Teoretično gradivo. §6 Parcialni odvodi kompleksnih funkcij več spremenljivk Izračunaj odvode kompleksnih funkcij več spremenljivk
Naj bo funkcija z - /(x, y) definirana v neki domeni D na ravnini xOy. Vzemimo notranjo točko (x, y) iz območja D in dajmo x prirastek Ax tako, da je točka (x + Ax, y) 6 D (slika 9). Recimo količini delni prirastek funkcije z glede na x. Naredimo relacijo, ki je za dano točko (x, y) funkcija definicije. Če ima za Ax -* 0 relacija ^ končno mejo, potem se ta meja imenuje delni odvod funkcije z = /(x, y) glede na neodvisno spremenljivko x v točki (x, y) in je označeno s simbolom jfc (ali /i(x, jj), ali z"x(x, Na enak način, po definiciji, ali, kar je isto, Podobno, če je u funkcija n neodvisnih spremenljivk, potem Opazimo, da se Arz izračuna s konstantno vrednostjo spremenljivke y in Atz - s konstantno vrednostjo spremenljivke x, lahko definicije delnih odvodov formuliramo na naslednji način: Delni odvodi Geometrični pomen delnih odvodov funkcije dveh spremenljivk Diferenciabilnost funkcije več spremenljivk Nujni pogoji za diferenciabilnost funkcije Zadostni pogoji za diferenciabilnost funkcij več spremenljivk Totalni diferencial Parcialni diferenciali Odvodi kompleksne funkcije parcialnega odvoda glede na x funkcije z = /(x , y ) je navaden odvod te funkcije glede na x, izračunan ob predpostavki, da je y konstanta; delni odvod glede na y funkcije z - /(x, y) je njen odvod glede na y , izračunano ob predpostavki, da je x konstanten. Iz tega sledi, da pravila za izračun delnih odvodov sovpadajo s pravili, dokazanimi za funkcijo ene spremenljivke. Primer. Poiščite delne odvode funkcije 4 Imamo zamenjave*. Obstoj funkcije r = f(x, y) v dani točki delnih odvodov glede na vse argumente ne implicira kontinuitete funkcije na tej točki. Torej funkcija ni zvezna v točki 0(0,0). Vendar ima navedena funkcija na tej točki delne odvode glede na x in y. To izhaja iz dejstva, da je /(x, 0) = 0 in /(0, y) = 0 in zato Geometrični pomen parcialnih odvodov funkcije dveh spremenljivk. Naj bo površina S v tridimenzionalnem prostoru definirana z enačba, kjer je f(x, y) funkcija, zvezna v neki domeni D in ima tam parcialne odvode glede na x in y. Ugotovimo geometrijski pomen teh odvodov v točki Mo(xo,yo) 6 D, ki ustreza točki f(x0)yo) na površini z = f(x)y). Pri iskanju delnega odvoda točke M0 predpostavimo, da je z samo funkcija argumenta x, medtem ko argument y ohranja konstantno vrednost y = y0, tj. Funkcijo fi(x) geometrično predstavlja krivulja L vzdolž katerega ploskev S seka ravnina y = v o. Zaradi geometrijskega pomena odvoda funkcije ene spremenljivke je f\(xo) = tan a, kjer je a kot, ki ga tvori tangenta na premico L v točki JV0 z osjo Ox (slika 10) . Toda tako je delni odvod ($|) enak tangensu kota a med osjo Ox in tangento v točki N0 na krivuljo, ki jo dobimo na odseku površine z = /(x, y) z ravnino y. Podobno dobimo, da je §6. Diferenciabilnost funkcije več spremenljivk Naj bo funkcija z = /(x, y) definirana v neki domeni D na ravnini xOy. Vzemimo točko (x, y) € D in dajmo izbranima vrednostima x in y poljubna prirastka Ax in Dy, vendar tako, da točka. Opredelitev. Funkcija r = /(x, y) se imenuje diferenciabilna * točka (x, y) € 2E, če je celoten prirastek te funkcije, ki ustreza prirastkom argumentov Dx, Dy, mogoče predstaviti v obliki, kjer sta A in B niso odvisni od Dx in Dy (vendar so na splošno odvisni od x in y), a(Dx, Dy) in /?(Dx, Dy) težita k ničli, kot Dx in Dy težita k ničli. . Če je funkcija z = /(x, y) diferenciabilna v točki (x, y), potem se del A Dx 4- VDy prirastka funkcije, linearen glede na Dx in Dy, imenuje totalni diferencial te funkcije v točki (x, y) in je označena s simbolom dz: Na ta način Primer. Naj bo r = x2 + y2. Na kateri koli točki (r,y) in za kateri koli Dx in Du imamo Tukaj. zdaj, ko se a in /3 nagibata k nič, kot Dx in Dy težita k nič. Po definiciji je ta funkcija diferenciabilna na kateri koli točki v ravnini xOy. Hkrati ugotavljamo, da v našem razmišljanju nismo formalno izključili primera, ko so prirastki Dx, Du ločeno ali celo oba enaki nič naenkrat. Formulo (1) lahko zapišemo bolj strnjeno, če uvedemo izraz (razdalja med točkami (Z njim lahko zapišemo Označimo izraz v oklepaju z e, imamo kjer je c odvisen od J, Du in teži k ničli, če je J 0 in DN 0 ali na kratko, če je p 0. Formulo (1), ki izraža pogoj za diferenciabilnost funkcije z = f(xt y) v točki (x, y), lahko zdaj zapišemo v obliki Torej, v zgornjem primeru 6.1 Nujni pogoji diferenciabilnost™ funkcije Izrek 4. Če je funkcija r = f(x, y) diferenciabilna v neki točki, potem je v tej točki zvezna.4 Če je v točki (x, y) ) je funkcija r = f(x, y) diferenciabilna, potem lahko celoten prirastek funkcije i na tej točki, ki ustreza prirastkoma J in Dy argumentov, predstavimo v obliki (količine A, B za dano točko sta konstantna; , iz česar sledi, da slednje pomeni, da je v točki (x, y) funkcija r /(x, y) zvezna. Izrek! b. Če je funkcija r = /(x, y) je diferenciabilna v dani točki, mo o s.je v tej točki delni odvod $§ u. Naj bo funkcija z = /(x, y) diferenciabilna v točki (x, y). Potem lahko prirast Dg te funkcije, ki ustreza prirastkom Dx, Ay argumentov, predstavimo v obliki (1). Če v enačbi (1) vzamemo Dx Φ 0, Dy = 0, dobimo od koder Ker na desni strani zadnje enakosti vrednost A ni odvisna od, To pomeni, da je v točki (x, y) delni odvod funkcije r = /(x, y) v x in s podobnim sklepanjem se prepričamo (x, obstaja delni odvod funkcije zy, iz izreka pa sledi, da Poudarjamo, da izrek 5 navaja obstoj delne odvode le v točki (x, y), ne pove pa ničesar o njihovi kontinuiteti v tej točki, kot tudi o njihovem obnašanju v okolici točke (x, y). odvod /"(x) v točki x0. V primeru, ko je funkcija odvisna od več spremenljivk, je situacija veliko bolj zapletena: za funkcijo z = /(x, y) dveh neodvisnih spremenljivk x, y ni nujnih in zadostnih pogojev za diferenciabilnost, obstajajo le ločeno potrebne pogoje (glej zgoraj) in ločeno - zadostuje. Ti zadostni pogoji za diferenciabilnost funkcij več spremenljivk so izraženi z naslednjim izrekom. Izrek c. Če ima funkcija parcialne odvode /ε in f"v v neki okolici tanke (xo, V0) in če so ti odvodi zvezni v točki (xo, V0), potem je funkcija z = f(x, y) diferenciabilna v točki (x- Primer: Obravnavamo funkcijo Delni odvodi Geometrični pomen parcialnih odvodov funkcije dveh spremenljivk Diferenciabilnost funkcije več spremenljivk Nujni pogoji za diferenciabilnost funkcije Zadostni pogoji za diferenciabilnost funkcij več spremenljivk Totalni diferencial Parcialni diferenciali Odvodi kompleksne funkcije Definirana je povsod Na podlagi definicije parcialnih odvodov imamo ™ te funkcije v točki 0(0,0) najdemo in prirastek te točke Za diferenciabilnost funkcije /( x,y) = v točki 0(0,0) je potrebno, da je funkcija e(Dx, Dy) popolnoma majhna pri Dx 0 in Du 0. Postavimo D0. Potem bomo iz formule (1) imeli Zato funkcija /(x,y) = ni diferenciabilna v točki 0(0,0), čeprav ima na tej točki fa in f"r. Dobljeni rezultat je razložen z dejstvom, da sta odvoda f"z in f "t so diskontinuirani v točki §7. Poln diferencial. Parcialni diferenciali Če je funkcija z - f(z> y) diferenciabilna, potem je njen skupni diferencial dz enak Ob upoštevanju, da je A = B = u, zapišemo formulo (1) v naslednji obliki. Koncept diferenciala razširimo funkcije na neodvisne spremenljivke, pri čemer se diferenciali neodvisnih spremenljivk nastavijo na njihove prirastke: Po tem se kot primer vzame formula za skupni diferencial funkcije. Naj bo i - 1l(x + y2). Potem Podobno, če je u =) diferencibilna funkcija n neodvisnih spremenljivk, potem se izraz imenuje postdiferencial funkcije z = f(x, y) glede na spremenljivko x; izraz imenujemo parcialni diferencial funkcije z = /(x, y) spremenljivke y. Iz formul (3), (4) in (5) sledi, da je skupni diferencial funkcije vsota njenih parcialnih diferencialov: Upoštevajte, da je skupni prirastek Az funkcije z = /(x, y), na splošno , ni enaka vsoti delnih prirastkov. Če je v točki (i, y) funkcija z = /(x, y) diferenciabilna in je v tej točki diferencial dz Φ 0, potem se njen skupni prirastek razlikuje od linearnega dela le za vsoto zadnjih členov aAx 4 - /?DE, ki sta pri Ax 0 in Ау -» О infinitezimali višjega reda kot členi linearnega dela. Zato, ko je dz Ф 0, se linearni del prirastka diferenciable funkcije imenuje glavni del prirastka funkcije in se uporablja približna formula, ki bo natančnejša, čim manjši so po absolutni vrednosti prirastki argumenti so. §8. Odvodi kompleksne funkcije 1. Naj bo funkcija definirana v neki domeni D na ravnini xOy in je vsaka od spremenljivk x, y po vrsti funkcija argumenta t: Predpostavili bomo, da ko se t spremeni v intervalu ( ustrezne točke (x, y) ne zapustijo območja D. Če nadomestimo vrednosti v funkciji z = / (x, y), dobimo kompleksno funkcijo ene spremenljivke t in za ustrezne vrednosti funkcija / (x, y) je diferenciabilna, potem ima kompleksna funkcija v točki t odvod in M Dajmo t prirastek Dt. Potem bosta x in y prejela nekaj prirastkov Ax in Dy. Kot rezultat tega za ( J)2 + (Dy)2 Ф 0 bo funkcija z prejela tudi nek prirastek Dt, ki ga lahko zaradi diferenciabilnosti funkcije z = /(x , y) v točki (x, y) predstavimo v oblika, kjer a) težijo k nič, kot težita Ax in Du k nič. Definirajmo a in /3 za Ax = Ay = 0 tako, da nastavimo a. Potem bo a(zvezen za J = Dn = 0. Upoštevajte razmerje. V vsakem členu^ na desni strani (2) imata oba faktorja meje pri res so parcialni odvodi in ^ za dano konstantni, po pogoju obstajajo meje iz obstoja odvodov ^ in v točki £ sta funkciji x = y(t) in y = na tej točki zvezni; torej kot Pri 0 se J in Dy nagibata k nič, kar posledično za seboj potegne težnjo k nič a(Dx, Dy) in P(Ax, Ay). Tako ima desna stran enakosti (2) pri 0 meja enaka Torej, pri 0 je tudi meja leve strani (2), tj. e. obstaja enak. Če preidemo v enačbi (2) do meje kot At -» 0, dobimo zahtevano formulo. V posebnem primeru, ko je torej z kompleksna funkcija od x, dobimo In formulo (5) obstaja delni derivat funadiig = /(x , y) po x, pri izračunu katerega v izrazu /(x, y) se argument y vzame kot konstanta. In obstaja popolna izpeljanka funkcije z glede na neodvisno spremenljivko x, pri izračunu katere se y v izrazu /(x, y) ne upošteva več kot konstanta, temveč se obravnava kot funkcija x: y = tp(x)t in je zato odvisnost z od popolnoma upoštevana. Primer. Poišči in jg, če je 2. Oglejmo si zdaj diferenciacijo kompleksne funkcije več spremenljivk. Pustimo kje po vrsti, tako da Predpostavimo, da so v točki (() zvezni delni odvodi u, 3? in v ustrezni točki (x, y), kjer je funkcija f(x, y) diferenciabilna. Pokažimo, da pod temi pogoji ima kompleksna funkcija z = z(() y) v točki t7) odvode in π, za te odvode pa bomo našli izraze. Upoštevajte, da se ta primer ne razlikuje bistveno od že raziskanega. Dejansko je pri diferenciranju z glede na £ druga neodvisna spremenljivka rj vzeta kot konstanta, zaradi česar x in y v tej operaciji postaneta funkciji ene spremenljivke x" = c), y = c) in vprašanje odvoda ζ rešujemo na popolnoma enak način kot vprašanje odvoda pri izpeljavi formule (3).. Z uporabo formule (3) in formalno zamenjavo odvodov § in ^ v njej z odvodoma u oziroma dobimo. Podobno dobimo poiščite Primer: Poiščite delne odvode ^ in ^ funkcije r = x2 y - husli x - y = Če je kompleksna funkcija " podana s formulami, tako da potem, ko so izpolnjeni ustrezni pogoji, imamo V posebnem primeru, ko In = kjer Parcialni odvodi Geometrični pomen parcialnih odvodov funkcije dveh spremenljivk Diferenciabilnost funkcije več spremenljivk Nujni pogoji za diferenciabilnost funkcije Zadostni pogoji za diferenciabilnost funkcij več spremenljivk Totalni diferencial Parcialni diferenciali Odvodi kompleksa tukaj je m skupni delni odvod funkcije in glede na neodvisno spremenljivko x, ob upoštevanju popolne odvisnosti od in od x, vključno z z = z(x,y),a ^ -delni odvod od funkcija u = /(r, y, d) z x, pri izračunu k
1°. Primer ene neodvisne spremenljivke. Če je z=f(x,y) diferenciabilna funkcija argumentov x in y, ki sta nato diferenciabilni funkciji neodvisne spremenljivke t: , potem odvod kompleksne funkcije 
lahko izračunate s formulo
Primer. Poiščite, če, kje.
rešitev. Po formuli (1) imamo:
Primer. Poiščite delni odvod in popolni odvod če 
.
rešitev. .
Na podlagi formule (2) dobimo 
.
2°. Primer več neodvisnih spremenljivk.
Pustiti z =f (x ;y) - funkcija dveh spremenljivk X in y, od katerih je vsaka funkcija neodvisne spremenljivke t : x =x (t ), y =y (t). V tem primeru funkcija z =f (x (t);y (t )) je kompleksna funkcija ene neodvisne spremenljivke t; spremenljivke x in y sta vmesni spremenljivki.
Izrek. če z == f(x; y) - razločljiv v točki M(x;y)D funkcijo in x =x (t) in pri =y (t) - diferenciabilne funkcije neodvisne spremenljivke t, nato odvod kompleksne funkcije z (t) == f(x (t);y (t )) izračunano po formuli
|
|
Poseben primer:z = f (x ; y), kjer je y = y(x), tiste. z = f (x ;y (x )) - kompleksna funkcija ene neodvisne spremenljivke X. Ta primer zmanjša na prejšnjega in vlogo spremenljivke t igra X. Po formuli (3) imamo:
.
Zadnja formula se imenuje formule skupnega odvajanja.
Splošni primer:z = f (x ;y), Kje x =x (u ;v ),y =y (u ;v). Potem je z = f (x (u ;v);y (u ;v)) - kompleksna funkcija neodvisnih spremenljivk in in v. Njegove delne odvode je mogoče najti z uporabo formule (3), kot sledi. Po popravilu v, vanj zamenjamo ustrezne delne odvode
Tako je odvod kompleksne funkcije (z) glede na vsako neodvisno spremenljivko (In in v) je enaka vsoti produktov parcialnih odvodov te funkcije (z) glede na njene vmesne spremenljivke (x in y) njihovim derivatom glede na ustrezno neodvisno spremenljivko (u in v).
V vseh obravnavanih primerih je formula veljavna
(lastnost invariantnosti totalnega diferenciala).
Primer. Poišči in če je z = f(x ,y ), kjer je x =uv , .
rešitev. Z uporabo formul (4) in (5) dobimo:
Primer. Pokažite, da funkcija izpolnjuje enačbo 
.
rešitev. Funkcija je odvisna od x in y prek vmesnega argumenta, torej
Če nadomestimo delne odvode na levo stran enačbe, imamo:
To pomeni, da funkcija z izpolnjuje to enačbo.
Odvod v dani smeri in gradient funkcije
1°. Odvod funkcije v določeni smeri. Izpeljanka funkcije z= f(x,y) v tej smeri klical 
, kjer in so vrednosti funkcije v točkah in . Če je funkcija z diferenciabilna, potem je formula veljavna
kje so koti med smerema l in ustrezne koordinatne osi. Odvod v določeni smeri označuje hitrost spremembe funkcije v tej smeri.
Primer. Poiščite odvod funkcije z = 2x 2 - 3 2 v točki P (1; 0) v smeri, ki z osjo OX tvori kot 120°.
rešitev. Poiščimo delne odvode te funkcije in njihove vrednosti v točki P.
Izrek.Pustiti u = f (x, y) je podana v domeni D in naj x = x(t) in y = y(t) identificiran na območju , in kdaj , potem x in y pripadata regiji D . Naj bo funkcija u diferenciabilna v točki M 0 (x 0 , l 0 , z 0), in funkcije x(t) in pri(t) diferencibilna v ustrezni točki t 0 , potem je kompleksna funkcija u = f [x(t), l(t)]=F (t) diferencibilna v točki t 0 in enakost velja:
.
Dokaz. Ker je u diferenciabilen po pogoju v točki ( x 0 , l 0), potem je njegov skupni prirastek predstavljen kot
Če to razmerje delimo z, dobimo:
Pojdimo do meje pri in dobimo formulo
.
Opomba 1.če u= u(x, y) In x= x, l= l(x), potem skupni odvod funkcije u po spremenljivki X
oz 
.
Zadnjo enakost lahko uporabimo za dokazovanje pravila za razlikovanje funkcije ene spremenljivke, podane implicitno v obliki F(x, l) = 0, kjer je l= l(x) (glej temo št. 3 in primer 14).
Imamo: 
. Od tod 
.
(6.1)
Vrnimo se k primeru 14 teme št. 3:
;
.
Kot vidite, so se odgovori ujemali.
Opomba 2. Pustiti u = f (x, y), Kje X= X(t , v), pri= pri(t , v). Potem je u končno kompleksna funkcija dveh spremenljivk t in v . Če je sedaj funkcija u diferenciabilna v točki M 0 (x 0 , l 0) in funkcije X in pri so diferencibilne v ustrezni točki ( t 0 , v 0), potem lahko govorimo o delnih odvodih glede na t in v iz kompleksne funkcije v točki ( t 0 , v 0). Če pa govorimo o delnem odvodu glede na t na določeni točki, potem velja, da je druga spremenljivka v konstantna in enaka v 0 . Posledično govorimo le o odvodu kompleksne funkcije glede na t in zato lahko uporabimo izpeljano formulo. Tako dobimo:
in 
.
Primer 13. Poišči popolni odvod funkcije u = x l, Kje x = greh t, y = cos t .
41. Ekstremumi funkcije več spremenljivk.
Ekstremum funkcije več spremenljivk. Nujni in zadostni pogoji za obstoj ekstrema
Definicija 7. Točka se imenuje minimalna (maksimalna) točka funkcije, če obstaja soseska točke, tako da neenakost () velja za vse točke v tej soseščini.
Najmanjše in največje točke funkcije se imenujejo ekstremne točke, vrednosti funkcije v teh točkah pa ekstremi funkcije (minimum oziroma maksimum).
Upoštevajte, da sta minimum in maksimum funkcije lokalne narave, saj se vrednost funkcije v točki primerja z njenimi vrednostmi v točkah, ki so dovolj blizu.
Izrek 1 (nujni pogoji za ekstrem). Če je ekstremna točka diferenciabilne funkcije, potem so njeni delni odvodi na tej točki enaki nič: .
Točke, v katerih so parcialni odvodi prvega reda enaki nič, imenujemo kritične ali stacionarne. Na kritičnih točkah ima funkcija lahko ekstrem ali pa tudi ne.
Izrek 2 (zadostni pogoj za ekstrem). Naj bo funkcija: a) definirana v neki okolici kritične točke, na kateri in; b) ima zvezne parcialne odvode drugega reda. Potem, če, potem ima funkcija v točki ekstrem: maksimum, če A<0; минимум, если А>0; če, potem funkcija nima ekstremuma. V tem primeru ostaja vprašanje prisotnosti ekstrema odprto.
Pri preučevanju funkcije dveh spremenljivk za ekstrem je priporočljivo uporabiti naslednjo shemo:
1. Poiščite delne odvode prvega reda: in.
2. Rešite sistem enačb in poiščite kritične točke funkcije.
3. Poiščite delne odvode drugega reda: , .
4. Izračunajte vrednosti delnih derivatov drugega reda na vsaki kritični točki in z uporabo zadostnih pogojev sklepajte o prisotnosti ekstremuma.
5. Poiščite ekstreme funkcije.
Primer 6. Poiščite ekstreme funkcije.
rešitev. 1. Poiščite delne odvode in:
2. Za določitev kritičnih točk rešimo sistem enačb
Iz prve enačbe sistema dobimo: . Če nadomestimo najdeno vrednost y v drugo enačbo, dobimo
Poiščite vrednosti y, ki ustrezajo vrednostim. Če nadomestimo vrednosti v enačbo, dobimo: .
Tako imamo dve kritični točki: in.
3. Poiščite delne odvode drugega reda:
4. Izračunamo vrednosti parcialnih odvodov drugega reda na vsaki kritični točki. Za točko imamo:
potem v točki ni ekstrema.
in zato
To pomeni, da ima funkcija zaradi zadostnega pogoja za ekstrem v točki minimum, saj v tej točki in.
§ 5. Parcialni odvodi kompleksnih funkcij. diferenciali kompleksnih funkcij
1. Parcialni odvodi kompleksne funkcije.
Naj bo funkcija dveh spremenljivk, katerih argumenti 
in 
, so same funkcije dveh ali več spremenljivk. Na primer, naj 
, 
.
Potem 
volja kompleksna funkcija
neodvisne spremenljivke 
in 
, spremenljivke bodo zanjo vmesne spremenljivke.
V tem primeru, kako najti delne odvode funkcije glede na 
in ?
Seveda ga lahko izrazite neposredno v smislu in:
in poiščite delne odvode dobljene funkcije. Toda izraz je lahko zelo zapleten in iskanje delnih izpeljank 
, 
potem bo potrebno veliko truda.
Če funkcije 
, 
, 
so razločljivi, nato poiščite 
in je mogoče, ne da bi se zatekli k neposrednemu izražanju prek in . V tem primeru bodo formule veljavne
(5.1)
Res, povejmo argument 
prirastek 
, 
– konst. Nato funkcije 
in 
bodo prejeli povečanja
in funkcija se bo povečala
Kje 
, 
– infinitezimalno pri 
, 
. Vse člene zadnje enakosti delimo z . Dobimo:
Ker sta po pogoju funkciji in diferenciabilni, sta zvezni. Zato, če 
, nato in . To pomeni, da s prehodom na limito pri zadnji enakosti dobimo:
(ker so infinitezimalne za , ).
Drugo enakost iz (5.1) dokažemo na podoben način.
PRIMER. Pustiti 
, Kje 
, 
. Potem je kompleksna funkcija neodvisnih spremenljivk in . Za iskanje njegovih delnih odvodov uporabimo formulo (5.1). Imamo
Če zamenjamo v (5.1), dobimo
,
Formule (5.1) seveda posplošimo na primer funkcije z večjim številom neodvisnih in vmesnih argumentov. Če namreč
………………………
in vse obravnavane funkcije so diferencibilne, potem za katero koli 
obstaja enakost
Možno je tudi, da so argumenti funkcije funkcije samo ene spremenljivke, tj.
, 
.
Potem bo to kompleksna funkcija samo ene spremenljivke 
in lahko postavimo vprašanje iskanja izpeljanke 
. Če funkcije 
, 
diferencibilni, potem ga je mogoče najti s formulo 
(5.2)
PRIMER. Pustiti 
, Kje 
, 
. Tukaj je kompleksna funkcija ene neodvisne spremenljivke. Z uporabo formule (5.2) dobimo
.
In končno, možno je, da vlogo neodvisne spremenljivke igra , tj. ,
Kje 
.
Iz formule (5.2) potem dobimo
(5.3)
(Ker 
). Izpeljanka 
, ki stoji v formuli (5.3) na desni, je delni odvod funkcije glede na . Izračuna se s fiksno vrednostjo. Izpeljanka 
na levi strani formule (5.3) se imenuje popolni odvod funkcije 
. Pri izračunu je bilo upoštevano, da je odvisen na dva načina: neposredno in preko drugega argumenta.
PRIMER. Najdi in za funkcijo 
, Kje 
.
Imamo 
.
Za iskanje uporabimo formulo (5.3). Dobimo
.
In v zaključku tega odstavka ugotavljamo, da je formuli (5.2) in (5.3) enostavno posplošiti na primer funkcij z velikim številom vmesnih argumentov.
2. Diferencial kompleksne funkcije.
Naj spomnimo, da če 
je diferenciacijska funkcija dveh neodvisnih spremenljivk, potem po definiciji
, (5.4)
ali v drugi obliki 
. (5.5)
Prednost formule (5.5) je, da ostane resnična tudi, ko je kompleksna funkcija.
Dejansko naj , kjer , . Predpostavimo, da so funkcije , , diferenciabilne. Potem bo tudi kompleksna funkcija diferenciabilna in njen skupni diferencial po formuli (5.5) bo enak
.
Z uporabo formule (5.1) za izračun parcialnih odvodov kompleksne funkcije dobimo
Ker so popolni diferenciali funkcij in v oklepajih, imamo končno
Prepričani smo torej, da tako v primeru, ko sta in sta neodvisni spremenljivki, kot v primeru, ko sta in odvisni spremenljivki, lahko diferencial funkcije zapišemo v obliki (5.5). V zvezi s tem se imenuje ta oblika zapisa skupnega diferenciala invariant
. Oblika pisanja diferenciala, predlagana v (5.4), ne bo invariantna; uporabimo jo lahko le v primeru, ko sta in neodvisni spremenljivki. Tudi oblika zapisa diferenciala ne bo nespremenljiva 
-th red. Spomnimo se, da smo prej pokazali, da diferencial reda 
funkcijo dveh spremenljivk je mogoče najti s formulo
. (4.12)
Če pa niso neodvisne spremenljivke, potem formula (4.12) z 
preneha biti res.
Očitno lahko vse sklepanje, izvedeno v tem razdelku za funkcijo dveh spremenljivk, ponovimo v primeru funkcije z večjim številom argumentov. Zato lahko za funkcijo diferencial zapišemo tudi v dveh oblikah:
in druga oblika zapisa bo invariantna, tj. pošteno tudi v primeru, ko 
niso neodvisne spremenljivke, ampak vmesni argumenti.
§ 6. Diferenciacija implicitnih funkcij
Ko govorimo o načinih definiranja funkcije ene ali več spremenljivk, smo ugotovili, da je analitična definicija funkcije lahko eksplicitna ali implicitna. V prvem primeru se vrednost funkcije najde iz znanih vrednosti argumentov; v drugem so vrednost funkcije in njeni argumenti povezani z neko enačbo. Nismo pa navedli, kdaj enačbe
in
definirati implicitno določene funkcije oz. Enostavni zadostni pogoji za obstoj implicitne funkcije 
spremenljivke ( 
) so vsebovani v naslednjem izreku.
TEOREM6.1
. (obstoj implicitne funkcije) Naj funkcija 
in njegove delne izpeljanke 
so določene in zvezne v neki okolici točke. če 
in 
, potem obstaja taka soseska 
točka, v kateri enačba
definira zvezno funkcijo in
1) Razmislite o enačbi 
. Pogoji izreka so na primer izpolnjeni v kateri koli okolici točke 
. Zato v neki soseščini točke 
ta enačba definira kot implicitno funkcijo dveh spremenljivk in . Ekspliciten izraz te funkcije je mogoče enostavno dobiti z reševanjem enačbe za:
2) Razmislite o enačbi 
. Definira dve funkciji dveh spremenljivk in . Dejansko so pogoji izreka izpolnjeni na primer v kateri koli okolici točke 
, v kateri podana enačba definira zvezno funkcijo, ki prevzame vrednost 
.
Po drugi strani pa so pogoji izreka izpolnjeni v kateri koli okolici točke 
. Posledično v določeni okolici točke enačba definira zvezno funkcijo, ki prevzame vrednost v točki 
.
Ker funkcija ne more prevzeti dveh vrednosti na eni točki, to pomeni, da govorimo o dveh različnih funkcijah 
in temu primerno. Poiščimo njihove eksplicitne izraze. Da bi to naredili, rešimo prvotno enačbo za . Dobimo
3) Razmislite o enačbi 
. Očitno je, da so pogoji izreka izpolnjeni v kateri koli okolici točke 
. Posledično obstaja taka soseska točke 
, v katerem enačba definira kot implicitno funkcijo spremenljivke . Za to funkcijo ni mogoče dobiti eksplicitnega izraza, ker enačbe ni mogoče razrešiti glede na .
4) Enačba 
ne definira nobene implicitne funkcije, ker ni parov realnih števil, ki bi ji zadostili.
funkcija 
, podana z enačbo 
, glede na izrek 6.1, ima zvezne delne odvode glede na vse argumente v okolici točke. Ugotovimo, kako jih najti brez izrecne navedbe funkcije.
Naj funkcija 
izpolnjuje pogoje iz izreka 6.1. Nato enačba 
neprekinjena funkcija 
. Razmislite o kompleksni funkciji 
, Kje . Funkcija je kompleksna funkcija ene spremenljivke in če 
, To
(6.1)
Po drugi strani pa v skladu s formulo (5.3) za izračun celotnega derivata 
(6.2)
Iz (6.1) in (6.2) dobimo, da če , potem
(6.3)
Komentiraj. Razdeli po 
možno, saj je po teoremu 6.1 
kjerkoli v bližini.
PRIMER. Poiščite odvod implicitne funkcije, podane z enačbo, in izračunajte njegovo vrednost pri 
.
, 
.
Če nadomestimo delne odvode v formulo (6.3), dobimo
.
Nato z zamenjavo v izvirno enačbo najdemo dve vrednosti: 
in 
.
Posledično enačba v okolici točke določa dve funkciji: 
in 
, Kje 
, 
. Njuni derivati pri bodo enaki
in 
.
Naj zdaj enačba 
določa v neki okolici točke 
funkcijo Poiščimo ga. Spomnimo se, da je to v resnici navaden odvod funkcije, ki se obravnava kot funkcija spremenljivke pri konstantni vrednosti. Zato lahko uporabimo formulo (6.3), da ga najdemo, pri čemer ga obravnavamo kot funkcijo, argument, konstanto. Dobimo
. (6.4)
Podobno, če upoštevamo funkcijo, argument, konstanto, z uporabo formule (6.3) najdemo
. (6.5)
PRIMER. Poiščite delne odvode funkcije, podane z enačbo 
.
, 
, 
.
Z uporabo formul (6.4) in (6.5) dobimo
, 
.
Nazadnje razmislite o splošnem primeru, ko enačba
definira funkcijo spremenljivk v določeni okolici točke. Če ponovimo argumente, izvedene za implicitno dano funkcijo dveh spremenljivk, dobimo
, 
, …, 
.
§ 7. Smerni odvod
1. Smerni odvod.
Naj bo v neki domeni definirana funkcija dveh spremenljivk 
letalo 
, – točka regije, 
– vektor katere koli smeri. Gremo od bistva 
do točke v smeri vektorja. Funkcija bo prejela prirastek
Razdelimo funkcijski prirastek 
po dolžini odmičnega segmenta 
. Nastalo razmerje 
podaja povprečno hitrost spreminjanja funkcije na območju 
. Potem je meja tega razmerja pri 
(če obstaja in je končna) bo hitrost spremembe funkcije v točki 
v smeri vektorja. Imenuje se odvod funkcije v točki v smeri vektorja
in označujejo 
oz 
.
Poleg hitrosti spremembe funkcije vam omogoča tudi določitev narave spremembe funkcije v točki v smeri vektorja 
(narašča ali pada):
Te trditve dokazujemo na enak način kot podobne trditve za funkcijo ene spremenljivke.
Upoštevajte, da so delni odvodi funkcije poseben primer smernega odvoda. namreč 
to je odvod funkcije v smeri vektorja 
(smer osi 
), je odvod funkcije v smeri vektorja 
(smer osi 
).
Predpostavimo, da je funkcija diferenciabilna v točki. Potem
Kje 
– infinitezimalno pri 
.
Določitev
|
skozi 
, imamo
, dobimo, od točke do točkePodan je dokaz formule za odvod kompleksne funkcije. Podrobno so obravnavani primeri, ko je kompleksna funkcija odvisna od ene ali dveh spremenljivk. Posplošimo na primer poljubnega števila spremenljivk.
VsebinaPoglej tudi: Primeri uporabe formule za odvod kompleksne funkcije
Osnovne formule
Tukaj ponujamo izpeljavo naslednjih formul za odvod kompleksne funkcije.
Če, potem
.
Če, potem
.
Če, potem
.
Odvod kompleksne funkcije iz ene spremenljivke
Naj bo funkcija spremenljivke x predstavljena kot kompleksna funkcija v naslednji obliki:
,
kjer so nekatere funkcije. Funkcija je diferenciabilna za neko vrednost spremenljivke x. Funkcija je diferenciabilna pri vrednosti spremenljivke.
Potem je kompleksna (sestavljena) funkcija diferenciabilna v točki x in je njen odvod določen s formulo:
(1)
.
Formulo (1) lahko zapišemo tudi takole:
;
.
Dokaz
Vstavimo naslednji zapis.
;
.
Tukaj je funkcija spremenljivk in , obstaja funkcija spremenljivk in . Toda izpustili bomo argumente teh funkcij, da ne bomo zapletli izračunov.
Ker sta funkciji in diferenciabilni v točkah x oziroma , potem na teh točkah obstajajo derivati teh funkcij, ki so naslednje meje:
;
.
Razmislite o naslednji funkciji:
.
Za fiksno vrednost spremenljivke u je funkcija . To je očitno
.
Potem
.
Ker je funkcija v točki diferenciabilna funkcija, je v tej točki zvezna. Zato
.
Potem
.
Zdaj najdemo izpeljanko.
.
Formula je dokazana.
Posledica
Če lahko funkcijo spremenljivke x predstavimo kot kompleksno funkcijo kompleksne funkcije
,
potem je njegov derivat določen s formulo
.
Tukaj je nekaj diferencialnih funkcij.
Da bi dokazali to formulo, zaporedno izračunamo odvod z uporabo pravila za razlikovanje kompleksne funkcije.
Razmislite o kompleksni funkciji
.
Njegova izpeljanka
.
Razmislite o izvirni funkciji
.
Njegova izpeljanka
.
Odvod kompleksne funkcije iz dveh spremenljivk
Zdaj naj bo kompleksna funkcija odvisna od več spremenljivk. Najprej poglejmo primeru kompleksne funkcije dveh spremenljivk.
Naj bo funkcija, ki je odvisna od spremenljivke x, predstavljena kot kompleksna funkcija dveh spremenljivk v naslednji obliki:
,
Kje
in obstajajo diferencibilne funkcije za neko vrednost spremenljivke x;
- funkcija dveh spremenljivk, diferenciabilna v točki , . Takrat je kompleksna funkcija definirana v določeni okolici točke in ima odvod, ki je določen s formulo:
(2)
.
Dokaz
Ker sta funkciji in diferenciabilni v točki, sta definirani v neki okolici te točke, sta v točki zvezni in v točki obstajata njuna odvoda, ki sta naslednji meji:
;
.
Tukaj
;
.
Zaradi kontinuitete teh funkcij na točki imamo:
;
.
Ker je funkcija v točki diferenciabilna, je definirana v neki okolici te točke, je v tej točki zvezna in njen prirastek lahko zapišemo v naslednji obliki:
(3)
.
Tukaj
- povečanje funkcije, ko se njeni argumenti povečajo za vrednosti in ;
;
- delni odvodi funkcije glede na spremenljivke in .
Za fiksne vrednosti in sta funkciji spremenljivk in . Težijo k ničli pri in:
;
.
Od in , potem
;
.
Povečanje funkcije:
.
:
.
Zamenjajmo (3):
.
Formula je dokazana.
Odvod kompleksne funkcije iz več spremenljivk
Zgornji sklep zlahka posplošimo na primer, ko je število spremenljivk kompleksne funkcije večje od dveh.
Na primer, če je f funkcija treh spremenljivk, To
,
Kje
, in obstajajo diferencibilne funkcije za neko vrednost spremenljivke x;
- diferenciabilna funkcija treh spremenljivk v točki , , .
Potem imamo iz definicije diferenciabilnosti funkcije:
(4)
.
Ker zaradi kontinuitete,
;
;
,
to
;
;
.
Če delimo (4) z in preidemo na mejo, dobimo:
.
In končno, razmislimo najsplošnejši primer.
Naj bo funkcija spremenljivke x predstavljena kot kompleksna funkcija n spremenljivk v naslednji obliki:
,
Kje
obstajajo diferencibilne funkcije za neko vrednost spremenljivke x;
- diferenciabilna funkcija n spremenljivk v točki
,
,
... , .
Potem
.
