifejezést. A szorzás kommutatív művelet, ezért először össze kell adni a szorzási kitevőket: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. Ezután foglalkoznia kell a negatív erővel való megosztással. Ki kell vonni az osztó kitevőjét az osztalék kitevőjéből: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Kiderül, hogy a fokszám negatívmal való osztása megegyezik a hasonló pozitív kitevővel való szorzás műveletével. Tehát a végső válasz a 8.

Vannak példák arra, hogy a hatalom nem kanonikus megszorzása történik. A hatványok különböző alapokkal való szorzása gyakran sokkal nehezebb, sőt néha lehetetlen. Néhány példát kell adni a különböző lehetséges technikákra. Példa: egyszerűsítse a 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729 kifejezést. Nyilvánvalóan létezik a hatványok szorzása különböző alapokon. De meg kell jegyezni, hogy minden bázis három különböző hatványa. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Az (a^n) ^m = a^(n*m) szabályt használva a kifejezést kényelmesebb formában kell átírnia: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * (3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Válasz: 3^11. Azokban az esetekben, ahol különböző alapok vannak, az a^n * b^n = (a*b) ^n szabály egyenlő mutatókra érvényes. Például 3^3 * 7^3 = 21^3. Ellenkező esetben, ha az alapok és a kitevők eltérőek, a teljes szorzás nem hajtható végre. Néha részben egyszerűsítheti vagy igénybe veheti a számítástechnikát.

Hogyan szorozzuk meg az erőket? Mely erők szaporíthatók és melyek nem? Hogyan szorozhatunk meg egy számot hatványával?

Az algebrában két esetben találhatunk hatványok szorzatát:

1) ha a fokozatok alapjai azonosak;

2) ha a fokok azonos mutatókkal rendelkeznek.

Ha a hatványokat azonos bázisokkal szorozzuk, az alapot ugyanaznak kell hagyni, és a kitevőket össze kell adni:

Ha a fokokat ugyanazokkal a mutatókkal szorozzuk, akkor a teljes mutató kivehető a zárójelekből:

Nézzük meg, hogyan szorozzuk meg a hatványokat konkrét példákon keresztül.

A mértékegységet nem a kitevőben írják, de a hatványok szorzásakor figyelembe veszik:

Szorzáskor tetszőleges számú hatvány lehet. Emlékeztetni kell arra, hogy a szorzójelet nem kell a betű elé írni:

A kifejezésekben először a hatványozás történik.

Ha meg kell szoroznia egy számot hatványokkal, először hajtsa végre a hatványozást, és csak azután a szorzást:

www.algebraclass.ru

Hatványok összeadása, kivonása, szorzása és osztása

Hatványok összeadása és kivonása

Nyilvánvaló, hogy a hatványokkal rendelkező számok más mennyiségekhez hasonlóan összeadhatók , jeleikkel egymás után hozzáadva.

Tehát a 3 és b 2 összege a 3 + b 2.
A 3 - b n és h 5 -d 4 összege a 3 - b n + h 5 - d 4.

Esély azonos változók egyenlő hatványaiösszeadható vagy kivonható.

Tehát 2a 2 és 3a 2 összege egyenlő 5a 2-vel.

Az is nyilvánvaló, hogy ha két a négyzetet vagy három a négyzetet vagy öt a négyzetet veszünk.

De fokok különféle változókÉs különféle fokozatok azonos változók, úgy kell összeállítani, hogy hozzá kell adni őket a jeleikkel.

Tehát egy 2 és egy 3 összege egy 2 + egy 3 összege.

Nyilvánvaló, hogy a négyzete és a kockája nem egyenlő a négyzetének kétszeresével, hanem a kockájának kétszeresével.

A 3 b n és 3a 5 b 6 összege a 3 b n + 3a 5 b 6.

Kivonás A jogosítványokat ugyanúgy hajtjuk végre, mint az összeadást, azzal a különbséggel, hogy a részrészek előjeleit ennek megfelelően módosítani kell.

Vagy:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 óra 2 b 6 — 4 óra 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a-h) 6-2(a-h) 6 = 3(a-h) 6

Hatványok megsokszorozása

A hatványokkal rendelkező számok más mennyiségekhez hasonlóan szorozhatók egymás után, szorzójellel vagy anélkül.

Így a 3-at b 2-vel megszorozva a 3 b 2 vagy aaabb lesz.

Vagy:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Az utolsó példában szereplő eredmény azonos változók hozzáadásával rendezhető.
A kifejezés a következő formában lesz: a 5 b 5 y 3.

Több szám (változó) hatványokkal való összehasonlításával láthatjuk, hogy ha bármelyik kettőt megszorozzuk, akkor az eredmény egy szám (változó), amelynek hatványa egyenlő összeg kifejezések fokozatai.

Tehát a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Itt 5 a szorzási eredmény hatványa, amely egyenlő 2 + 3-mal, a tagok hatványainak összegével.

Tehát a n .a m = a m+n .

Egy n esetén a-t annyiszor veszik tényezőnek, mint n hatványát;

És egy m-t annyiszor veszünk tényezőnek, ahányszor m fok egyenlő;

Ezért, Az azonos bázisú hatványok a hatványok kitevőinek összeadásával szorozhatók.

Tehát a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . És x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Vagy:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Szorozza meg (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Válasz: x 4 - y 4.
Szorozd meg (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ez a szabály azokra a számokra is igaz, amelyek kitevői negatív.

1. Tehát a -2 .a -3 = a -5 . Ezt így írhatjuk fel: (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ha a + b-t megszorozzuk a - b-vel, az eredmény a 2 - b 2 lesz:

Két szám összegének vagy különbségének szorzata megegyezik a számok négyzeteinek összegével vagy különbségével.

Ha megszorozza két szám összegét és különbségét, amelyre emelt négyzet, az eredmény egyenlő lesz ezeknek a számoknak az összegével vagy különbségével negyedik fokon.

Tehát (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

A fokozatok felosztása

A hatványokkal rendelkező számok más számokhoz hasonlóan oszthatók, az osztalékból levonva, vagy tört alakba helyezve.

Így a 3 b 2 osztva b 2-vel egyenlő egy 3-mal.

Ha 5-öt osztunk 3-mal, úgy néz ki, hogy $\frac $. De ez egyenlő 2-vel. Egy számsorozatban
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bármely szám osztható egy másikkal, és a kitevő egyenlő lesz különbség osztható számok mutatói.

Ha a fokokat ugyanazzal az alappal osztjuk fel, akkor kitevőjüket levonjuk..

Tehát y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Azaz $\frac = y$.

És a n+1:a = a n+1-1 = a n . Azaz $\frac = a^n$.

Vagy:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

A szabály a -val rendelkező számokra is igaz negatív fokok értékei.
A -5 -3-mal való osztásának eredménye -2.
Továbbá $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:ó -1 = h 2+1 = h 3 vagy $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Nagyon jól kell elsajátítani a szorzást és a hatványosztást, mivel az ilyen műveleteket nagyon széles körben használják az algebrában.

Példák a hatványos számokat tartalmazó törtek példáinak megoldására

1. Csökkentse a kitevőket $\frac $ értékkel. Válasz: $\frac $.

2. Csökkentse a kitevőket $\frac$ értékkel. Válasz: $\frac$ vagy 2x.

3. Csökkentse az a 2 /a 3 és a -3 /a -4 kitevőket, és hozza létre a közös nevezőt.
a 2 .a -4 egy -2 az első számláló.
a 3 .a -3 egy 0 = 1, a második számláló.
a 3 .a -4 egy -1 , a közös számláló.
Egyszerűsítés után: a -2 /a -1 és 1/a -1 .

4. Csökkentse a 2a 4 /5a 3 és 2 /a 4 kitevőket, és hozza létre a közös nevezőt.
Válasz: 2a 3 /5a 7 és 5a 5 /5a 7 vagy 2a 3 /5a 2 és 5/5a 2.

5. Szorozzuk meg (a 3 + b)/b 4-et (a - b)/3-mal.

6. Szorozza meg (a 5 + 1)/x 2-t (b 2 - 1)/(x + a) értékkel.

7. Szorozzuk meg b 4 /a -2-t h -3 /x-el és a n /y -3-mal.

8. Ossz el egy 4 /y 3-at egy 3 /y 2-vel. Válasz: a/y.

A fokozat tulajdonságai

Emlékeztetjük, hogy ebben a leckében megértjük fokok tulajdonságai természetes mutatókkal és nullával. A racionális kitevőkkel rendelkező hatványokról és tulajdonságaikról a 8. osztályos órákon lesz szó.

A természetes kitevővel rendelkező hatványnak számos fontos tulajdonsága van, amelyek lehetővé teszik a számítások egyszerűsítését a hatványokkal rendelkező példákban.

1. számú ingatlan
Az erők szorzata

Ha a hatványokat azonos alapokkal szorozzuk, az alap változatlan marad, és a hatványok kitevői összeadódnak.

a m · a n = a m + n, ahol „a” tetszőleges szám, „m” és „n” pedig bármilyen természetes szám.

A hatványok ezen tulajdonsága három vagy több hatvány szorzatára is érvényes.

Egyszerűsítse a kifejezést.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Mutassa be diplomaként.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Mutassa be diplomaként.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Felhívjuk figyelmét, hogy a megadott tulajdonságban csak a hatványok azonos alapokon történő szorzásáról beszéltünk. Ezek kiegészítésére nem vonatkozik.

Az összeget (3 3 + 3 2) nem helyettesítheti 3 5-tel. Ez érthető, ha
számold ki (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 és 3 5 = 243

2. számú ingatlan
Részleges diplomák

Ha azonos bázisú hatványokat osztunk fel, az alap változatlan marad, és az osztó kitevőjét levonjuk az osztó kitevőjéből.

Írja fel a hányadost hatványként!
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Kiszámítja.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Példa. Oldja meg az egyenletet. A hányados hatványok tulajdonságát használjuk.
3 8: t = 3 4

Válasz: t = 3 4 = 81

Az 1. és 2. tulajdonság használatával egyszerűen leegyszerűsítheti a kifejezéseket és számításokat végezhet.

Példa. Keresse meg egy kifejezés értékét a kitevők tulajdonságainak segítségével.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a 2. tulajdonságban csak a hatáskörök azonos alapokon történő felosztásáról beszéltünk.

A különbséget (4 3 −4 2) nem helyettesítheti 4 1-gyel. Ez érthető, ha kiszámolja (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, és 4 1 = 4

3. számú ingatlan
Fokozat hatalommá emelése

Ha egy fokot hatványra emelünk, a fok alapja változatlan marad, és a kitevőket megszorozzuk.

(a n) m = a n · m, ahol „a” tetszőleges szám, „m” és „n” pedig bármilyen természetes szám.

Felhívjuk figyelmét, hogy a 4. számú tulajdonság, mint a fokok többi tulajdonsága, szintén fordított sorrendben kerül alkalmazásra.

(a n · b n)= (a · b) n

Vagyis a hatványok azonos kitevőkkel való szorzásához meg lehet szorozni az alapokat, de a kitevőt változatlanul hagyni.

Példa. Kiszámítja.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000

Példa. Kiszámítja.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

Bonyolultabb példákban előfordulhatnak olyan esetek, amikor a szorzást és az osztást különböző bázisú és különböző kitevőkkel rendelkező hatványokon kell végrehajtani. Ebben az esetben azt tanácsoljuk, hogy tegye a következőket.

Például 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Példa a tizedesjegy hatványra emelésére.

4 21 (-0,25) 20 = 4 4 20 (-0,25) 20 = 4 (4 (-0,25)) 20 = 4 (-1) 20 = 4 1 = 4

Tulajdonságok 5
Hányados hatványa (tört)

Ha hányadost szeretne hatványra emelni, az osztalékot és az osztót külön erre a hatványra emelheti, és az első eredményt eloszthatja a másodikkal.

(a: b) n = a n: b n, ahol „a”, „b” bármely racionális szám, b ≠ 0, n – bármely természetes szám.

Példa. Mutassa be a kifejezést a hatványok hányadosaként.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Emlékeztetünk arra, hogy a hányadost törtként is lehet ábrázolni. Ezért a következő oldalon részletesebben foglalkozunk a tört hatványra emelésének témájával.

Hatalmak és gyökerek

Hatványokkal és gyökerekkel végzett műveletek. Fokozat negatívval ,

nulla és tört indikátor. Olyan kifejezésekről, amelyeknek nincs jelentésük.

Műveletek fokozatokkal.

1. Ha a hatványokat ugyanazzal az alappal szorozzuk, a kitevőjüket hozzáadjuk:

a m · a n = a m + n.

2. Azonos bázisú fokok osztásakor kitevőik levonásra kerülnek .

3. Két vagy több tényező szorzatának mértéke megegyezik e tényezők fokszámainak szorzatával.

4. Az arány (tört) mértéke megegyezik az osztó (számláló) és az osztó (nevező) fokszámának arányával:

(a/b) n = a n / b n .

5. Ha egy hatványt hatványra emelünk, a kitevőjüket megszorozzuk:

Az összes fenti képletet mindkét irányban balról jobbra olvassa be és hajtja végre, és fordítva.

PÉLDA (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Műveletek gyökerekkel. Az összes alábbi képletben a szimbólum azt jelenti számtani gyök(a radikális kifejezés pozitív).

1. Több tényező szorzatának gyökere egyenlő ezen tényezők gyökeinek szorzatával:

2. Egy arány gyöke egyenlő az osztalék és az osztó gyökének arányával:

3. Ha gyökérre emelünk egy hatványt, elég, ha erre a hatalomra emelünk gyökszám:

4. Ha m-szeresére növeljük a gyök fokát, és ezzel egyidejűleg a gyökszámot az m-edik hatványra emeljük, akkor a gyök értéke nem változik:

5. Ha m-szer csökkenti a gyök fokát, és egyidejűleg kivonja a gyökszám m-edik gyökét, akkor a gyök értéke nem változik:

A fokozat fogalmának bővítése. Eddig csak természetes kitevőkkel vettük figyelembe a fokokat; de a hatalommal és a gyökérrel végzett műveletek oda is vezethetnek negatív, nullaÉs töredékes mutatók. Mindezek a kitevők további definíciót igényelnek.

Egy fok negatív kitevővel. Egy bizonyos negatív (egész) kitevővel rendelkező szám hatványát úgy határozzuk meg, hogy elosztjuk ugyanazon szám hatványával, amelynek kitevője megegyezik a negatív kitevő abszolút értékével:

Most a képlet a m : a n = a m - n nem csak arra használható m, több mint n, hanem azzal is m, kevesebb, mint n .

PÉLDA a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Ha a képletet akarjuk a m : a n = a m — n igazságos volt, amikor m = n, szükségünk van a nulla fok definíciójára.

Egy diploma nulla indexszel. Bármely nullától eltérő szám hatványa nulla kitevővel 1.

PÉLDÁK. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Fokszám tört kitevővel. Ahhoz, hogy egy a valós számot az m / n hatványra emeljünk, ki kell vonni az a szám m-edik hatványának n-edik gyökét:

Olyan kifejezésekről, amelyeknek nincs jelentésük. Több ilyen kifejezés létezik.

Ahol a ≠ 0 , nem létezik.

Sőt, ha azt feltételezzük x egy bizonyos szám, akkor az osztási művelet definíciójának megfelelően a következőt kapjuk: a = 0· x, azaz a= 0, ami ellentmond a feltételnek: a ≠ 0

— bármilyen szám.

Valójában, ha feltételezzük, hogy ez a kifejezés egyenlő valamilyen számmal x, akkor az osztási művelet definíciója szerint: 0 = 0 · x. De ez az egyenlőség akkor következik be tetszőleges számú x, amit bizonyítani kellett.

0 0 — bármilyen szám.

Megoldás. Nézzünk három fő esetet:

1) x = 0 – ez az érték nem felel meg ennek az egyenletnek

2) mikor x> 0 kapjuk: x/x= 1, azaz 1 = 1, ami azt jelenti

Mit x- bármilyen szám; de ezt figyelembe véve

a mi esetünkben x> 0, a válasz az x > 0 ;

A hatványok különböző alapokon történő szorzásának szabályai

FOKOZAT RACIONÁLIS MUTATÓVAL,

TELJESÍTMÉNY FUNKCIÓ IV

69. § A hatáskörök szaporodása és megosztása azonos alapokon

1. tétel. A hatványok azonos bázisokkal való szorzásához elegendő a kitevőket összeadni és az alapot ugyanazt hagyni, azaz

Bizonyíték. A fokozat meghatározása szerint

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Megnéztük két hatvány szorzatát. Valójában a bizonyított tulajdonság tetszőleges számú, azonos alapokon álló hatványra igaz.

2. tétel. Ha az osztó indexe nagyobb, mint az osztó indexe, az azonos alapú hatványok felosztásához elegendő az osztó indexét kivonni az osztó indexéből, és az alapot változatlannak hagyni, azaz nál nél t > p

(a =/= 0)

Bizonyíték. Emlékezzünk vissza, hogy az egyik szám egy másikkal való osztásának hányadosa az a szám, amelyet az osztóval megszorozva osztalékot adunk. Ezért bizonyítsa be a képletet ahol a =/= 0, ez ugyanaz, mint a képlet bizonyítása

Ha t > p , majd a szám t - p természetes lesz; ezért az 1. tétel szerint

A 2. Tétel bebizonyosodott.

Meg kell jegyezni, hogy a képlet

csak azzal a feltételezéssel bizonyítottuk t > p . Ezért a bebizonyítottakból még nem lehet levonni például a következő következtetéseket:

Ráadásul még nem vettük figyelembe a negatív kitevős fokozatokat, és még nem tudjuk, hogy milyen jelentést adhat a 3. kifejezés - 2 .

3. tétel. Egy fok hatványra emeléséhez elég a kitevőket megszorozni, és a fok alapját változatlannak kell hagyni, vagyis

Bizonyíték. A fokozat meghatározását és a szakasz 1. tételét felhasználva a következőket kapjuk:

Q.E.D.

Például (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Szóbeli) Határozza meg x az egyenletekből:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (Szett sz.) Egyszerűsítés:

520. (Szett sz.) Egyszerűsítés:

521. Mutassa be ezeket a kifejezéseket fokozatok formájában, azonos alapokkal:

1) 32. és 64.; 3) 8 5 és 16 3; 5) 4 100 és 32 50;

2) -1000 és 100; 4) -27 és -243; 6) 81 75 8 200 és 3 600 4 150.

A természetes kitevővel rendelkező hatványnak számos fontos tulajdonsága van, amelyek lehetővé teszik a számítások egyszerűsítését a hatványokkal rendelkező példákban.