Kaj pomeni več funkcijskih vrednosti? Funkcijsko območje (niz funkcijskih vrednosti)

l = x 3

y =| x|

y =

E( l) = [- 1, 1]

E( l) = (– ∞, + ∞)

E( l) = (– ∞, + ∞)

E( l) = (– ∞, + ∞)

E( l) = (0, + ∞)

Uvedba algoritma za reševanje problemov iskanja množice vrednosti trigonometričnih funkcij.

Poglejmo, kako lahko naše obstoječe izkušnje uporabimo za različne naloge, vključene v možnosti poenotenega izpita.

1. Iskanje vrednosti funkcij za dano vrednost argumenta.

Primer. Poiščite vrednost funkcije y = 2 cos(π/2+ π/4 ) – 1, če x = -π/2.

rešitev.

= –
– 1.

2. Iskanje obsega vrednosti trigonometričnih funkcij


rešitev.

1≤ grehX≤ 1

2 ≤ 2 grehX≤ 2

9 ≤ 11+2grehX≤ 13

3 ≤
+2∙ greh x ≤
, tj. E (y) = .

Zapišimo celoštevilske vrednosti funkcije na intervalu. To je številka 3.

Odgovor: 3.

• 
  Poiščite množico funkcijskih vrednosti pri= greh 2 X+6sin X + 10.

• 
  Poiščite množico funkcijskih vrednosti: pri = greh 2 X - 6 greh x + 8 . (sam)

pri= greh 2 X- 2 3 grehx + 3 2 - 3 2 + 8,

pri= (grehX- 3) 2 -1.

E ( grehX) = [-1;1];

E ( grehX -3) = [-4;-2];

E ( grehX -3) 2 = ;

E ( pri) = .

Odgovor: .

• 
  Poiščite najmanjšo vrednost funkcije pri= cos 2 x+ 2 sin x – 2.

Ali lahko najdemo nabor vrednosti te funkcije? (Ne.)

Kaj je treba narediti? (Zmanjšaj na eno funkcijo.)

Kako narediti? (Uporabite formulo cos 2 x= 1-greh 2 x.)

Torej, pri= 1-greh 2 x+ 2 sin x –2,

l= -greh 2 x+ 2 sin x –1,

pri= -(greh x –1) 2 .

No, zdaj lahko najdemo nabor vrednosti in izberemo najmanjšo.

1 ≤ greh x ≤ 1,

2 ≤ greh x – 1 ≤ 0,

0 ≤ (sin x – 1) 2 ≤ 4,

4 ≤ -(sin x -1) 2 ≤ 0.

To pomeni, da je najmanjša vrednost funkcije pri ime= –4. Odgovor: -4.

• 
  Poiščite produkt največje in najmanjše vrednosti funkcije

rešitev.

pri= 1-cos 2 x+cos x + 1,5,

pri= -cos 2 x+ 2∙0,5∙cos x - 0,25 + 2,75,

pri= -(cos x- 0,5) 2 + 2,75.

E(cos x) = [-1;1],

E(cos x – 0,5) = [-1,5;0,5],

E(cos x – 0,5) 2 = ,

E(-(cos x-0,5) 2) = [-2,25;0],

E( pri) = .

Največja vrednost funkcije pri naib= 2,75; najmanjša vrednost pri ime= 0,5. Poiščimo produkt največje in najmanjše vrednosti funkcije:

pri naib ∙pri ime = 0,5∙2,75 = 1,375.

Odgovor: 1,375.

Prepišimo funkcijo v obliki pri =,

pri =
,

Poiščimo zdaj nabor vrednosti funkcije.

E (greh x) = [-1, 1],

E(6sin x) = [-6, 6],

E(6sin x + 1) = [-5, 7],

E((6sin x + 1) 2) = ,

E(– (6sin x + 1) 2) = [-49, 0],

E(– (6sin x + 1) 2 + 64) = ,

E( l) = [
, 8].

Poiščimo vsoto celih vrednosti funkcije: 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30.

Odgovor: 30.

1)
to je X spada v prvo četrtino.

2)

Zato 2 X spadajo v drugo četrtino.

3) V drugi četrtini sinusna funkcija pada in je zvezna. To pomeni, da ta funkcija
vzame vse vrednosti iz
prej

4) Izračunajmo te vrednosti:

Odgovori :
.

1) Ker sinus zavzema vrednosti od -1 do 1, potem niz vrednosti razlike
. Ko se pomnoži s
ta segment bo šel v segment
.

2) Arkus kosinus je monotono padajoča in zvezna funkcija. To pomeni, da je niz vrednosti izraza segment
.

3) Pri množenju tega segmenta z dobimo
.

odgovor:
.

Ker je arktangens naraščajoča funkcija, potem
.

2) Pri povečanju X od
prej argument 2 X poveča od
prej . Ker sinus narašča v takem intervalu, funkcija
vzame vrednosti iz
do 1.

3) Pri povečanju od prej
argument 2 X poveča od prej
. Ker se sinus zmanjša na takem intervalu, potem funkcija
vzame vrednosti iz
do 1.

4) Z uporabo formule, ki izraža sinus skozi tangens polovičnega kota, ugotovimo, da

.

To pomeni, da je želeni niz vrednosti zveza segmentov
in
, torej segment
.

odgovor:
.
Ta tehnika (uvedba pomožnega kota) se uporablja za iskanje niza vrednosti funkcij oblike

pri= a sin x + b cos x oz pri= greh (Rx) + b cos (Rx).

• 
  Poiščite množico funkcijskih vrednosti

rešitev.

Poiščimo vrednost
=
= 25.

Preoblikujemo izraz

15 sin 2x + 20 cos 2x = 25 (
) = 25 () =

25 greh (2x + ), kjer je cos = , greh =.

Niz vrednosti funkcije y = sin (2x + ): -1 greh (2x + ) 1.

Potem je niz vrednosti izvirne funkcije -25 25 greh (2x + ) 25.

Odgovori: [-25; 25].
3. Naloge pri iskanju največjih in najmanjših vrednosti funkcije na intervalu.

• 
  Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije pri= stg X na intervalu [π/4; π/2].

funkcija pri= stg X pada na intervalu [π/4; π/2], zato bo funkcija zavzela najmanjšo vrednost, ko x =π/2, to je pri(π/2) = сtg π/2 = 0; in največja vrednost je pri x=π/4, to je pri(π/4) = сtg π/4 = 1.

Odgovor: 1, 0.

Izbirajmo v enakosti
cel del: .

Iz tega sledi, da je graf funkcije f(x) hiperbola (a≠ 0) ali premica brez točke.

Poleg tega, če a; 2a) in (2a;
) in če je a > 0, monotono narašča na teh žarkih.

Če je a = 0, potem je f(x) = -2 v celotni domeni definicije x ≠ 0. Zato je očitno, da zahtevane vrednosti parametra niso enake nič.

Ker nas zanimajo vrednosti funkcije samo na intervalu [-1; 1], potem je klasifikacija situacij določena z dejstvom, da se asimptota x = 2a hiperbole (a≠0) nahaja glede na ta segment.

Primer 1. Vse točke v intervalu [-1; 1] so desno od navpične asimptote x = 2a, to je, ko je 2a

Primer 2. Navpična asimptota prečka interval [-1; 1], funkcija pa pada (kot v primeru 1), to je, ko

Primer 3. Navpična asimptota prečka interval [-1; 1] in funkcija narašča, to je -1

.

Primer 4. Vse točke v intervalu [-1; 1] so levo od navpične asimptote, to je 1 a > . in drugo
Tehnika 4 . Izražanje x skozi y. (Iskanje domene inverzne funkcije)

Sprejem 5. Poenostavitev formule, ki definira ulomno-racionalno funkcijo

Sprejem 6. Iskanje več vrednosti kvadratne funkcije(z iskanjem oglišča parabole in ugotavljanjem obnašanja njenih vej).

Sprejem 7. Uvedba pomožnega kota za iskanje množice vrednosti nekaterih trigonometričnih funkcij.

stran 1

Odvisnost ene spremenljivke od druge se imenuje funkcionalna odvisnost. Spremenljivka odvisnosti l iz spremenljivke x klical funkcijo, če je vsaka vrednost x se ujema z eno samo vrednostjo l.

Oznaka:

Spremenljivka x imenovana neodvisna spremenljivka oz prepir, in spremenljivko l- odvisen. To pravijo l je funkcija x. Pomen l, ki ustreza navedeni vrednosti x, poklical vrednost funkcije.

Vse vrednote, ki jih sprejema x, oblika domena funkcije; vse vrednosti, ki jih potrebuje l, oblika niz funkcijskih vrednosti.

Oznake:

D(f)- vrednosti argumentov. E(f)- vrednosti funkcij. Če je funkcija podana s formulo, se šteje, da je domena definicije sestavljena iz vseh vrednosti spremenljivke, za katero je ta formula smiselna.

Funkcijski graf je množica vseh točk na koordinatni ravnini, katerih abscise so enake vrednostim argumenta in katerih ordinate so enake ustreznim vrednostim funkcije. Če nekaj vrednosti x=x 0 ujema z več vrednostmi (ne le eno) l, potem taka korespondenca ni funkcija. Da je množica točk na koordinatni ravnini graf določene funkcije, je nujno in zadostno, da se vsaka premica, vzporedna z osjo Oy, seka z grafom največ v eni točki.

Metode za določanje funkcije

1) Funkcijo je mogoče nastaviti analitično v obliki formule. na primer

2) Funkcijo je mogoče podati s tabelo številnih parov (x; y).

3) Funkcijo lahko podate grafično. Vrednostni pari (x; y) so upodobljene na koordinatni ravnini.

Monotonost funkcije

funkcija f(x) klical povečevanje na danem številskem intervalu, če večja vrednost argumenta ustreza večji vrednosti funkcije. Predstavljajte si, da se določena točka premika po grafu od leve proti desni. Potem se bo zdelo, da se točka "vzpenja" po grafu.

funkcija f(x) klical zmanjševanje na danem številskem intervalu, če večja vrednost argumenta ustreza manjši vrednosti funkcije. Predstavljajte si, da se določena točka premika po grafu od leve proti desni. Potem se bo zdelo, da se točka "kotali" navzdol po grafu.

Pokličemo funkcijo, ki samo narašča ali samo pada v danem številskem intervalu monotono v tem intervalu.

Ničle funkcije in intervali konstantnega predznaka

Vrednote X, pri katerem y=0, poklical funkcijske ničle. To so abscise točk presečišča grafa funkcije z osjo Ox.

Takšni razponi vrednosti x, na kateri je vrednost funkcije l imenujemo samo pozitivne ali samo negativne intervali konstantnega predznaka funkcije.

Sode in lihe funkcije

Celotna funkcija
1) Definicijsko področje je simetrično glede na točko (0; 0), to je, če je točka a spada v domeno definicije, potem bistvo -a spada tudi v domeno definicije.
2) Za katero koli vrednost x f(-x)=f(x)
3) Graf sode funkcije je simetričen glede na os Oy.

Čudna funkcija ima naslednje lastnosti:
1) Definicijsko področje je simetrično glede na točko (0; 0).
2) za katero koli vrednost x, ki spada v domeno definicije, enakosti f(-x)=-f(x)
3) Graf lihe funkcije je simetričen glede na izhodišče (0; 0).

Vsaka funkcija ni soda ali liha. Funkcije splošni pogled niso niti sodi niti lihi.

Periodične funkcije

funkcija f se imenuje periodično, če obstaja število, tako da za katero koli x s področja definicije enakost f(x)=f(x-T)=f(x+T). T je obdobje funkcije.

Vsaka periodična funkcija ima neskončno število period. V praksi se običajno upošteva najmanjša pozitivna doba.

Vrednosti periodične funkcije se ponovijo po intervalu, ki je enak obdobju. To se uporablja pri izdelavi grafov.

D(f)- tiste vrednosti, ki jih lahko sprejme argument, tj. domena funkcije.

E(f)- tiste vrednosti, ki jih funkcija lahko sprejme, tj. niz funkcijskih vrednosti.

Metode iskanja območij funkcij.

zaporedno iskanje vrednosti kompleksnih funkcijskih argumentov;

metoda ocenjevanja/meje;

uporaba lastnosti zveznosti in monotonosti funkcije;

uporaba derivata;

uporaba največje in najmanjše vrednosti funkcije;

grafična metoda;

način vnosa parametrov;

metoda inverzne funkcije.

Poglejmo jih nekaj.

Uporaba izpeljanke

Splošni pristop k iskanju množice vrednosti zvezne funkcije f(x) je sestavljeno iz iskanja največje in najmanjše vrednosti funkcije f(x) v njeni domeni (ali dokazovanja, da ena ali obe ne obstajata).

V primeru, da morate najti nabore funkcijskih vrednosti na segmentu:

poiščite odvod dane funkcije f "(x);

poišči kritične točke funkcije f(x) in izberi tiste, ki pripadajo temu segmentu;

izračunajte vrednosti funkcij na koncih segmenta in na izbranih kritičnih točkah;

med najdenimi vrednostmi izberite najmanjšo in največjo vrednost;

Nabor funkcijskih vrednosti je zaprt med temi vrednostmi.

Če je domena funkcije interval, potem se uporabi ista shema, vendar se namesto vrednosti na koncih uporabijo meje funkcije, ko se argument nagiba k koncem intervala. Mejne vrednosti iz niso vključene v nabor vrednosti.

Metoda mej/rezultatov

Če želite poiskati nabor vrednosti funkcije, najprej poiščite nabor vrednosti argumentov, nato pa poiščite ustrezne najmanjše in največje vrednosti funkcije funkcije. S pomočjo neenakosti se določijo meje.

Bistvo je oceniti zvezno funkcijo od spodaj in od zgoraj ter dokazati, da funkcija dosega spodnjo in zgornjo mejo ocen. V tem primeru je sovpadanje nabora funkcijskih vrednosti z intervalom od spodnje meje ocene do zgornje določeno s kontinuiteto funkcije in odsotnostjo drugih vrednosti zanjo.

Lastnosti zvezne funkcije

Druga možnost je, da funkcijo pretvorimo v zvezno monotono, nato pa z uporabo lastnosti neenakosti ocenimo niz vrednosti novo pridobljene funkcije.

Zaporedno iskanje vrednosti argumentov kompleksne funkcije

Na podlagi zaporednega iskanja niza vrednosti vmesnih funkcij, iz katerih je funkcija sestavljena

Območja vrednosti osnovnih elementarnih funkcij

Primeri

Poiščite množico funkcijskih vrednosti:

Uporaba izpeljanke

Najdemo domeno definicije: D(f)=[-3;3], ker $9-x^(2)\geq 0$

Poiščite odvod: $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2)))$

f"(x) = 0, če je x = 0. f"(x) ne obstaja, če je $\sqrt(9-x^(2))=0$, to je za x = ±3. Dobimo tri kritične točke: x 1 = –3, x 2 = 0, x 3 = 3, od katerih dve sovpadata s koncema segmenta. Izračunajmo: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Tako je najmanjša vrednost f(x) 0, največja pa 3.

Odgovor: E(f) = .

NE uporablja izpeljanke

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije:

Od $
f(x) = 1-\cos^(2)(x)+\cos(x)-\frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $ , potem:

$f(x)\leq \frac(3)(4)$ za vse x;

$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ za vse x(ker $|\cos (x)|\leq 1$);

$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;

$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;

Odgovor: $\frac(3)(4)$ in $-\frac(3)(2)$

Če to težavo rešite z izpeljankami, boste morali premagati ovire, povezane z dejstvom, da funkcija f(x) ni definirana na segmentu, temveč na celotni številski premici.

Uporaba metode mej/ocen

Iz definicije sinusa sledi $-1\leq\sin(x)\leq 1$. Nato bomo uporabili lastnosti numeričnih neenakosti.

$-4\leq - 4\sin(x)\leq 4$, (pomnožene vse tri dele dvojne neenakosti z -4);

$1\leq 5 - 4\sin(x)\leq 9$ (dodano trem delom dvojne neenakosti 5);

Ker je ta funkcija zvezna v celotni domeni definicije, je nabor njenih vrednosti vsebovan med najmanjšo in največjo vrednostjo v celotni domeni definicije, če ta obstaja.

V tem primeru je množica vrednosti funkcije $y = 5 - 4\sin(x)$ množica .

Iz neenakosti $$ \\ -1\leq\cos(7x)\leq 1 \\ -5\leq 5\cos(x)\leq 5 $$ dobimo oceno $$\\ -6\leq y\ leq 6 $ $

Pri x = p in x = 0 ima funkcija vrednosti -6 in 6, tj. doseže spodnjo in zgornjo mejo ocene. Kot linearna kombinacija zveznih funkcij cos(7x) in cos(x) je funkcija y zvezna na celotni številski premici, zato po lastnosti zvezne funkcije zavzema vse vrednosti od -6 do vključno 6 , in samo njih, saj so zaradi neenakosti $- 6\leq y\leq 6$ njegove druge vrednosti nemogoče.

Zato je E(y) = [-6;6].

$$ \\ -1\leq\sin(x)\leq 1 \\ 0\leq\sin^(2)(x)\leq 1 \\ 0\leq2\sin^(2)(x)\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ Odgovor: E(f) = .

$$ \\ -\infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].

$$ \\ -\infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .

Pretvorimo izraz $$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\left ( (\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \desno)\cos\levo ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)(2 )) \desno) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac(\ pi) (4)) $$.

Iz definicije kosinusa sledi $$ \\ -1\leq\cos(x)\leq 1; \\ -1\leq \cos((x + \frac(\pi)(4)))\leq 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); $$

Ker je ta funkcija zvezna v celotni definicijski domeni, je nabor njenih vrednosti med njeno najmanjšo in največjo vrednostjo, če obstaja, nabor vrednosti funkcije $y =\sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4 )))$ je niz $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$.

$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \\ E(3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x) )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$

Označimo $t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$, kjer je -∞≤t≤4. Tako se problem zmanjša na iskanje množice vrednosti funkcije $y = \log_(0,5)(t)$ na žarku (-∞;4). Ker je funkcija $y = \log_(0,5)(t)$ definirana le za t > 0, potem njen niz vrednosti na žarku (-∞;4) sovpada z nizom vrednosti funkcije na intervalu (0;4), ki predstavlja presečišče žarka (-∞;4) z definiranim področjem (0;+∞) logaritemske funkcije. Na intervalu (0;4) je ta funkcija zvezna in padajoča. Pri t > 0 teži k +∞, pri t = 4 pa prevzame vrednost -2, torej E(y) = (-2, +∞).

Uporabljamo tehniko, ki temelji na grafični predstavitvi funkcije.

Po transformaciji funkcije imamo: y 2 + x 2 = 25 in y ≥ 0, |x| ≤ 5.

Spomnimo se, da je $x^(2)+y^(2)=r^(2)$ enačba kroga s polmerom r.

Pod temi omejitvami je graf te enačbe zgornji polkrog s središčem v izhodišču in polmerom, ki je enak 5. Očitno je E(y) = .

Odgovor: E(y) = .

Reference

Obseg funkcij v Težave z enotnim državnim izpitom, Minyuk Irina Borisovna

Nasveti za iskanje množice vrednosti funkcije, Belyaeva I., Fedorova S.

Iskanje množice funkcijskih vrednosti

Kako rešiti naloge iz matematike na sprejemnih izpitih, I.I.Melnikov, I.N.Sergeev

Funkcija je model. Definirajmo X kot niz vrednosti neodvisne spremenljivke // neodvisno pomeni katero koli.

Funkcija je pravilo, s pomočjo katerega lahko za vsako vrednost neodvisne spremenljivke iz množice X najdemo enolično vrednost odvisne spremenljivke. // tj. za vsak x obstaja en y.

Iz definicije sledi, da obstajata dva pojma - neodvisna spremenljivka (ki jo označimo z x in ima lahko poljubno vrednost) in odvisna spremenljivka (ki jo označimo z y ali f (x) in se izračuna iz funkcije, ko zamenjamo x).

NA PRIMER y=5+x

1. Neodvisen je x, kar pomeni, da vzamemo poljubno vrednost, naj bo x=3

2. Zdaj pa izračunajmo y, kar pomeni y=5+x=5+3=8. (y je odvisen od x, ker ne glede na x, ki ga nadomestimo, dobimo enak y)

Za spremenljivko y pravimo, da je funkcionalno odvisna od spremenljivke x in jo označimo na naslednji način: y = f (x).

NA PRIMER.

1.y=1/x. (imenovano hiperbola)

2. y=x^2. (imenovana parabola)

3.y=3x+7. (imenovana ravna črta)

4. y= √ x. (imenovana veja parabole)

Neodvisna spremenljivka (ki jo označimo z x) se imenuje argument funkcije.

Domena funkcije

Nabor vseh vrednosti, ki jih ima argument funkcije, se imenuje domena funkcije in je označen z D(f) ali D(y).

Upoštevajte D(y) za 1.,2.,3.,4.

1. D (y)= (∞; 0) in (0;+∞) //celoten niz realnih števil razen ničle.

2. D (y)= (∞; +∞)//vse število realnih števil

3. D (y)= (∞; +∞)//vse število realnih števil

4. D (y)= )