Kako določiti množico funkcijskih vrednosti. Obseg funkcij v problemih USE
Odvisnost ene spremenljivke od druge se imenuje funkcionalna odvisnost. Spremenljivka odvisnosti l iz spremenljivke x klical funkcijo, če je vsaka vrednost x se ujema z eno samo vrednostjo l.
Oznaka:
Spremenljivka x imenovana neodvisna spremenljivka oz prepir, in spremenljivko l- odvisen. To pravijo l je funkcija x. Pomen l, ki ustreza navedeni vrednosti x, poklical vrednost funkcije.
Vse vrednote, ki jih sprejema x, oblika domena funkcije; vse vrednosti, ki jih potrebuje l, oblika niz funkcijskih vrednosti.
Oznake: 
D(f)- vrednosti argumentov. E(f)- vrednosti funkcij. Če je funkcija podana s formulo, se šteje, da je domena definicije sestavljena iz vseh vrednosti spremenljivke, za katero je ta formula smiselna.
Funkcijski graf je množica vseh točk na koordinatni ravnini, katerih abscise so enake vrednostim argumenta in katerih ordinate so enake ustreznim vrednostim funkcije. Če nekaj vrednosti x=x 0 ujema z več vrednostmi (ne le eno) l, potem taka korespondenca ni funkcija. Da je množica točk na koordinatni ravnini graf določene funkcije, je nujno in zadostno, da se vsaka premica, vzporedna z osjo Oy, seka z grafom največ v eni točki.
Metode za določanje funkcije
1) Funkcijo je mogoče nastaviti analitično v obliki formule. na primer 
2) Funkcijo je mogoče podati s tabelo številnih parov (x; y).
3) Funkcijo lahko podate grafično. Vrednostni pari (x; y) so upodobljene na koordinatni ravnini.
Monotonost funkcije
funkcija f(x) klical povečevanje na danem številskem intervalu, če večja vrednost argumenta ustreza večji vrednosti funkcije. Predstavljajte si, da se določena točka premika po grafu od leve proti desni. Potem se bo zdelo, da se točka "vzpenja" po grafu.
funkcija f(x) klical zmanjševanje na danem številskem intervalu, če večja vrednost argumenta ustreza manjši vrednosti funkcije. Predstavljajte si, da se določena točka premika po grafu od leve proti desni. Potem se bo zdelo, da se točka "kotali" navzdol po grafu.
Pokličemo funkcijo, ki samo narašča ali samo pada v danem številskem intervalu monotono v tem intervalu.
Ničle funkcije in intervali konstantnega predznaka
Vrednote X, pri katerem y=0, poklical funkcijske ničle. To so abscise točk presečišča grafa funkcije z osjo Ox.
Takšni razponi vrednosti x, na kateri je vrednost funkcije l imenujemo samo pozitivne ali samo negativne intervali konstantnega predznaka funkcije.
Sode in lihe funkcije
Celotna funkcija
1) Definicijsko področje je simetrično glede na točko (0; 0), to je, če je točka a spada v domeno definicije, potem bistvo -a spada tudi v domeno definicije.
2) Za katero koli vrednost x f(-x)=f(x)
3) Graf sode funkcije je simetričen glede na os Oy.
Čudna funkcija ima naslednje lastnosti:
1) Definicijsko področje je simetrično glede na točko (0; 0).
2) za katero koli vrednost x, ki spada v domeno definicije, enakosti f(-x)=-f(x)
3) Graf lihe funkcije je simetričen glede na izhodišče (0; 0).
Vsaka funkcija ni soda ali liha. Funkcije splošni pogled niso niti sodi niti lihi.
Periodične funkcije
funkcija f se imenuje periodično, če obstaja število, tako da za katero koli x s področja definicije enakost f(x)=f(x-T)=f(x+T). T je obdobje funkcije.
Vsaka periodična funkcija ima neskončno število period. V praksi se običajno upošteva najmanjša pozitivna doba.
Vrednosti periodične funkcije se ponovijo po intervalu, ki je enak obdobju. To se uporablja pri izdelavi grafov.
Pogosto moramo v okviru reševanja problemov iskati veliko vrednosti funkcije na definicijski domeni ali segmentu. Na primer, to je treba storiti pri reševanju različni tipi neenačbe, ocene izrazov itd.
Kot del tega gradiva vam bomo povedali, kakšen je obseg vrednosti funkcije, podali glavne metode, s katerimi jo je mogoče izračunati, in analizirali težave različne stopnje težave. Zaradi preglednosti so posamezne določbe ponazorjene z grafi. Ko boste prebrali ta članek, boste dobili celovito razumevanje obsega funkcije.
Začnimo z osnovnimi definicijami.
Definicija 1
Množica vrednosti funkcije y = f (x) na določenem intervalu x je množica vseh vrednosti, ki jih ta funkcija prevzame pri ponavljanju vseh vrednosti x ∈ X.
Definicija 2
Območje vrednosti funkcije y = f (x) je množica vseh njenih vrednosti, ki jih lahko sprejme pri iskanju po vrednostih x iz območja x ∈ (f).
Območje vrednosti določene funkcije je običajno označeno z E (f).
Upoštevajte, da koncept nabora vrednosti funkcije ni vedno enak njenemu obsegu vrednosti. Ti koncepti bodo enakovredni le, če interval vrednosti x pri iskanju niza vrednosti sovpada z domeno definicije funkcije.
Pomembno je tudi razlikovati med obsegom vrednosti in obsegom sprejemljivih vrednosti spremenljivke x za izraz na desni strani y = f (x). Območje dovoljenih vrednosti x za izraz f (x) bo domena definicije te funkcije.
Spodaj je ilustracija, ki prikazuje nekaj primerov. Modre črte so funkcijski grafi, rdeče črte so asimptote, rdeče točke in črte na ordinatni osi so razponi funkcij.
Očitno je obseg vrednosti funkcije mogoče dobiti s projiciranjem grafa funkcije na os O y. Poleg tega lahko predstavlja eno samo število ali niz števil, segment, interval, odprt žarek, zvezo številskih intervalov itd.
Oglejmo si glavne načine za iskanje obsega vrednosti funkcije.
Začnimo z definiranjem nabora vrednosti zvezne funkcije y = f (x) na določenem segmentu, označenem [ a ; b ] . Vemo, da funkcija, ki je zvezna na določenem segmentu, doseže na njem svoj minimum in maksimum, to je največji m a x x ∈ a ; b f (x) in najmanjša vrednost m i n x ∈ a ; b f (x) . To pomeni, da dobimo odsek m i n x ∈ a ; bf(x); m a x x ∈ a ; b f (x) , ki bo vseboval nize vrednosti izvirne funkcije. Nato je vse, kar moramo storiti, poiskati navedene minimalne in maksimalne točke na tem segmentu.
Vzemimo problem, v katerem moramo določiti obseg vrednosti arksinusa.
Primer 1
Pogoj: poiščite obseg vrednosti y = a r c sin x .
rešitev
V splošnem primeru se domena definicije arkusina nahaja na segmentu [ - 1 ; 1 ] . Na njej moramo določiti največjo in najmanjšo vrednost navedene funkcije.
y " = a r c sin x " = 1 1 - x 2
Vemo, da bo odvod funkcije pozitiven za vse vrednosti x, ki se nahajajo v intervalu [ - 1 ; 1 ], to pomeni, da bo skozi celotno definicijsko področje arkusinusna funkcija naraščala. To pomeni, da bo imel najmanjšo vrednost, ko je x enak - 1, največjo vrednost pa, ko je x enak 1.
m i n x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2
Tako bo obseg vrednosti funkcije arkusina enak E (a r c sin x) = - π 2; π 2.
odgovor: E (a r c sin x) = - π 2 ; π 2
Primer 2
Pogoj: izračunajte obseg vrednosti y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 na podanem intervalu [ 1 ; 4 ] .
rešitev
Vse, kar moramo narediti, je izračunati največjo in najmanjšo vrednost funkcije v danem intervalu.
Za določitev ekstremnih točk je treba narediti naslednje izračune:
y " = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 " = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; 4 in l in 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ; 4 ; x 3 = 15 + 33 8 ≈ 2 .59 ∈ 1 ; 4
Zdaj pa poiščimo vrednosti dane funkcije na koncih segmenta in točk x 2 = 15 - 33 8; x 3 = 15 + 33 8:
y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 ≈ 2. 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 · 15 + 33 8 3 + 6 · 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 y (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32
To pomeni, da bo niz funkcijskih vrednosti določen s segmentom 117 - 165 33 512; 32.
odgovor: 117 - 165 33 512 ; 32 .
Preidimo na iskanje množice vrednosti zvezne funkcije y = f (x) v intervalih (a; b) in a; + ∞ , - ∞ ; b, - ∞; + ∞ .
Začnimo z določitvijo največje in najmanjše točke ter intervalov naraščanja in padanja na danem intervalu. Po tem bomo morali izračunati enostranske meje na koncih intervala in/ali meje v neskončnosti. Z drugimi besedami, določiti moramo obnašanje funkcije pod danimi pogoji. Za to imamo vse potrebne podatke.
Primer 3
Pogoj: izračunaj obseg funkcije y = 1 x 2 - 4 na intervalu (- 2 ; 2) .
rešitev
Določite največjo in najmanjšo vrednost funkcije na danem segmentu
y " = 1 x 2 - 4 " = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)
Dobili smo največjo vrednost, ki je enaka 0, saj se na tej točki predznak funkcije spremeni in graf začne padati. Glej sliko:
To pomeni, da bo y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 največje vrednosti funkcije.
Zdaj pa določimo obnašanje funkcije za x, ki se nagiba k - 2 na desni strani in + 2 na levi strani. Z drugimi besedami, najdemo enostranske omejitve:
lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 · 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = - ∞
Izkazalo se je, da se bodo vrednosti funkcije povečale od minus neskončnosti do - 1 4, ko se argument spremeni od - 2 do 0. In ko se argument spremeni iz 0 v 2, se vrednosti funkcije zmanjšajo proti minus neskončnosti. Posledično bo množica vrednosti dane funkcije na intervalu, ki ga potrebujemo, (- ∞ ; - 1 4 ] .
odgovor: (- ∞ ; - 1 4 ] .
Primer 4
Pogoj: označite niz vrednosti y = t g x na danem intervalu - π 2; π 2.
rešitev
Vemo, da je v splošnem primeru odvod tangente - π 2; π 2 bo pozitiven, kar pomeni, da bo funkcija naraščala. Zdaj pa ugotovimo, kako se funkcija obnaša znotraj danih meja:
lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞
Dobili smo povečanje vrednosti funkcije od minus neskončnosti do plus neskončnosti, ko se argument spremeni iz - π 2 v π 2, in lahko rečemo, da bo množica rešitev te funkcije množica vseh realnih števil .
odgovor: - ∞ ; + ∞ .
Primer 5
Pogoj: določi obseg funkcije naravnega logaritma y = ln x.
rešitev
Vemo, da je ta funkcija definirana za pozitivne vrednosti argumenta D (y) = 0; + ∞ . Odvod na danem intervalu bo pozitiven: y " = ln x " = 1 x . To pomeni, da se na njem poveča funkcija. Nato moramo definirati enostransko mejo za primer, ko argument teži k 0 (na desni strani) in ko gre x v neskončnost:
lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞
Ugotovili smo, da se bodo vrednosti funkcije povečale od minus neskončnosti do plus neskončnosti, ko se vrednosti x spreminjajo od nič do plus neskončnosti. To pomeni, da je množica vseh realnih števil obseg vrednosti funkcije naravnega logaritma.
odgovor: množica vseh realnih števil je obseg vrednosti funkcije naravnega logaritma.
Primer 6
Pogoj: določi obseg funkcije y = 9 x 2 + 1 .
rešitev
Ta funkcija je definirana pod pogojem, da je x realno število. Izračunajmo največjo in najmanjšo vrednost funkcije ter intervale njenega povečanja in zmanjšanja:
y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0
Posledično smo ugotovili, da se bo ta funkcija zmanjšala, če je x ≥ 0; poveča, če je x ≤ 0; ima največjo točko y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 s spremenljivko, ki je enaka 0.
Poglejmo, kako se funkcija obnaša v neskončnosti:
lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0
Iz zapisa je jasno, da se bodo vrednosti funkcije v tem primeru asimptotično približale 0.
Če povzamemo: ko se argument spremeni od minus neskončnosti do nič, se vrednosti funkcije povečajo od 0 do 9. Ko se vrednosti argumentov spremenijo od 0 do plus neskončnosti, se bodo ustrezne vrednosti funkcije zmanjšale od 9 do 0. To smo prikazali na sliki:
Kaže, da bo obseg vrednosti funkcije interval E (y) = (0 ; 9 ]
odgovor: E (y) = (0 ; 9 ]
Če moramo določiti množico vrednosti funkcije y = f (x) na intervalih [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , potem bomo morali izvesti popolnoma enake študije. Teh primerov za zdaj ne bomo analizirali: nanje bomo naleteli pozneje v težave.
Kaj pa, če je domena definicije določene funkcije unija več intervalov? Nato moramo izračunati nize vrednosti za vsakega od teh intervalov in jih združiti.
Primer 7
Pogoj: določite, kakšen bo obseg vrednosti y = x x - 2 .
rešitev
Ker se imenovalec funkcije ne sme obrniti na 0, potem je D (y) = - ∞; 2 ∪ 2 ; + ∞ .
Začnimo z definiranjem nabora funkcijskih vrednosti na prvem segmentu - ∞; 2, ki je odprt žarek. Vemo, da se bo funkcija na njej zmanjšala, to pomeni, da bo odvod te funkcije negativen.
lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0
Nato se bodo v primerih, ko se argument spremeni proti minus neskončnosti, vrednosti funkcije asimptotično približale 1. Če se vrednosti x spremenijo od minus neskončnosti do 2, se bodo vrednosti zmanjšale od 1 do minus neskončnosti, tj. funkcija na tem segmentu bo vzela vrednosti iz intervala - ∞; 1. Enotnost izključujemo iz naših premislekov, saj je vrednosti funkcije ne dosežejo, ampak se ji le asimptotično približajo.
Za odprti žarek 2; + ∞ izvajamo popolnoma enaka dejanja. Tudi funkcija na njem se zmanjšuje:
lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0
Vrednosti funkcije na danem segmentu so določene z nizom 1; + ∞ . To pomeni, da bo obseg vrednosti, ki jih potrebujemo za funkcijo, določeno v pogoju, unija nizov - ∞ ; 1 in 1; + ∞ .
odgovor: E (y) = - ∞; 1 ∪ 1 ; + ∞ .
To je razvidno iz grafa:
Poseben primer so periodične funkcije. Njihov obseg vrednosti sovpada z nizom vrednosti v intervalu, ki ustreza obdobju te funkcije.
Primer 8
Pogoj: določite obseg vrednosti sinusa y = sin x.
rešitev
Sinus je periodična funkcija in njena perioda je 2 pi. Vzemite segment 0; 2 π in poglejte, kakšen bo nabor vrednosti na njem.
y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z
Znotraj 0; 2 π bo imela funkcija ekstremni točki π 2 in x = 3 π 2 . Izračunajmo, koliko bodo vrednosti funkcije enake v njih, pa tudi na mejah segmenta, nato pa izberimo največjo in najmanjšo vrednost.
y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1, max x ∈ 0; 2 π sin x = sin π 2 = 1
odgovor: E (sin x) = - 1; 1.
Če morate poznati obsege funkcij, kot so potenčne, eksponentne, logaritemske, trigonometrične, inverzne trigonometrične, potem vam svetujemo, da ponovno preberete članek o osnovnih elementarnih funkcijah. Teorija, ki jo predstavljamo tukaj, nam omogoča, da preverimo tam navedene vrednosti. Priporočljivo je, da se jih naučite, ker so pogosto potrebni pri reševanju problemov. Če poznaš obsege osnovnih funkcij, lahko enostavno najdeš obsege funkcij, ki jih dobiš iz elementarnih z geometrijsko transformacijo.
Primer 9
Pogoj: določite obseg vrednosti y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .
rešitev
Vemo, da je segment od 0 do pi območje ark kosinusa. Z drugimi besedami, E (a r c cos x) = 0; π ali 0 ≤ a r c cos x ≤ π. Funkcijo a r c cos x 3 + 5 π 7 lahko dobimo iz ark kosinusa s premikanjem in raztezanjem vzdolž osi O x, vendar nam takšne transformacije ne bodo dale ničesar. To pomeni 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π.
Funkcijo 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 lahko dobimo iz ark kosinusa a r c cos x 3 + 5 π 7 z raztezanjem vzdolž ordinatne osi, tj. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Končna transformacija je premik vzdolž osi O y za 4 vrednosti. Kot rezultat dobimo dvojno neenakost:
0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4
Ugotovili smo, da bo obseg vrednosti, ki jih potrebujemo, enak E (y) = - 4; 3 π - 4 .
odgovor: E (y) = - 4; 3 π - 4 .
Še en primer bomo zapisali brez pojasnila, saj je popolnoma podoben prejšnjemu.
Primer 10
Pogoj: izračunajte, kakšno bo območje funkcije y = 2 2 x - 1 + 3.
rešitev
Prepišimo funkcijo, podano v pogoju, kot y = 2 · (2 x - 1) - 1 2 + 3. Za funkcijo moči y = x - 1 2 bo območje vrednosti definirano na intervalu 0; + ∞, tj. x - 1 2 > 0 . V tem primeru:
2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3
Torej E(y) = 3; + ∞ .
odgovor: E(y) = 3; + ∞ .
Zdaj pa poglejmo, kako najti obseg vrednosti funkcije, ki ni zvezna. Da bi to naredili, moramo celotno območje razdeliti na intervale in v vsakem od njih najti nize vrednosti, nato pa združiti, kar dobimo. Da bi to bolje razumeli, vam svetujemo, da pregledate glavne vrste funkcijskih prekinitvenih točk.
Primer 11
Pogoj: dana funkcija y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3. Izračunajte njegovo območje vrednosti.
rešitev
Ta funkcija je definirana za vse vrednosti x. Analizirajmo ga za kontinuiteto z vrednostmi argumenta, enakega - 3 in 3:
lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)
Neodstranljivo diskontinuiteto prve vrste imamo, ko je vrednost argumenta -3. Ko se ji približamo, se vrednosti funkcije nagibajo k - 2 sin 3 2 - 4 , in ko x teži k - 3 na desni strani, se bodo vrednosti nagibale k - 1 .
lim x → 3 - 0 f (x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f (x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞
V točki 3 imamo neodstranljivo diskontinuiteto druge vrste. Ko se funkcija nagiba k njej, se njene vrednosti približajo - 1, ko se nagibajo k isti točki na desni - do minus neskončnosti.
To pomeni, da je celotno področje definicije te funkcije razdeljeno na 3 intervale (- ∞ ; - 3 ], (- 3 ; 3 ], (3 ; + ∞).
V prvem izmed njih smo dobili funkcijo y = 2 sin x 2 - 4. Ker je - 1 ≤ sin x ≤ 1, dobimo:
1 ≤ sin x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2
To pomeni, da je na danem intervalu (- ∞ ; - 3 ] množica funkcijskih vrednosti [- 6 ; 2 ] .
Na pol intervalu (- 3; 3 ] je rezultat konstantna funkcija y = - 1. Posledično se bo celoten niz njenih vrednosti v tem primeru zmanjšal na eno številko - 1.
Pri drugem intervalu 3 ; + ∞ imamo funkcijo y = 1 x - 3 . Zmanjšuje se, ker je y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:
lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0
To pomeni, da je niz vrednosti izvirne funkcije za x> 3 niz 0; + ∞ . Sedaj pa združimo rezultate: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .
odgovor: E (y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .
Rešitev je prikazana v grafu:
Primer 12
Pogoj: obstaja funkcija y = x 2 - 3 e x. Določite množico njegovih vrednosti.
rešitev
Definiran je za vse vrednosti argumentov, ki so realna števila. Določimo, v katerih intervalih bo ta funkcija naraščala in v katerih padala:
y " = x 2 - 3 e x " = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x
Vemo, da bo odvod postal 0, če je x = - 1 in x = 3. Postavimo ti dve točki na os in ugotovimo, kakšne predznake bo imel odvod na dobljenih intervalih.
Funkcija se bo zmanjšala za (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) in povečala za [ - 1 ; 3]. Najmanjša točka bo - 1, največja - 3.
Zdaj pa poiščimo ustrezne vrednosti funkcij:
y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3
Poglejmo obnašanje funkcije v neskončnosti:
lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 " e x " = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x " (e x) " = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0
Za izračun druge meje je bilo uporabljeno L'Hopitalovo pravilo. Napredek naše rešitve prikažimo z grafom.
Prikazuje, da se bodo vrednosti funkcije zmanjšale od plus neskončnosti do - 2 e, ko se argument spremeni od minus neskončnosti do - 1. Če se spremeni s 3 na plus neskončnost, se bodo vrednosti zmanjšale s 6 e - 3 na 0, vendar 0 ne bo dosežena.
Tako je E(y) = [ - 2 e ; + ∞).
odgovor: E(y) = [ - 2 e ; + ∞)
Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
Številne težave nas vodijo k iskanju niza funkcijskih vrednosti na določenem segmentu ali v celotni domeni definicije. Takšne naloge vključujejo različna vrednotenja izrazov in reševanje neenačb.
V tem članku bomo določili obseg vrednosti funkcije, razmislili o metodah za njeno iskanje in podrobno analizirali rešitev primerov od preprostih do bolj zapletenih. Vse gradivo bo zaradi jasnosti opremljeno z grafičnimi ilustracijami. Ta članek je torej podroben odgovor na vprašanje, kako najti obseg funkcije.
Opredelitev.
Množica vrednosti funkcije y = f(x) na intervalu X je nabor vseh vrednosti funkcije, ki jih sprejme pri ponavljanju čez vse.
Opredelitev.
Območje funkcije y = f(x) je množica vseh vrednosti funkcije, ki jih sprejme pri ponavljanju vseh x iz domene definicije.
Območje funkcije je označeno z E(f).
Območje funkcije in niz vrednosti funkcije nista ista stvar. Te pojme bomo obravnavali kot enakovredne, če interval X pri iskanju niza vrednosti funkcije y = f(x) sovpada z domeno definicije funkcije.
Prav tako ne zamenjujte obsega funkcije s spremenljivko x za izraz na desni strani enakosti y=f(x). Območje dovoljenih vrednosti spremenljivke x za izraz f(x) je domena definicije funkcije y=f(x).
Slika prikazuje več primerov.
Grafi funkcij so prikazani z debelimi modrimi črtami, tanke rdeče črte so asimptote, rdeče pike in črte na osi Oy prikazujejo obseg vrednosti ustrezne funkcije.
Kot lahko vidite, obseg vrednosti funkcije dobimo s projiciranjem grafa funkcije na os y. Lahko je eno samo število (prvi primer), niz števil (drugi primer), segment (tretji primer), interval (četrti primer), odprt žarek (peti primer), unija (šesti primer) itd. .
Torej, kaj morate storiti, da najdete obseg vrednosti funkcije?
Začnimo z najpreprostejšim primerom: pokazali bomo, kako določiti množico vrednosti zvezne funkcije y = f(x) na segmentu.
Znano je, da funkcija, zvezna na intervalu, na njem doseže največjo in najmanjšo vrednost. Tako bo niz vrednosti izvirne funkcije na segmentu segment 
. Posledično se naša naloga zmanjša na iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije na segmentu.
Na primer, poiščimo obseg vrednosti funkcije arkusina.
Primer.
Določite obseg funkcije y = arcsinx .
rešitev.
Območje definicije arkusina je segment [-1; 1] . Poiščimo največjo in najmanjšo vrednost funkcije na tem segmentu. 
Odvod je pozitiven za vse x iz intervala (-1; 1), kar pomeni, da funkcija arksinusa narašča na celotnem področju definicije. Posledično zavzame najmanjšo vrednost pri x = -1 in največjo pri x = 1. 
Dobili smo obseg funkcije arkusina 
.
Primer.
Poiščite množico funkcijskih vrednosti 
na segmentu.
rešitev.
Poiščimo največjo in najmanjšo vrednost funkcije na danem segmentu.
Določimo ekstremne točke, ki pripadajo segmentu: 
Izračunamo vrednosti prvotne funkcije na koncih segmenta in v točkah 
:
Zato je niz vrednosti funkcije na intervalu interval 
.
Zdaj bomo pokazali, kako najti množico vrednosti zvezne funkcije y = f(x) v intervalih (a; b) , .
Najprej določimo točke ekstremov, ekstreme funkcije, intervale naraščanja in padanja funkcije na danem intervalu. Nato izračunamo na koncih intervala in (ali) limite v neskončnosti (to je, preučujemo obnašanje funkcije na mejah intervala ali v neskončnosti). Te informacije so dovolj za iskanje nabora funkcijskih vrednosti v takih intervalih.
Primer.
Določite niz funkcijskih vrednosti na intervalu (-2; 2) .
rešitev.
Poiščimo ekstremne točke funkcije, ki spadajo na interval (-2; 2): 
Pika x = 0 je največja točka, saj odvod spremeni predznak iz plusa v minus, ko gre skozi njo, graf funkcije pa gre od naraščajočega k padajočemu. 
obstaja ustrezen maksimum funkcije.
Ugotovimo obnašanje funkcije, ko x teži k -2 na desni in ko x teži k 2 na levi, to pomeni, da najdemo enostranske meje: 
Kaj imamo: ko se argument spremeni od -2 do nič, se vrednosti funkcije povečajo od minus neskončnosti do minus ene četrtine (največ funkcije pri x = 0), ko se argument spremeni od nič do 2, vrednosti funkcije se zmanjšajo do minus neskončnosti. Tako je nabor funkcijskih vrednosti na intervalu (-2; 2) .
Primer.
Določite niz vrednosti tangentne funkcije y = tgx na intervalu.
rešitev.
Odvod tangentne funkcije na intervalu je pozitiven 
, kar kaže na povečanje funkcije. Preučimo obnašanje funkcije na mejah intervala: 
Tako, ko se argument spremeni od do, se vrednosti funkcije povečajo od minus neskončnosti do plus neskončnosti, to je niz tangentnih vrednosti na tem intervalu niz vseh realnih števil.
Primer.
Poiščite obseg funkcije naravnega logaritma y = lnx.
rešitev.
Funkcija naravnega logaritma je definirana za pozitivne vrednosti prepir 
. Na tem intervalu je odvod pozitiven 
, to kaže na povečanje funkcije na njem. Poiščimo enostransko mejo funkcije, ko argument teži k ničli na desni, in mejo, ko x teži k plus neskončnosti: 
Vidimo, da ko se x spremeni od nič do plus neskončnosti, se vrednosti funkcije povečajo od minus neskončnosti do plus neskončnosti. Zato je obseg funkcije naravnega logaritma celoten niz realnih števil.
Primer.
rešitev.
Ta funkcija je definirana za vse prave vrednosti x. Določimo ekstremne točke, pa tudi intervale naraščanja in padanja funkcije. 
Posledično funkcija pada pri , narašča pri , x = 0 je največja točka, 
ustrezni maksimum funkcije.
Poglejmo obnašanje funkcije v neskončnosti: 
Tako se v neskončnosti vrednosti funkcije asimptotično približajo ničli.
Ugotovili smo, da ko se argument spremeni od minus neskončnosti do nič (najvišja točka), vrednosti funkcije narastejo od nič do devet (do maksimuma funkcije), in ko se x spremeni od nič do plus neskončnosti, funkcija vrednosti se zmanjšajo od devet do nič.
Oglejte si shematsko risbo.
Zdaj je jasno razvidno, da je obseg vrednosti funkcije .
Iskanje množice vrednosti funkcije y = f(x) na intervalih zahteva podobne raziskave. O teh primerih se zdaj ne bomo podrobneje ukvarjali. Ponovno jih bomo srečali v spodnjih primerih.
Naj bo definirana domena funkcije y = f(x) unija več intervalov. Pri iskanju obsega vrednosti takšne funkcije se določijo nizi vrednosti na vsakem intervalu in vzame njihova unija.
Primer.
Poiščite obseg funkcije.
rešitev.
Imenovalec naše funkcije ne sme iti na nič, to je .
Najprej poiščimo niz funkcijskih vrednosti na odprtem žarku.
Odvod funkcije 
je na tem intervalu negativna, kar pomeni, da funkcija na njem pada. 
Ugotovili smo, da ko se argument nagiba k minus neskončnosti, se vrednosti funkcije asimptotično približajo enotnosti. Ko se x spremeni z minus neskončnosti na dve, se vrednosti funkcije zmanjšajo z ene na minus neskončnost, to pomeni, da v obravnavanem intervalu funkcija prevzame niz vrednosti. Enotnosti ne vključujemo, saj je vrednosti funkcije ne dosežejo, ampak le asimptotično težijo k njej pri minus neskončnosti.
Podobno postopamo za odprto gredo.
V tem intervalu se zmanjša tudi funkcija. 
Množica funkcijskih vrednosti na tem intervalu je množica.
Tako je želeno območje vrednosti funkcije unija množic in .
Grafična ilustracija.
Posebno pozornost je treba nameniti periodičnim funkcijam. Razpon vrednosti periodičnih funkcij sovpada z nizom vrednosti na intervalu, ki ustreza obdobju te funkcije.
Primer.
Poiščite obseg funkcije sinus y = sinx.
rešitev.
Ta funkcija je periodična s periodo dveh pi. Vzemimo segment in na njem določimo niz vrednosti. 
Segment vsebuje dve ekstremni točki in .
Izračunamo vrednosti funkcije na teh točkah in na mejah segmenta izberemo najmanjšo in največjo vrednost: 
torej 
.
Primer.
Poiščite obseg funkcije 
.
rešitev.
Vemo, da je območje ark kosinusa segment od nič do pi, to je 
ali v drugi objavi. funkcija 
lahko dobimo iz arccosx s premikanjem in raztezanjem vzdolž osi abscise. Takšne transformacije ne vplivajo na obseg vrednosti, zato 
. funkcija 
pridobljeno iz trikrat raztegnjena vzdolž osi Oy, tj. 
. In zadnja stopnja transformacije je premik štirih enot navzdol po ordinati. To nas vodi do dvojne neenakosti 
Tako je zahtevani obseg vrednosti 
.
Rešimo še en primer, vendar brez pojasnil (niso potrebni, saj so si popolnoma podobni).
Primer.
Določite obseg funkcije 
.
rešitev.
Zapišimo izvirno funkcijo v obliki 
. Razpon vrednosti funkcije moči je interval. To je . Potem 
torej 
.
Za popolno sliko bi morali govoriti o iskanju obsega vrednosti funkcije, ki ni zvezna na domeni definicije. V tem primeru domeno definicije razdelimo na intervale po prelomnih točkah in na vsakem od njih poiščemo nize vrednosti. S kombiniranjem nastalih nizov vrednosti dobimo obseg vrednosti prvotne funkcije. Priporočamo, da si zapomnite 3 na levi, vrednosti funkcije se nagibajo k minus ena, in ko x teži k 3 na desni, se vrednosti funkcije nagibajo k plus neskončnosti.
Tako razdelimo področje definicije funkcije na tri intervale.
Na intervalu imamo funkcijo 
. Od takrat 
Tako je niz vrednosti izvirne funkcije na intervalu [-6;2] .
Na polintervalu imamo konstantno funkcijo y = -1. To pomeni, da je niz vrednosti izvirne funkcije na intervalu sestavljen iz enega samega elementa.
Funkcija je definirana za vse veljavne vrednosti argumentov. Ugotovimo intervale naraščanja in padanja funkcije.
Odvod izgine pri x=-1 in x=3. Označimo te točke na številski premici in na dobljenih intervalih določimo predznake odvoda. 
Funkcija se zmanjša za 
, se poveča za [-1; 3] , x=-1 najmanjša točka, x=3 največja točka.
Izračunajmo ustrezen minimum in maksimum funkcije: 
Preverimo obnašanje funkcije v neskončnosti: 
Druga meja je bila izračunana z uporabo.
Naredimo shematsko risbo.
Ko se argument spremeni od minus neskončnosti do -1, se vrednosti funkcije zmanjšajo od plus neskončnosti do -2e, ko se argument spremeni od -1 do 3, se vrednosti funkcije povečajo od -2e do, ko se argument spremeni od 3 do plus neskončnosti, se vrednosti funkcije zmanjšajo od nič, vendar ne dosežejo ničle.
Funkcija je eden najpomembnejših matematičnih konceptov.
Definicija: Če je vsako število iz določene množice x povezano z enim samim številom y, potem pravijo, da je funkcija y(x) definirana na tej množici. V tem primeru se x imenuje neodvisna spremenljivka ali argument, y pa odvisna spremenljivka ali vrednost funkcije ali preprosto funkcija.
Za spremenljivko y pravimo tudi, da je funkcija spremenljivke x.
Ko je ujemanje označeno s črko, na primer f, je priročno napisati: y=f (x), to pomeni, da se vrednost y pridobi iz argumenta x z uporabo ujemanja f. (Berite: y je enako f od x.) Simbol f (x) označuje vrednost funkcije, ki ustreza vrednosti argumenta, ki je enak x.
Primer 1 Naj bo funkcija podana s formulo y=2x 2 –6. Potem lahko zapišemo, da je f(x)=2x 2 –6. Poiščimo vrednosti funkcije za vrednosti x enake, na primer, 1; 2,5;–3; tj. najdemo f(1), f(2,5), f(–3):
f(1)=2 1 2 –6=–4;
f(2,5)=2 2,5 2 –6=6,5;
f(–3)=2 (–3) 2 –6= 12.
Upoštevajte, da se v zapisu oblike y=f (x) namesto f uporabljajo druge črke: g itd.
Definicija: Domena funkcije so vse vrednosti x, za katere funkcija obstaja.
Če je funkcija določena s formulo in njena definicijska domena ni določena, se šteje, da je definicijska domena funkcije sestavljena iz vseh vrednosti argumenta, za katere je formula smiselna.
Z drugimi besedami, domena funkcije, podane s formulo, so vse vrednosti argumenta, razen tistih, ki povzročijo dejanja, ki jih ne moremo izvesti. Vklopljeno ta trenutek poznamo le dve takšni akciji. Ne moremo deliti z nič in ne moremo vzeti kvadratnega korena negativnega števila.
Opredelitev: vse vrednosti, ki jih ima odvisna spremenljivka, tvorijo obseg funkcije.
Področje definicije funkcije, ki opisuje realni proces, je odvisno od specifičnih pogojev njegovega pojavljanja. Na primer, odvisnost dolžine l železne palice od temperature segrevanja t je izražena s formulo, kjer je l 0 začetna dolžina palice in koeficient linearne razteznosti. Ta formula je smiselna za vse vrednosti t. Definicijsko področje funkcije l=g(t) pa je interval več deset stopinj, za katerega velja zakon linearne ekspanzije.
Primer.
Določite obseg funkcije y = arcsinx.
rešitev.
Domena definicije arkusina je segment [-1; 1]
. Poiščimo največjo in najmanjšo vrednost funkcije na tem segmentu.
Izpeljanka je pozitivna za vse x iz intervala (-1; 1)
, kar pomeni, da funkcija arksinusa narašča v celotnem domeni definicije. Zato ima najmanjšo vrednost, ko x = -1, največji pa pri x = 1.
Dobili smo obseg funkcije arkusina 
.
Poiščite množico funkcijskih vrednosti 
na segmentu
.
rešitev.
Poiščimo največjo in najmanjšo vrednost funkcije na danem segmentu.
Določimo ekstremne točke, ki pripadajo segmentu
:
D(f)- tiste vrednosti, ki jih lahko sprejme argument, tj. domena funkcije.
E(f)- tiste vrednosti, ki jih funkcija lahko sprejme, tj. niz funkcijskih vrednosti.
Metode iskanja območij funkcij.
zaporedno iskanje vrednosti zapletene argumente funkcije;
metoda ocenjevanja/meje;
uporaba lastnosti zveznosti in monotonosti funkcije;
uporaba derivata;
uporaba največje in najmanjše vrednosti funkcije;
grafična metoda;
način vnosa parametrov;
metoda inverzne funkcije.
Poglejmo jih nekaj.
Uporaba izpeljanke
Splošni pristop k iskanju množice vrednosti zvezne funkcije f(x) je sestavljeno iz iskanja največje in najmanjše vrednosti funkcije f(x) v njeni domeni (ali dokazovanja, da ena ali obe ne obstajata).
V primeru, da morate najti nabore funkcijskih vrednosti na segmentu:
poiščite odvod dane funkcije f "(x);
poišči kritične točke funkcije f(x) in izberi tiste, ki pripadajo temu segmentu;
izračunajte vrednosti funkcij na koncih segmenta in na izbranih kritičnih točkah;
med najdenimi vrednostmi izberite najmanjšo in največjo vrednost;
Nabor funkcijskih vrednosti je zaprt med temi vrednostmi.
Če je domena funkcije interval, potem se uporabi ista shema, vendar se namesto vrednosti na koncih uporabijo meje funkcije, ko se argument nagiba k koncem intervala. Mejne vrednosti iz niso vključene v nabor vrednosti.
Metoda mej/rezultatov
Če želite poiskati nabor vrednosti funkcije, najprej poiščite nabor vrednosti argumentov, nato pa poiščite ustrezne najmanjše in največje vrednosti funkcije funkcije. S pomočjo neenakosti se določijo meje.
Bistvo je oceniti zvezno funkcijo od spodaj in od zgoraj ter dokazati, da funkcija dosega spodnjo in zgornjo mejo ocen. V tem primeru je sovpadanje nabora funkcijskih vrednosti z intervalom od spodnje meje ocene do zgornje določeno s kontinuiteto funkcije in odsotnostjo drugih vrednosti zanjo.
Lastnosti zvezne funkcije
Druga možnost je, da funkcijo pretvorimo v zvezno monotono, nato pa z uporabo lastnosti neenakosti ocenimo niz vrednosti novo pridobljene funkcije.
Zaporedno iskanje vrednosti argumentov kompleksne funkcije
Na podlagi zaporednega iskanja niza vrednosti vmesnih funkcij, iz katerih je funkcija sestavljena
Območja vrednosti osnovnih elementarnih funkcij
| funkcija | Več pomenov |
|---|---|
| $y = kx+ b$ | E(y) = (-∞;+∞) |
| $y = x^(2n)$ | E(y) = |
| $y = \cos(x)$ | E(y) = [-1;1] |
| $y = (\rm tg)\, x$ | E(y) = (-∞;+∞) |
| $y = (\rm ctg)\, x$ | E(y) = (-∞;+∞) |
| $y = \arcsin(x)$ | E(y) = [-π/2; π/2] |
| $y = \arccos(x)$ | E(y) = |
| $y = (\rm arctan)\, x$ | E(y) = (-π/2; π/2) |
| $y = (\rm arcctg)\, x$ | E(y) = (0; π) |
Primeri
Poiščite množico funkcijskih vrednosti:
Uporaba izpeljanke
Najdemo domeno definicije: D(f)=[-3;3], ker $9-x^(2)\geq 0$
Poiščite odvod: $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2)))$
f"(x) = 0, če je x = 0. f"(x) ne obstaja, če je $\sqrt(9-x^(2))=0$, to je za x = ±3. Dobimo tri kritične točke: x 1 = –3, x 2 = 0, x 3 = 3, od katerih dve sovpadata s koncema segmenta. Izračunajmo: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Tako je najmanjša vrednost f(x) 0, največja pa 3.
Odgovor: E(f) = .
NE uporablja izpeljanke
Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije:
Od $
f(x) = 1-\cos^(2)(x)+\cos(x)-\frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $ , potem:
$f(x)\leq \frac(3)(4)$ za vse x;
$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ za vse x(ker $|\cos (x)|\leq 1$);
$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;
$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;
Odgovor: $\frac(3)(4)$ in $-\frac(3)(2)$
Če to težavo rešite z izpeljankami, boste morali premagati ovire, povezane z dejstvom, da funkcija f(x) ni definirana na segmentu, temveč na celotni številski premici.
Uporaba metode mej/ocen
Iz definicije sinusa sledi $-1\leq\sin(x)\leq 1$. Nato bomo uporabili lastnosti numeričnih neenakosti.
$-4\leq - 4\sin(x)\leq 4$, (pomnožene vse tri dele dvojne neenakosti z -4);
$1\leq 5 - 4\sin(x)\leq 9$ (dodano trem delom dvojne neenakosti 5);
Ker je ta funkcija zvezna v celotni domeni definicije, je nabor njenih vrednosti vsebovan med najmanjšo in največjo vrednostjo v celotni domeni definicije, če ta obstaja.
V tem primeru je množica vrednosti funkcije $y = 5 - 4\sin(x)$ množica .
Iz neenakosti $$ \\ -1\leq\cos(7x)\leq 1 \\ -5\leq 5\cos(x)\leq 5 $$ dobimo oceno $$\\ -6\leq y\ leq 6 $ $
Pri x = p in x = 0 ima funkcija vrednosti -6 in 6, tj. doseže spodnjo in zgornjo mejo ocene. Kot linearna kombinacija zveznih funkcij cos(7x) in cos(x) je funkcija y zvezna na celotni številski premici, zato po lastnosti zvezne funkcije zavzema vse vrednosti od -6 do vključno 6 , in samo njih, saj so zaradi neenakosti $- 6\leq y\leq 6$ njegove druge vrednosti nemogoče.
Zato je E(y) = [-6;6].
$$ \\ -1\leq\sin(x)\leq 1 \\ 0\leq\sin^(2)(x)\leq 1 \\ 0\leq2\sin^(2)(x)\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ Odgovor: E(f) = .
$$ \\ -\infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].
$$ \\ -\infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .
Pretvorimo izraz $$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\left ( (\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \desno)\cos\levo ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)(2 )) \desno) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac(\ pi) (4)) $$.
Iz definicije kosinusa sledi $$ \\ -1\leq\cos(x)\leq 1; \\ -1\leq \cos((x + \frac(\pi)(4)))\leq 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); $$
Ker je ta funkcija zvezna v celotni definicijski domeni, je nabor njenih vrednosti med njeno najmanjšo in največjo vrednostjo, če obstaja, nabor vrednosti funkcije $y =\sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4 )))$ je niz $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$.
$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \\ E(3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x) )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$
Označimo $t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$, kjer je -∞≤t≤4. Tako se problem zmanjša na iskanje množice vrednosti funkcije $y = \log_(0,5)(t)$ na žarku (-∞;4). Ker je funkcija $y = \log_(0,5)(t)$ definirana le za t > 0, potem njen niz vrednosti na žarku (-∞;4) sovpada z nizom vrednosti funkcije na intervalu (0;4), ki predstavlja presečišče žarka (-∞;4) z definiranim področjem (0;+∞) logaritemske funkcije. Na intervalu (0;4) je ta funkcija zvezna in padajoča. Pri t > 0 teži k +∞, pri t = 4 pa prevzame vrednost -2, torej E(y) = (-2, +∞).
Uporabljamo tehniko, ki temelji na grafični predstavitvi funkcije.
Po transformaciji funkcije imamo: y 2 + x 2 = 25 in y ≥ 0, |x| ≤ 5.
Spomnimo se, da je $x^(2)+y^(2)=r^(2)$ enačba kroga s polmerom r.
Pod temi omejitvami je graf te enačbe zgornji polkrog s središčem v izhodišču in polmerom, ki je enak 5. Očitno je E(y) = .
Odgovor: E(y) = .
Reference
Področje pomena funkcij v problemih enotnega državnega izpita, Irina Borisovna Minyuk
Nasveti za iskanje množice vrednosti funkcije, Belyaeva I., Fedorova S.
Iskanje množice funkcijskih vrednosti
Kako rešiti naloge iz matematike na sprejemnih izpitih, I.I.Melnikov, I.N.Sergeev
