Elméleti anyag. §6 Több változó komplex függvényeinek parciális deriváltjai Több változó komplex függvényeinek deriváltjainak kiszámítása
Legyen definiálva a z - /(x, y) függvény valamilyen D tartományban az xOy síkon. Vegyünk egy belső pontot (x, y) a D területből, és adjunk x-nek olyan Ax növekményt, hogy az (x + Ax, y) pont 6 D legyen (9. ábra). Nevezzük a mennyiséget a z függvény x-hez viszonyított részleges növekményének. Adott (x, y) pontra ez a reláció a Definíció függvénye. Ha Ax -* 0 esetén a ^ relációnak véges határa van, akkor ezt a határértéket a z = /(x, y) függvény parciális deriváltjának nevezzük az x független változóhoz képest az (x, y) pontban, és jfc (vagy /i(x, jj ), vagy z"x(x) szimbólummal jelöljük, definíció szerint ugyanígy, vagy ami ugyanaz, Hasonlóképpen, ha u n független változó függvénye, akkor észrevéve, hogy Arz-t az y változó állandó értékével, Atz-t pedig az x változó állandó értékével számítjuk, a parciális deriváltak definíciói a következőképpen fogalmazhatók meg: Parciális deriváltok Két változó függvényének parciális deriváltjainak geometriai jelentése Több változó függvényének differenciálhatósága Egy függvény differenciálhatóságának szükséges feltételei Több változó függvényének differenciálhatóságának elégséges feltételei Teljes differenciál Parciális differenciálok A parciális derivált komplex függvényének deriváltjai a függvény x függvényében z = /(x , y ) ennek a függvénynek az x-hez viszonyított közönséges deriváltja, azzal a feltételezéssel számítva, hogy y állandó; a z - /(x, y) függvény y-hoz viszonyított parciális deriváltja a deriváltja y-hoz képest , azzal a feltételezéssel számolva, hogy x állandó. Ebből következik, hogy a parciális deriváltak számítási szabályai egybeesnek az egy változó függvényére bizonyított szabályokkal. Példa. Határozzuk meg a 4 Van helyettesítésünk* függvény parciális deriváltjait. Az r = f(x, y) függvény létezése a parciális deriváltak adott pontjában az összes argumentumhoz képest nem jelenti a függvény folytonosságát ezen a ponton. Így a függvény nem folytonos a 0(0,0) pontban. Azonban ezen a ponton a megadott függvénynek parciális deriváltjai vannak x és y vonatkozásában. Ez abból következik, hogy /(x, 0) = 0 és /(0, y) = 0 és ezért két változó függvény parciális deriváltjainak geometriai jelentése. Legyen az S felület a háromdimenziós térben definiálva az az egyenlet, ahol f(x, y) valamely D tartományban folytonos függvény, és ott parciális deriváltjai vannak x és y vonatkozásában. Nézzük meg ezeknek a deriváltaknak a geometriai jelentését a Mo(xo,yo) 6 D pontban, amely megfelel a z = f(x)y felület f(x0)yo) pontjának. Az M0 pont parciális deriváltjának megkeresésekor feltételezzük, hogy z csak az x argumentum függvénye, míg az y argumentum megőrzi az y = y0 állandó értéket, azaz a fi(x) függvényt geometriailag az L görbe ábrázolja a mentén. amelyet az S felületet az y = sík o pontban metszi. Az egyik változó függvénye deriváltjának geometriai jelentése miatt f\(xo) = tan a, ahol a az a szög, amelyet az L egyenes érintője a JV0 pontban az Ox tengellyel zár be (10. ábra). . De így Így a parciális derivált ($|) egyenlő az Ox tengely és az N0 pontban lévő érintő a szög érintőjével a z = /(x, y) felület metszetében a Hasonlóképpen azt kapjuk, hogy §6. Több változóból álló függvény differenciálhatósága Legyen a z = /(x, y) függvény az xOy síkon valamilyen D tartományban definiálva. Vegyünk egy (x, y) € D pontot, és adjuk meg az x és y kiválasztott értékeit tetszőleges Ax és Dy növekményekkel, de úgy, hogy a pont legyen. Meghatározás. Az r = /(x, y) függvényt differenciálható * pont (x, y) € 2E-nek nevezzük, ha ennek a függvénynek a teljes növekménye, amely megfelel a Dx, Dy argumentumok növekményeinek, olyan formában ábrázolható, ahol A és B nem függenek Dx-től és Dy-től (de általában függnek x-től és y-tól), és a(Dx, Dy) és /?(Dx, Dy) nullára hajlamosak, ahogy a Dx és Dy nullára hajlamosak. . Ha a z = /(x, y) függvény differenciálható az (x, y) pontban, akkor a függvény növekményének Dx és Dy függvényében lineáris A Dx 4- VDy részét teljes differenciálnak nevezzük. ennek a függvénynek az (x, y) pontjában, és dz szimbólummal jelöljük: Ily módon, Példa. Legyen r = x2 + y2. Bármely pontban (r,y) és bármely Dx és Du esetén itt van. most, hogy a és /3 nullára hajlamos, mint a Dx és Dy nullára. A definíció szerint ez a függvény az xOy sík bármely pontján differenciálható. Ugyanakkor megjegyezzük, hogy indoklásunkban formálisan nem zártuk ki azt az esetet, amikor a Dx, a Du külön-külön, vagy akár mindkettő egyszerre nullával egyenlő. Az (1) képlet tömörebben írható fel, ha bevezetjük a kifejezést (pontok közötti távolság (Használatával írhatjuk A kifejezést zárójelben e-vel jelölve van, ahol c függ J-től, Du-tól és nullára hajlik, ha J 0 ill. DN 0, vagy röviden, ha p 0. Az (1) képlet, amely a z = f(xt y) függvény differenciálhatóságának feltételét fejezi ki az (x, y) pontban, most felírható So alakban, a fenti 6.1 példában Egy függvény differenciálható™ szükséges feltételei Tétel 4. Ha egy r = f(x, y) függvény egy ponton differenciálható, akkor abban a pontban folytonos.4 Ha az (x, y) pontban ) az r = f(x, y) függvény differenciálható, akkor az i függvény teljes növekménye ezen a ponton, az argumentumok J és Dy növekményeinek megfelelő formában ábrázolható (az A, B mennyiségek egy adott pontra állandók; , amiből az következik, hogy az utóbbi azt jelenti, hogy az (x, y) pontban az r /(x, y) függvény folytonos Tétel! b. Ha az r = /(x, y) egy adott pontban differenciálható, mo o s.is ezen a ponton a $§ u parciális deriváltak. Legyen a z = /(x, y) függvény differenciálható az (x, y) pontban. Ekkor ennek a függvénynek a Dg növekménye, amely megfelel az argumentumok Dx, Ay növekményeinek, az (1) formában ábrázolható. Az (1) Dx Φ 0, Dy = 0 egyenlőséget felvéve azt kapjuk, hogy mivel az utolsó egyenlőség jobb oldalán az A érték nem függ attól, Ez azt jelenti, hogy az (x, y) pontban parciális derivált van. az r = /(x, y) függvény x-ben, és hasonló érveléssel meggyőződünk arról, hogy (x, van egy parciális deriváltja a zy függvénynek, és a tételből az következik, hogy Hangsúlyozzuk, hogy az 5. Tétel kimondja a parciális deriváltak csak az (x, y) pontban, de nem mond semmit a folytonosságukról ezen a ponton, valamint az (x, y) pont szomszédságában való viselkedésükről. derivált /"(x) az x0 pontban. Abban az esetben, ha a függvény több változótól függ, sokkal bonyolultabb a helyzet: két független x, y változó z = /(x, y) függvényének differenciálhatóságához nincsenek szükséges és elégséges feltételek, csak külön-külön vannak. szükséges feltételek (lásd fent) és külön - elegendő. A több változó függvényének differenciálhatóságának ezeket az elégséges feltételeit a következő tétel fejezi ki. Tétel c. Ha egy függvénynek vannak /ε és f"v parciális deriváltjai a vékony (xo, V0) valamelyik szomszédságában, és ha ezek a deriváltok folytonosak a pontban (xo, V0), akkor a z = f(x, y) függvény differenciálható. pontban (x- Példa: Tekintsük a függvényt Parciális deriváltok Két változó függvényének parciális deriváltjainak geometriai jelentése Több változós függvény differenciálhatósága Egy függvény differenciálhatóságának szükséges feltételei Elegendő feltételek több változó függvényének differenciálhatóságához Teljes differenciál Parciális differenciálok Komplex függvény deriváltjai Mindenhol definiálva A parciális deriváltak definíciója alapján ennek a függvénynek a ™-jét a 0(0,0) pontban találjuk és ennek a pontnak a növekményét A függvény differenciálhatóságához /( x,y) = a 0(0,0) pontban szükséges, hogy az e(Dx, Dy) függvény Dx 0 és Ду 0 esetén teljesen kicsi legyen. Ezért az /(x,y) = függvény nem differenciálható a 0(0,0) pontban, bár ebben a pontban van fa és f"r. A kapott eredményt az magyarázza, hogy az f"z és f derivált "t nem folytonosak a 7. pontnál. Teljes differenciálmű. Részleges differenciálok Ha a z - f(z> y) függvény differenciálható, akkor a dz teljes differenciája egyenlő azzal, hogy A = B = u, akkor az (1) képletet a következő alakban írjuk. Független változók differenciáljának beállítása a független változók növekményével egyenlő: Ezután a függvény teljes differenciájának képletét vesszük példaként. Legyen i - 1l(x + y2). Majd Hasonlóképpen, ha u =) n független változó differenciálható függvénye, akkor a Kifejezést a z = f(x, y) függvény utódifferenciáljának nevezzük az x változóhoz képest; a kifejezést az y változó z = /(x, y) függvényének parciális differenciáljának nevezzük. A (3), (4) és (5) képletekből az következik, hogy egy függvény teljes differenciája a részdifferenciáinak összege: Figyeljük meg, hogy a z = /(x, y) függvény A teljes növekménye általában véve , nem egyenlő a részleges növekmények összegével. Ha az (i, y) pontban a z = /(x, y) függvény differenciálható, és a dz Φ 0 differenciál ebben a pontban, akkor teljes növekménye csak az aAx 4 utolsó tagok összegével tér el a lineáris részétől. - /?DE, amelyek az Ax 0-nál és az Ау -» О-nél magasabb rendű végtelen kicsinyek, mint a lineáris rész tagjai. Ezért, ha dz Ф 0, a differenciálható függvény növekményének lineáris részét a függvény növekményének fő részének nevezzük, és egy közelítő képletet használunk, amely minél pontosabb, minél kisebb abszolút értékű a függvény növekménye. az érvek azok. §8. Egy komplex függvény deriváltjai 1. Legyen a függvény az xOy síkon valamilyen D tartományban definiálva, és az x, y változók mindegyike a t argumentum függvénye: Feltesszük, hogy ha t változik a () intervallumban a megfelelő pontok (x, y) nem maradnak a D tartományon kívül. Ha behelyettesítünk értékeket a z = / (x, y) függvénybe, akkor egy t változó komplex függvényét kapjuk, és a megfelelő értékekre az / (x, y) függvény differenciálható, akkor a t pontban lévő komplex függvénynek van deriváltja és M Adjunk t-nek egy Dt növekményt. Ekkor x és y kap néhány Ax és Dy növekményt. Ennek eredményeként a ( J)2 + (Dy)2 Ф 0, a z függvény is kap némi Dt növekményt, ami a z = /(x , y) függvény differenciálhatósága miatt az (x, y) pontban ábrázolható az a forma, ahol a) nullára hajlamos, ahogy az Ax és a Du nullára. Határozzuk meg a-t és /3-at Ax = Ay = 0-ra úgy, hogy a beállítást adjuk meg. Akkor a(folytonos lesz J = Dn = 0 esetén. Tekintsük azt az összefüggést, amivel rendelkezünk Minden tagban^ a (2) jobb oldalán mindkét tényezőnek van határa valóban, a parciális deriváltak és ^ egy adott esetén állandóak, feltétel szerint vannak határok a ^ deriváltak létezésére, és a £ pontban az x = y(t) és y = függvények folytonosak ebben a pontban; 0-nál J és Dy is nullára hajlik, ami viszont azt jelenti, hogy a(Dx, Dy) és P(Ax, Ay) nullára hajlik. Így a (2) egyenlőség 0-nál jobb oldala limit egyenlő Tehát, 0-nál van egy határértéke a (2) bal oldalának is, azaz. e. van egy egyenlő. Ha a (2) egyenlőséget az At -» 0 határértékre átadjuk, megkapjuk a szükséges képletet. A speciális esetben, amikor tehát z x komplex függvénye, az In formulát kapjuk (5) van egy parciális derivált funadiig = /(x , y) x-szel, amikor kiszámoljuk, hogy az /(x, y) kifejezésben az y argumentumot vesszük állandónak. És van egy teljes deriváltja a z függvénynek az x független változóhoz képest, amikor kiszámítjuk, hogy az /(x, y) kifejezésben melyik y-t már nem vesszük állandónak, hanem az x függvényének tekintjük: y = tp(x)t, és ezért z függőségét teljes mértékben figyelembe veszik. Példa. Keresse meg és jg, ha 2. Tekintsük most egy több változóból álló komplex függvény differenciálását. Tegyük fel, hogy a (() pontban folytonos parciális deriváltak vannak u, 3? és a megfelelő pontban (x, y), ahol az f(x, y) függvény differenciálható. ilyen feltételek mellett a t7) pontban a z = z(() y) komplex függvénynek deriváltjai és π-ja van, és ezekre a deriváltokra találunk kifejezéseket. Megjegyzendő, hogy ez az eset nem különbözik jelentősen a már vizsgált esettől. Valóban, amikor z-t £-hoz képest differenciáljuk, a második független rj változót konstansnak vesszük, aminek eredményeként x és y ebben a műveletben egy x" = c), y = c) változó függvényeivé válnak, és a kérdés A ζ származéka pontosan ugyanúgy megoldódik, mint a derivált kérdése a (3) képlet származtatásánál A (3) képletet felhasználva, és formálisan lecserélve benne az § és ^ származékokat az u, illetve a származékokra, hasonlóképpen kapjuk, hogy Példa: Keresse meg az r = x2 y - husli x - y = függvény ^ és ^ parciális deriváltjait Ha egy " komplex függvényt képletekkel adunk meg úgy, hogy akkor a megfelelő feltételek teljesülése esetén az a speciális esetben, amikor És = ahol Parciális deriváltok Két változó függvényének parciális deriváltjainak geometriai jelentése Több változó függvényének differenciálhatósága Egy függvény differenciálhatóságának szükséges feltételei Több változó függvényének differenciálhatóságának elegendő feltételei Teljes differenciál Parciális differenciálok Komplex deriváltjai itt m a függvény teljes parciális deriváltja az x független változóhoz képest, figyelembe véve az x teljes függését, beleértve a z = z(x,y),a ^ -részleges deriváltját is. az u = /(r, y, d) függvény x-szel, k kiszámításakor
1°. Egy független változó esete. Ha z=f(x,y) az x és y argumentumok differenciálható függvénye, amelyek viszont a független változó differenciálható függvényei t: , akkor a komplex függvény deriváltja 
képlettel lehet kiszámítani
Példa. Keresse meg , ha , hol .
Megoldás. Az (1) képlet szerint a következőket kapjuk:
Példa. Keresse meg a parciális derivált és a teljes derivált, ha 
.
Megoldás. .
A (2) képlet alapján megkapjuk 
.
2°. Több független változó esete.
Hadd z =f (x ;y) - két változó függvénye xÉs y, amelyek mindegyike a független változó függvénye t : x =x (t ), y =y (t). Ebben az esetben a függvény z =f (x (t);y (t )) egy független változó komplex függvénye t; változók x és y köztes változók.
Tétel. Ha z == f(x ; y) - egy ponton differenciálható M(x;y)D funkció és x =x (t)És nál nél =y (t) - a független változó differenciálható függvényei t, akkor egy komplex függvény deriváltja z (t) == f(x (t);y (t )) képlettel számítjuk ki
|
|
Különleges eset:z = f (x ; y), ahol y = y(x), azok. z = f (x ;y (x )) - egy független változó komplex függvénye X. Ez az eset az előzőre redukálódik, és a változó szerepe t játszik X. A (3) képlet szerint a következőket kapjuk:
.
Az utolsó képlet az ún teljes derivált képletek.
Általános eset:z = f (x ;y ), Ahol x =x (u ;v),y =y (u ;v.) Ekkor z = f (x (u ;v);y (u ;v)) - független változók komplex függvénye ÉsÉs v. Parciális származékait a (3) képlet segítségével a következőképpen találhatjuk meg. Javítva v, kicseréljük benne a megfelelő parciális származékokat
Így egy komplex függvény (z) deriváltja az egyes független változókra vonatkozóan (ÉsÉs v) egyenlő e függvény (z) parciális deriváltjainak szorzatainak összegével a közbenső változóihoz képest (x és y) származékaikhoz a megfelelő független változó tekintetében (u és v).
A képlet minden esetben érvényes
(egy teljes differenciál invariancia tulajdonsága).
Példa. Keresse meg és ha z = f(x ,y ), ahol x =uv , .
Megoldás. A (4) és (5) képlet alkalmazásával kapjuk:
Példa. Mutassuk meg, hogy a függvény kielégíti az egyenletet 
.
Megoldás. A függvény egy köztes argumentum révén függ x-től és y-tól, tehát
Ha parciális deriváltokat helyettesítünk az egyenlet bal oldalán, akkor a következőt kapjuk:
Vagyis a z függvény kielégíti ezt az egyenletet.
A függvény adott irányú és gradiensének deriváltja
1°. Egy függvény származéka adott irányban. Derivált függvények z= f(x,y) ebben az irányban hívott 
, ahol és a függvény értékei pontokban és . Ha a z függvény differenciálható, akkor a képlet érvényes
hol vannak az irányok közötti szögek lés a megfelelő koordinátatengelyek. Az adott irányú derivált egy függvény adott irányú változási sebességét jellemzi.
Példa. Határozzuk meg a z = 2x 2 - 3 2 függvény deriváltját a P (1; 0) pontban abban az irányban, amely 120°-os szöget zár be az OX tengellyel.
Megoldás. Keressük meg ennek a függvénynek a parciális deriváltjait és értékeit a P pontban.
Tétel.Hadd u = f (x, y) a D és let tartományban van megadva x = x(t) És y = y(t) azonosították a területen , és mikor , akkor x és y a D régióhoz tartozik . Legyen az u függvény differenciálható az M pontban 0 (x 0 , y 0 , z 0), és x függvények(t) és at(t) differenciálható a megfelelő t pontban 0 , akkor az u = f komplex függvény [x(t), y(t)]=F (t) t pontban differenciálható 0 és az egyenlőség érvényesül:
.
Bizonyíték. Mivel u feltétel szerint differenciálható a pontban ( x 0 , y 0), akkor a teljes növekményét a következőképpen ábrázoljuk
Ezt az arányt elosztva -vel, a következőt kapjuk:
Menjünk a határértékig, és kapjuk meg a képletet
.
1. megjegyzés. Ha u= u(x, y) És x= x, y= y(x), akkor a függvény teljes deriváltja u változó szerint x
vagy 
.
Az utolsó egyenlőség felhasználható egy változó függvényének megkülönböztetésére vonatkozó szabály bizonyítására, implicit formában megadva F(x, y) = 0, ahol y= y(x) (lásd a 3. témakört és a 14. példát).
Nekünk van: 
. Innen 
.
(6.1)
Térjünk vissza a 3. téma 14. példájához:
;
.
Mint látható, a válaszok egybeestek.
Jegyzet 2. Hadd u = f (x, y), Ahol x= x(t ,v), nál nél= nál nél(t ,v). Ekkor u végső soron két változó komplex függvénye tÉs v . Ha most az u függvény differenciálható a pontban M 0 (x 0 , y 0), és a függvények xÉs nál nél differenciálhatók a megfelelő ponton ( t 0 , v 0), akkor a vonatkozásban parciális deriváltokról beszélhetünk tÉs v pontban lévő komplex függvényből ( t 0 , v 0). De ha a t-re vonatkozó parciális deriváltról beszélünk egy meghatározott pontban, akkor a második v változót állandónak tekintjük és egyenlőnek v 0 . Következésképpen csak egy komplex függvény deriváltjáról beszélünk t vonatkozásában, ezért használhatjuk a származtatott formulát. Így kapjuk:
És 
.
13. példa. Keresse meg egy függvény teljes deriváltját u = x y, Ahol x = bűn t, y = kötözősaláta t .
41. Több változóból álló függvény extrémája.
Több változó függvényének szélsőértéke. Az extrémum létezésének szükséges és elégséges feltételei
Definíció 7. Egy pontot akkor nevezünk egy függvény minimum (maximum) pontjának, ha van a pontnak olyan környéke, amelyben a () egyenlőtlenség minden pontra érvényes.
A függvény minimum és maximum pontjait szélsőséges pontoknak nevezzük, a függvény értékeit pedig ezekben a pontokban a függvény szélsőértékeinek (minimum és maximum).
Vegye figyelembe, hogy egy függvény minimuma és maximuma lokális jellegű, mivel a függvény értékét egy pontban összehasonlítják a kellően közeli pontokban lévő értékeivel.
1. tétel (extrémum szükséges feltételei). Ha a differenciálható függvény szélsőpontja, akkor a parciális deriváltjai ebben a pontban egyenlők nullával: .
Azokat a pontokat, ahol az elsőrendű parciális deriváltak nullával egyenlők, kritikusnak vagy stacionáriusnak nevezzük. Kritikus pontokon a függvénynek lehet szélsősége, de lehet, hogy nem.
2. tétel (elegendő feltétel a szélsőséghez). Legyen a függvény: a) definiálva a kritikus pont valamely szomszédságában, ahol és; b) folytonos másodrendű parciális deriváltjai vannak. Ekkor, ha, akkor a pontban lévő függvénynek van egy szélsője: maximum, ha A<0; минимум, если А>0; ha, akkor a függvénynek nincs szélső értéke. Ebben az esetben az extrémum jelenlétének kérdése nyitva marad.
Két változó függvényének tanulmányozásakor egy szélsőséghez ajánlott a következő sémát használni:
1. Keresse meg az elsőrendű parciális deriváltokat: és.
2. Oldja meg az egyenletrendszert, és keresse meg a függvény kritikus pontjait!
3. Keresse meg a másodrendű parciális deriváltokat: , .
4. Számítsa ki a másodrendű parciális deriváltak értékeit minden kritikus pontban, és megfelelő feltételek mellett vonjon le következtetést a szélsőség jelenlétéről!
5. Keresse meg a függvény szélsőértékét!
6. példa Keresse meg a függvény szélsőértékét.
Megoldás. 1. Keressen parciális deriváltokat, és:
2. A kritikus pontok meghatározásához az egyenletrendszert oldjuk meg
A rendszer első egyenletéből azt találjuk: . Az y talált értékét behelyettesítve a második egyenletbe, azt kapjuk
Keresse meg az értékeknek megfelelő y értékeket. Az értékeket behelyettesítve az egyenletbe a következőt kapjuk: .
Így két kritikus pontunk van: és.
3. Keresse meg a másodrendű parciális deriváltokat:
4. Minden kritikus pontban kiszámítjuk a másodrendű parciális deriváltak értékét. Egy pontra a következőket kaptuk:
akkor nincs extrémum a ponton.
és ezért
Ez azt jelenti, hogy egy szélsőség elégséges feltétele miatt a függvénynek egy pontban van minimuma, mivel ezen a ponton és.
5. § Komplex függvények parciális deriváltjai. összetett függvények különbségei
1. Komplex függvény parciális deriváltjai.
Legyen két olyan változó függvénye, amelyek argumentumai 
És 
, maguk is két vagy több változó függvényei. Például hadd 
, 
.
Akkor 
akarat összetett funkció
független változók 
És 
, a változók neki szólnak köztes változók.
Ebben az esetben hogyan találjuk meg egy függvény parciális deriváltjait 
És ?
Természetesen közvetlenül kifejezheti a következőkkel:
és keressük a kapott függvény parciális deriváltjait. De a kifejezés nagyon összetett lehet, és részleges származékokat találni 
, 
akkor sok erőfeszítést igényel.
Ha a funkciók 
, 
, 
megkülönböztethetőek, akkor keresse meg 
és lehetséges anélkül, hogy közvetlen kifejezéshez folyamodnánk a és -n keresztül. Ebben az esetben a képletek érvényesek
(5.1)
Valóban, mondjuk az érvet 
növekedés 
, 
– konst. Aztán a funkciók 
És 
növekményt kap
és a függvény növekszik
Ahol 
, 
– végtelenül kicsi at 
, 
. Osszuk el az utolsó egyenlőség minden tagját -vel. Kapunk:
Mivel feltétel szerint a és függvények differenciálhatók, folytonosak. Ezért ha 
, majd és . Ez azt jelenti, hogy az utolsó egyenlőségben elérve a határértéket kapjuk:
(mivel a , végtelenül kicsi a , esetén).
Hasonló módon bizonyítjuk az (5.1) második egyenlőségét.
PÉLDA. Hadd 
, Ahol 
, 
. Ekkor a független változók és a komplex függvénye. A parciális deriváltjainak megtalálásához az (5.1) képletet használjuk. Nekünk van
Ha behelyettesítjük (5.1)-be, azt kapjuk
,
Az (5.1) képleteket természetesen általánosítjuk egy nagyobb számú független és köztes argumentummal rendelkező függvény esetére. Mégpedig ha
………………………
és az összes vizsgált függvény differenciálható, akkor bármely 
egyenlőség van
Az is előfordulhat, hogy a függvény argumentumai csak egy változó függvényei, pl.
, 
.
Ekkor csak egy változó komplex függvénye lesz 
és felvethetjük a származék megtalálásának kérdését 
. Ha a funkciók 
, 
differenciálhatóak, akkor a képlettel lehet megtalálni 
(5.2)
PÉLDA. Hadd 
, Ahol 
, 
. Itt egy független változó komplex függvénye látható. Az (5.2) képlet segítségével megkapjuk
.
És végül lehetséges, hogy a független változó szerepét , azaz. ,
Ahol 
.
Az (5.2) képletből ezután megkapjuk
(5.3)
(mert 
). Derivált 
, a jobb oldali (5.3) képletben a függvény parciális deriváltja a -hoz képest. Fix értékkel számítják ki. Derivált 
az (5.3) képlet bal oldalán az úgynevezett a függvény teljes deriváltja 
. Kiszámításánál figyelembe vettük, hogy kétféleképpen függ: közvetlenül és a második argumentum révén.
PÉLDA. Keresse meg a funkciót 
, Ahol 
.
Nekünk van 
.
A megtaláláshoz az (5.3) képletet használjuk. Kapunk
.
A bekezdés végén megjegyezzük, hogy az (5.2) és (5.3) képlet könnyen általánosítható a sok köztes argumentumot tartalmazó függvényekre.
2. Komplex függvény differenciálja.
Emlékezzünk vissza arra, hogy ha 
két független változó differenciálható függvénye, akkor definíció szerint
, (5.4)
vagy más formában 
. (5.5)
Az (5.5) képlet előnye, hogy akkor is igaz marad, ha összetett függvény.
Valóban, legyen , hol , . Tegyük fel, hogy a , , függvények differenciálhatók. Ekkor a komplex függvény is differenciálható lesz, és az (5.5) képlet szerinti teljes differenciája egyenlő lesz
.
Az (5.1) képlet segítségével egy komplex függvény parciális deriváltjait számítjuk ki
Mivel a és a függvények teljes különbségei zárójelben vannak, végre megvan
Meggyőződésünk tehát, hogy mind az amikor és független változók esetén, mind pedig abban az esetben, amikor és függő változók, a függvény differenciálja az (5.5) alakba írható. Ebben a tekintetben a teljes differenciál rögzítésének ezt a formáját ún állandó
. Az (5.4)-ben javasolt differenciálírási forma nem lesz invariáns, csak abban az esetben használható, ha és független változók. A differenciál felírásának formája sem lesz változatlan 
-edik sorrend. Emlékezzünk vissza, hogy korábban megmutattuk, hogy a sorrendiség 
két változó függvénye megtalálható a képlettel
. (4.12)
De ha nem független változók, akkor a (4.12) képletet 
megszűnik igaz lenni.
Nyilvánvaló, hogy a két változós függvényre ebben a részben végzett összes érvelés megismételhető egy nagyobb számú argumentummal rendelkező függvény esetén. Ezért egy függvénynél a differenciál kétféle formában is felírható:
a második jelölési forma pedig invariáns lesz, azaz. igazságos még abban az esetben is, ha 
nem független változók, hanem köztes argumentumok.
6. § Az implicit funkciók differenciálása
Az egy vagy több változó függvényének meghatározásának módjairól szólva megjegyeztük, hogy egy függvény analitikus meghatározása lehet explicit vagy implicit. Az első esetben a függvény értékét az argumentumok ismert értékeiből találjuk meg; a másodikban a függvény értékét és argumentumait valamilyen egyenlet kapcsolja össze. Azt azonban nem határoztuk meg, hogy mikor az egyenletek
És
implicit módon meghatározott függvényeket és ill. Könnyen használható elegendő feltétel egy implicit függvény létezéséhez 
változók ( 
) a következő tétel tartalmazza.
TÉTEL6.1
. (implicit függvény megléte) Legyen a függvény 
és parciális származékai 
meghatározottak és folytonosak a pont valamely szomszédságában. Ha 
És 
, akkor van ilyen környék 
pont, ahol az egyenlet
folytonos függvényt határoz meg és
1) Tekintsük az egyenletet 
. A tétel feltételei teljesülnek például a pont bármely környezetében 
. Ezért a pont valamely szomszédságában 
ez az egyenlet két változó implicit függvényeként és . Ennek a függvénynek a kifejezett kifejezése könnyen megkapható a következő egyenlet megoldásával:
2) Tekintsük az egyenletet 
. Két változó két függvényét határozza meg és . Valójában a tétel feltételei teljesülnek például a pont bármely környezetében 
, amelyben az adott egyenlet egy folytonos függvényt definiál, amely értéket vesz fel 
.
Másrészt a tétel feltételei a pont bármely környezetében teljesülnek 
. Következésképpen a pont bizonyos környezetében az egyenlet egy folytonos függvényt definiál, amely felveszi a pont értéket. 
.
Mivel egy függvény nem vehet fel két értéket egy ponton, ez azt jelenti, hogy két különböző függvényről beszélünk 
és ennek megfelelően. Keressük ezek kifejezett kifejezéseit. Ehhez oldjuk meg az eredeti egyenletet. Kapunk
3) Tekintsük az egyenletet 
. Nyilvánvaló, hogy a tétel feltételei a pont bármely környezetében teljesülnek 
. Következésképpen van a pontnak ilyen szomszédsága 
, amelyben az egyenlet a változó implicit függvényeként definiál. Lehetetlen ehhez a függvényhez explicit kifejezést szerezni, mivel az egyenlet nem oldható fel a függvényre.
4) Egyenlet 
nem definiál semmilyen implicit függvényt, mivel nincsenek valós számpárok, és ezek ezt kielégítik.
Funkció 
, az egyenlet adja meg 
, a 6.1. Tétel szerint folyamatos parciális deriváltjai vannak a pont szomszédságában lévő összes argumentum tekintetében. Nézzük meg, hogyan találhatjuk meg őket anélkül, hogy kifejezetten megadnánk a függvényt.
Legyen a függvény 
teljesíti a 6.1. Tétel feltételeit. Aztán az egyenlet 
folyamatos funkció 
. Tekintsük az összetett függvényt 
, Ahol . A függvény egy változó összetett függvénye, és ha 
, Azt
(6.1)
Másrészt az (5.3) képlet szerint a teljes derivált kiszámításához 
(6.2)
A (6.1) és (6.2)-ből azt kapjuk, hogy ha , akkor
(6.3)
Megjegyzés. Oszd el 
lehetséges, mivel a 6.1. Tétel szerint 
bárhol a közelben.
PÉLDA. Keresse meg az egyenlet által adott implicit függvény deriváltját, és számítsa ki az értékét! 
.
, 
.
A (6.3) képletbe parciális deriváltokat behelyettesítve kapjuk
.
Ezután az eredeti egyenletbe behelyettesítve két értéket találunk: 
És 
.
Következésképpen a pont közelében az egyenlet két függvényt határoz meg: 
És 
, Ahol 
, 
. A származékaik at will egyenlőek
És 
.
Lássuk most az egyenletet 
pont valamely szomszédságában határoz meg 
funkció Találjuk meg. Emlékezzünk vissza, hogy valójában ez egy állandó értékű változó függvényének tekintett függvény közönséges deriváltja. Ezért a (6.3) képlet segítségével megtalálhatjuk, tekintve függvénynek, argumentumnak, konstansnak. Kapunk
. (6.4)
Hasonlóképpen, ha egy függvényt, egy argumentumot, egy konstanst vizsgálunk a (6.3) képlet segítségével, azt találjuk
. (6.5)
PÉLDA. Keresse meg az egyenlet által megadott függvény parciális deriváltjait! 
.
, 
, 
.
A (6.4) és (6.5) képlet segítségével megkapjuk
, 
.
Végül tekintsük az általános esetet, amikor az egyenlet
egy pont adott környezetében lévő változók függvényét határozza meg. Megismételve a két változó implicit adott függvényére végrehajtott argumentumokat, megkapjuk
, 
, …, 
.
7. § Irányszármazék
1. Irányszármazék.
Legyen két változóból álló függvény definiálva valamelyik tartományban 
repülőgép 
, – a régió pontja, 
– bármely irányú vektor. Lépjünk a lényegről 
a vektor irányába eső ponthoz. A függvény növekményt kap
Osszuk el a függvény növekményét 
az eltolt szegmens hosszával 
. Az eredmény aránya 
a függvény átlagos változási sebességét adja meg a területen 
. Akkor ennek az aránynak a határa at 
(ha létezik és véges) lesz a függvény változási sebessége a pontban 
a vektor irányába. Neveztetik függvény deriváltja egy pontban a vektor irányában
és jelöljük 
vagy 
.
A függvény változási sebessége mellett lehetővé teszi a függvény változás jellegének meghatározását a vektor irányába eső pontban. 
(növekszik vagy csökken):
Ezek az állítások ugyanúgy bizonyítottak, mint a hasonlóak egy változó függvényére.
Figyeljük meg, hogy egy függvény parciális deriváltjai az irányderivált speciális esetei. Ugyanis, 
ez a függvény deriváltja a vektor irányában 
(tengely iránya 
), a függvény deriváltja a vektor irányában 
(tengely iránya 
).
Tegyük fel, hogy a függvény a pontban differenciálható. Akkor
Ahol 
– végtelenül kicsi at 
.
Kijelölése
|
keresztül 
, nekünk van
, kapunk, egy ponton egy pontonAdott egy komplex függvény deriváltjának képletének bizonyítása. Részletesen megvizsgáljuk azokat az eseteket, amikor egy komplex függvény egy vagy két változótól függ. Az általánosítás tetszőleges számú változó esetére történik.
TartalomLásd még: Példák a komplex függvény deriváltjának képletére
Alapképletek
Itt a következő képletek származtatását adjuk meg egy komplex függvény deriválására.
Ha akkor
.
Ha akkor
.
Ha akkor
.
Komplex függvény származéka egy változóból
Legyen az x változó függvénye komplex függvényként ábrázolva a következő formában:
,
ahol van néhány funkció. A függvény az x változó valamely értékére differenciálható. A függvény a változó értékén differenciálható.
Ekkor a komplex (összetett) függvény az x pontban differenciálható, és deriváltját a következő képlet határozza meg:
(1)
.
Az (1) képlet a következőképpen is felírható:
;
.
Bizonyíték
Vezessük be a következő jelölést.
;
.
Itt van a változók függvénye és , van egy függvénye az és a változóknak. De kihagyjuk ezeknek a függvényeknek az argumentumait, hogy ne zavarjuk a számításokat.
Mivel a és függvények az x, illetve a pontokban differenciálhatók, ezért ezekben a pontokban vannak ezeknek a függvényeknek a deriváltjai, amelyek a következő határértékek:
;
.
Vegye figyelembe a következő funkciót:
.
Az u változó fix értékére a függvénye. Ez nyilvánvaló
.
Akkor
.
Mivel a függvény a ponton differenciálható függvény, ezért abban a pontban folytonos. Ezért
.
Akkor
.
Most megtaláljuk a származékot.
.
A képlet bevált.
Következmény
Ha egy x változó függvénye egy komplex függvény komplex függvényeként ábrázolható
,
akkor származékát a képlet határozza meg
.
Itt van néhány differenciálható függvény.
Ennek a képletnek a bizonyításához szekvenciálisan kiszámítjuk a deriváltot a komplex függvény differenciálására vonatkozó szabály segítségével.
Tekintsük az összetett függvényt
.
A származéka
.
Vegye figyelembe az eredeti funkciót
.
A származéka
.
Komplex függvény származéka két változóból
Most hagyjuk, hogy a komplex függvény több változótól függjön. Először nézzük meg két változó komplex függvényének esete.
Legyen egy x változótól függő függvény két változó komplex függvénye a következő formában:
,
Ahol
és vannak differenciálható függvények az x változó valamely értékéhez;
- két változó függvénye, amely az , pontban differenciálható. Ekkor a komplex függvény a pont egy bizonyos környezetében van definiálva, és van egy deriváltja, amelyet a következő képlet határoz meg:
(2)
.
Bizonyíték
Mivel a és függvények a pontban differenciálhatók, ennek a pontnak egy bizonyos környezetében vannak definiálva, a pontban folytonosak, és deriváltjaik a pontban léteznek, amelyek a következő határértékek:
;
.
Itt
;
.
Ezen funkciók folytonossága miatt egy ponton a következőkkel rendelkezünk:
;
.
Mivel a függvény a pontban differenciálható, ennek a pontnak egy bizonyos környezetében van definiálva, ebben a pontban folytonos, és növekménye a következő formában írható fel:
(3)
.
Itt
- egy függvény növelése, ha argumentumait értékekkel és értékekkel növeljük;
;
- a függvény parciális deriváltjai a és változók tekintetében.
A és fix értékeire és a változók és a függvényei. Általában nullára állnak, és:
;
.
Azóta és azóta
;
.
Funkciónövekedés:
.
:
.
Cseréljük ki a (3)-at:
.
A képlet bevált.
Egy komplex függvény származéka több változóból
A fenti következtetés könnyen általánosítható arra az esetre, amikor egy komplex függvény változóinak száma kettőnél több.
Például ha f értéke három változó függvénye, Azt
,
Ahol
, és vannak differenciálható függvények az x változó valamely értékére;
- három változó differenciálható függvénye a , , pontban.
Ezután a függvény differenciálhatóságának definíciójából a következőt kapjuk:
(4)
.
Mert a folytonosság miatt
;
;
,
Hogy
;
;
.
A (4)-et elosztva a határértékig a következőt kapjuk:
.
És végül mérlegeljük a legáltalánosabb eset.
Legyen az x változó függvénye n változó komplex függvénye a következő formában:
,
Ahol
vannak differenciálható függvények az x változó valamely értékére;
- n változó differenciálható függvénye egy pontban
,
,
... , .
Akkor
.
