Graf kvadratne funkcije y ax2 bx c. Določanje vrednosti koeficientov kvadratne funkcije iz grafa

Lekcija: Kako sestaviti parabolo ali kvadratno funkcijo?

TEORETIČNI DEL

Parabola je graf funkcije, opisane s formulo ax 2 +bx+c=0.
Če želite zgraditi parabolo, morate slediti preprostemu algoritmu:

1) Formula parabole y=ax 2 +bx+c,
če a>0 tedaj sta veji parabole usmerjeni gor,
sicer sta veji parabole usmerjeni navzdol.
Brezplačni član c ta točka seka parabolo z osjo OY;

2), se ugotovi s formulo x=(-b)/2a, najdeni x nadomestimo v enačbo parabole in poiščemo l;

3)Funkcijske ničle ali z drugimi besedami točke presečišča parabole z osjo OX, imenujemo jih tudi koreni enačbe. Za iskanje korenov enačbo enačimo z 0 ax 2 +bx+c=0;

Vrste enačb:

a) Popolna kvadratna enačba ima obliko ax 2 +bx+c=0 in ga rešuje diskriminant;
b) Nepopolna kvadratna enačba oblike sekira 2 +bx=0.Če ga želite rešiti, morate x vzeti iz oklepajev, nato pa vsak faktor enačiti z 0:
sekira 2 +bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 in ax+b=0;
c) Nepopolna kvadratna enačba oblike sekira 2 +c=0.Če želite to rešiti, morate neznanke premakniti na eno stran, znane pa na drugo. x =±√(c/a);

4) Poiščite več dodatnih točk za konstrukcijo funkcije.

PRAKTIČNI DEL

In tako bomo zdaj z uporabo primera vse analizirali korak za korakom:
Primer #1:
y=x 2 +4x+3
c=3 pomeni, da parabola seka OY v točki x=0 y=3. Veje parabole gledajo navzgor, saj je a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 oglišče je v točki (-2;-1)
Poiščimo korenine enačbe x 2 +4x+3=0
S pomočjo diskriminante poiščemo korenine
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3

Vzemimo več poljubnih točk, ki se nahajajo v bližini oglišča x = -2

x -4 -3 -1 0
y 3 0 0 3

Namesto x v enačbo nadomestite y=x 2 +4x+3 vrednosti
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Iz vrednosti funkcije je razvidno, da je parabola simetrična glede na ravno črto x = -2

Primer #2:
y=-x 2 +4x
c=0 pomeni, da parabola seka OY v točki x=0 y=0. Veje parabole gledajo navzdol, saj a=-1 -1 Poiščemo korenine enačbe -x 2 +4x=0
Nepopolna kvadratna enačba oblike ax 2 +bx=0. Če ga želite rešiti, morate x vzeti iz oklepajev, nato pa vsak faktor enačiti z 0.
x(-x+4)=0, x=0 in x=4.

Vzemimo več poljubnih točk, ki se nahajajo v bližini oglišča x=2
x 0 1 3 4
y 0 3 3 0
Namesto x v enačbo nadomestite y=-x 2 +4x vrednosti
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Iz vrednosti funkcije je razvidno, da je parabola simetrična glede na premico x = 2

Primer št. 3
y=x 2 -4
c=4 pomeni, da parabola seka OY v točki x=0 y=4. Veje parabole gledajo navzgor, saj je a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 oglišče je v točki (0;- 4)
Poiščimo korenine enačbe x 2 -4=0
Nepopolna kvadratna enačba oblike ax 2 +c=0. Če želite to rešiti, morate neznanke premakniti na eno stran, znane pa na drugo. x =±√(c/a)
x 2 =4
x 1 =2
x 2 =-2

Vzemimo več poljubnih točk, ki se nahajajo v bližini oglišča x=0
x -2 -1 1 2
y 0 -3 -3 0
Namesto x v enačbo nadomestite y= x 2 -4 vrednosti
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Iz vrednosti funkcije je razvidno, da je parabola simetrična glede na premico x = 0.

Naročite se na kanal na YOUTUBE da ste na tekočem z vsemi novostmi in se skupaj z nami pripravljate na izpite.

Učnice algebre za 8. razred srednje šole

Tema lekcije: Funkcija

Namen lekcije:

· Izobraževalni: opredeliti pojem kvadratne funkcije oblike (primerjati grafe funkcij in ), pokazati formulo za iskanje koordinat vrha parabole (naučiti se uporabiti to formulo v praksi); razvijati zmožnost določanja lastnosti kvadratne funkcije iz grafa (iskanje simetrijske osi, koordinat vrha parabole, koordinat presečišč grafa s koordinatnimi osemi).

· Razvojni: razvoj matematičnega govora, sposobnost pravilnega, doslednega in racionalnega izražanja svojih misli; razvijanje spretnosti pravilnega pisanja matematičnega besedila z uporabo simbolov in zapisov; razvoj analitičnega mišljenja; razvoj kognitivna dejavnost dijaki skozi sposobnost analize, sistematizacije in posploševanja snovi.

· Poučna: negovanje samostojnosti, sposobnost poslušanja drugih, razvijanje natančnosti in pozornosti v pisnem matematičnem govoru.

Vrsta lekcije: učenje nove snovi.

Učne metode:

generalizirana reproduktivna, induktivna hevristika.

Zahteve po znanju in spretnostih študentov

vedeti, kaj je kvadratna funkcija oblike, formulo za iskanje koordinat oglišča parabole; znati poiskati koordinate oglišča parabole, koordinate presečišč grafa funkcije s koordinatnimi osemi in uporabiti graf funkcije za določitev lastnosti kvadratne funkcije.

Oprema:

Učni načrt

I. Organizacijski trenutek (1-2 min)

II. Posodabljanje znanja (10 min)

III. Predstavitev novega gradiva (15 min)

IV. Utrjevanje nove snovi (12 min)

V. Povzetek (3 min)

VI. Domača naloga (2 min)

Med poukom

I. Organizacijski trenutek

Pozdravljanje, preverjanje odsotnih, zbiranje zvezkov.

II. Posodabljanje znanja

učiteljica: V današnji lekciji bomo preučevali novo temo: "Funkcija". Najprej pa ponovimo predhodno preučeno snov.

Frontalna anketa:

1) Kaj imenujemo kvadratna funkcija? (Funkcija, kjer so dana realna števila, , realna spremenljivka, se imenuje kvadratna funkcija.)

2) Kaj je graf kvadratne funkcije? (Graf kvadratne funkcije je parabola.)

3) Kaj so ničle kvadratne funkcije? (Ničle kvadratne funkcije so vrednosti, pri katerih postane nič.)

4) Naštej lastnosti funkcije. (Vrednosti funkcije so pozitivne pri in enake nič pri; graf funkcije je simetričen glede na ordinatne osi; pri - funkcija narašča, pri - pada.)

5) Naštej lastnosti funkcije. (Če , potem funkcija vzame pozitivne vrednosti pri , če , potem funkcija sprejme negativne vrednosti pri , vrednost funkcije je samo 0; parabola je simetrična glede na ordinatno os; če , potem funkcija narašča pri in pada pri , če , potem funkcija narašča pri , pada pri .)

III. Predstavitev novega gradiva

učiteljica: Začnimo z učenjem nove snovi. Odprite zvezke, zapišite datum in temo lekcije. Bodite pozorni na tablo.

Pisanje na tablo: Številka.

funkcija.

učiteljica: Na tabli vidite dva grafa funkcij. Prvi graf in drugi. Poskusimo jih primerjati.

Poznaš lastnosti funkcije. Na njihovi podlagi in s primerjavo naših grafov lahko izpostavimo lastnosti funkcije.

Torej, kaj misliš, da bo določilo smer vej parabole?

Študenti: Smer vej obeh parabol bo odvisna od koeficienta.

Učiteljica: Popolnoma prav. Opazite lahko tudi, da imata obe paraboli simetrijsko os. Kakšna je simetrijska os v prvem grafu funkcije?

Študenti: Za parabolo je simetrijska os ordinatna os.

Učiteljica: Prav. Kakšna je simetrijska os parabole?

Študenti: Simetrijska os parabole je premica, ki poteka skozi oglišče parabole, vzporedno z ordinatno osjo.

učiteljica: Prav. Tako se simetrična os grafa funkcije imenuje ravna črta, ki poteka skozi vrh parabole, vzporedno z ordinatno osjo.

In vrh parabole je točka s koordinatami . Določeni so po formuli:

Formulo zapiši v zvezek in jo obkroži v okvir.

Pisanje na tablo in v zvezke

Koordinate vrha parabole.

učiteljica: Zdaj, da bo bolj jasno, poglejmo primer.

Primer 1: Poiščite koordinate vrha parabole.

Rešitev: Po formuli

učiteljica: Kot smo že ugotovili, poteka simetrijska os skozi oglišče parabole. Poglej tablo. Nariši to sliko v zvezek.

Na tablo in v zvezke zapišite:

Učiteljica: Na risbi: - enačba simetrijske osi parabole z vrhom v točki, kjer je abscisa vrh parabole.

Poglejmo si primer.

Primer 2: Z grafom funkcije določi enačbo za simetrijsko os parabole.

Enačba za simetrijsko os ima obliko: , kar pomeni, da je enačba za simetrijsko os te parabole .

Odgovor: - enačba simetrijske osi.

IV.Utrjevanje nove snovi

učiteljica: Na tabli so zapisane naloge, ki jih moramo rešiti pri pouku.

Pisanje na tablo: № 609(3), 612(1), 613(3)

Učiteljica: A najprej rešimo primer, ki ni iz učbenika. Odločali se bomo na upravnem odboru.

Primer 1: Poiščite koordinate vrha parabole

Rešitev: Po formuli

Odgovor: koordinate vrha parabole.

Primer 2: Poiščite koordinate presečišč parabole s koordinatnimi osemi.

Rešitev: 1) Z osjo:

Tisti.

Po Vietovem izreku:

Točki presečišča z osjo x sta (1;0) in (2;0).

2) Z osjo:

Točka presečišča z ordinatno osjo (0;2).

Odgovor: (1;0), (2;0), (0;2) – koordinate presečišč s koordinatnimi osemi.

št. 609(3). Poiščite koordinate vrha parabole

Določanje vrednosti koeficientov kvadratne funkcije iz grafa.

Metodološki razvoj Sagnaeva A.M.

Srednja šola MBOU št. 44, Surgut, Khanty-Mansi Autonomous Okrug-Yugra .

I. Iskanje koeficienta A

• Z grafom parabole določimo koordinate oglišča (m,n)

2. S pomočjo grafa parabole določimo koordinate poljubne točke A (X 1 ;y 1 )

3. Te vrednosti nadomestimo v formulo kvadratne funkcije, podane v drugačni obliki:

y=a(x-m)2+n

4. reši nastalo enačbo.

Oh 1 ;y 1 )

parabola

ΙΙ. Iskanje koeficienta b

1. Najprej poiščemo vrednost koeficienta a

2. V formuli za absciso parabole m= -b/2a zamenjajte vrednosti m in a

3. Izračunajte vrednost koeficienta b .

Oh 1 ;y 1 )

parabola

ΙΙΙ. Iskanje koeficienta c

1. Najdemo ordinato točke presečišča grafa parabole z osjo Oy, ta vrednost je enaka koeficientu z, tj. pika (0; s)-točka presečišča grafa parabole z osjo Oy.

2. Če na grafu ni mogoče najti presečišča parabole z osjo Oy, potem poiščemo koeficiente a,b

(glejte korake Ι, ΙΙ)

3. Zamenjajte najdene vrednosti a, b, A(x 1; pri 1 ) v enačbo

y=ax 2 +bx+c in najdemo z.

Oh 1 ;y 1 )

parabola

Naloge

namig

Ιx 2 Ι in x 1 0, ker a Ordinata presečišča parabole z osjo OY je koeficient c Odgovor: 5 c x 1 x 2 "width="640"

• Veje parabole so usmerjene navzdol,

• Korenine imajo različna znamenja,Ι x 1 ΙΙх 2 Ι , in x 1 0, ker a
• Ordinata točke presečišča parabole z osjo OY je koeficient z

X 1

X 2

p Namig

0 x 1 +x 2 = - b/a 0. a 0. Odgovor: 5 "width="640"

1.Veje parabole so usmerjene navzdol, kar pomeni a

• x 1 +x 2 = - b/a 0. a 0.

0 ker veje parabole so usmerjene navzgor; 2. c=y(0)3. Oglišče parabole ima pozitivno absciso: v tem primeru je a 0, torej b4. D0, ker parabola seka os OX v dveh različnih točkah. "width="640"

Slika prikazuje graf funkcije y=ax 2 +bx+c. Določite znake koeficienti a,b,c in diskriminator D.

rešitev:

1. a0, ker veje parabole so usmerjene navzgor;

3. Vrh parabole ima pozitivno absciso:

v tem primeru a 0, torej b

4. D0, ker parabola seka os OX v dveh različnih točkah.

Slika prikazuje parabolo

Določite vrednosti k in t .

Poiščite koordinate vrha parabole in zapišite funkcijo, katere graf je prikazan na sliki.

Ugotovite, kje so abscise presečišč

parabole in vodoravne ravne črte (glej sliko).