Çözümle çevrimiçi olarak aralık yöntemini kullanarak eşitsizlikleri çözün. Doğrusal eşitsizlikler

ax 2 + bx + 0 0 biçimindedir; burada (> işareti yerine elbette başka bir eşitsizlik işareti de olabilir). Şimdi göreceğimiz gibi, bu tür eşitsizlikleri çözmek için gerekli tüm teorik gerçeklere sahibiz.

örnek 1. Eşitsizliği çözün:

a) x 2 - 2x - 3 >0; b) x 2 - 2x - 3< 0;
c) x 2 - 2x - 3 > 0; d) x 2 - 2x - 3< 0.
Çözüm,

a) Şekil 2'de gösterilen y = x 2 - 2x - 3 parabolünü düşünün. 117.

X 2 - 2x - 3 > 0 eşitsizliğini çözmek, parabol noktalarının koordinatlarının hangi x değerlerinde pozitif olduğu sorusunu yanıtlamak anlamına gelir.

y > 0 olduğuna dikkat edelim, yani fonksiyonun grafiği x ekseninin üzerinde, x noktasında yer alır< -1 или при х > 3.

Bu, eşitsizliğin çözümlerinin tüm açık noktalar olduğu anlamına gelir ışın(- 00 , - 1) ve ayrıca açık ışının tüm noktaları (3, +00).

U işaretini (kümeleri birleştirme işareti) kullanarak cevap şu şekilde yazılabilir: (-00, - 1) U (3, +00). Ancak cevap şu şekilde yazılabilir: x< - 1; х > 3.

b) Eşitsizlik x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: takvim-1 ise x ekseninin altında bulunur< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

c) x 2 - 2x - 3 > 0 eşitsizliği, x 2 - 2x - 3 > 0 eşitsizliğinden farklıdır, çünkü cevabın x 2 - 2x - 3 = 0 denkleminin köklerini de içermesi gerekir, yani x = - noktaları 1

ve x = 3. Dolayısıyla, bu katı olmayan eşitsizliğin çözümleri ışının tüm noktalarının yanı sıra (-00, -1] ve ışının tüm noktalarıdır.

Pratik matematikçiler genellikle şunu söyler: ax 2 + bx + c > 0 eşitsizliğini çözerken neden ikinci dereceden bir fonksiyonun parabol grafiğini dikkatlice oluşturmamız gerekiyor?

y = ax 2 + bx + c (örnek 1'de yapıldığı gibi)? Sadece bulmanız gereken grafiğin şematik bir taslağını yapmak yeterlidir. kökler ikinci dereceden trinomial (parabolün x ekseniyle kesişme noktası) ve parabolün dallarının yukarı mı yoksa aşağı mı yönlendirildiğini belirleyin. Bu şematik çizim eşitsizliğin çözümünün görsel bir yorumunu verecektir.

Örnek 2. Eşitsizliği çözün - 2x 2 + 3x + 9< 0.
Çözüm.

1) Üç terimli karenin köklerini bulun - 2x 2 + 3x + 9: x 1 = 3; x2 = - 1,5.

2) y = -2x 2 + 3x + 9 fonksiyonunun grafiği görevi gören parabol, x eksenini 3 ve -1.5 noktalarında keser ve en yüksek olduğu için parabolün dalları aşağıya doğru yönlendirilir. katsayı- negatif sayı - 2. Şek. Şekil 118 grafiğin bir taslağını göstermektedir.

3) Şek. 118, şu sonuca varıyoruz:< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Cevap: x< -1,5; х > 3.

Örnek 3. 4x 2 - 4x + 1 eşitsizliğini çözün< 0.
Çözüm.

1) 4x 2 - 4x + 1 = 0 denkleminden buluruz.

2) Kare bir üç terimlinin bir kökü vardır; bu, ikinci dereceden bir üç terimlinin grafiği olarak hizmet veren parabolün x eksenini kesmediği, ancak ona noktasında dokunduğu anlamına gelir. Parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilmiştir (Şekil 119.)

3) Şekil 2'de sunulan geometrik modeli kullanarak. 119, x'in diğer tüm değerleri için grafiğin koordinatları pozitif olduğundan, verilen eşitsizliğin yalnızca noktada karşılandığını tespit ediyoruz.
Cevap: .
Muhtemelen 1, 2, 3 numaralı örneklerde çok spesifik bir durumun olduğunu fark etmişsinizdir. algoritmaİkinci dereceden eşitsizliklerin çözümü, bunu resmileştirelim.

İkinci dereceden eşitsizliği çözmek için algoritma ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c< 0)

Bu algoritmanın ilk adımı ikinci dereceden bir üç terimlinin köklerini bulmaktır. Fakat kökler mevcut olmayabilir, o zaman ne yapabiliriz? O zaman algoritma uygulanamaz, bu da farklı düşünmemiz gerektiği anlamına gelir. Bu argümanların anahtarı aşağıdaki teoremlerle verilmektedir.

Başka bir deyişle, eğer D< 0, а >0 ise eşitsizlik ax 2 + bx + c > 0 tüm x'ler için geçerlidir; aksine eşitsizlik ax 2 + bx + c< 0 не имеет решений.
Kanıt. Takvim işlevler y = ax 2 + bx + c, dalları yukarı doğru olan (a > 0 olduğundan) ve ikinci dereceden üç terimlinin koşula göre kökleri olmadığından x eksenini kesmeyen bir paraboldür. Grafik Şekil 2'de gösterilmektedir. 120. Grafiğin tüm x'ler için x ekseninin üzerinde yer aldığını görüyoruz, bu da tüm x'ler için ax 2 + bx + c > 0 eşitsizliğinin geçerli olduğu anlamına gelir ki bunun da kanıtlanması gerekir.

Başka bir deyişle, eğer D< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0'ın çözümü yoktur.

Kanıt. y = ax 2 + bx +c fonksiyonunun grafiği, dalları aşağı doğru yönlendirilmiş bir paraboldür (çünkü a< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

Örnek 4. Eşitsizliği çözün:

a) 2x 2 - x + 4 >0; b) -x 2 + 3x - 8 >0.

a) Kare trinomial 2x 2 - x + 4'ün diskriminantını bulun. Elimizde D = (-1) 2 - 4 2 4 = - 31 var< 0.
Üç terimlinin (2 sayısı) baş katsayısı pozitiftir.

Bu, Teorem 1'e göre, tüm x'ler için 2x 2 - x + 4 > 0 eşitsizliğinin geçerli olduğu, yani verilen eşitsizliğin çözümünün bütün (-00, + 00) olduğu anlamına gelir.

b) Üç terimli karenin diskriminantını bulun - x 2 + 3x - 8. Elimizde D = 32 - 4 (- 1) (- 8) = - 23 var.< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Cevap: a) (-00, +00); b) çözüm yok.

Aşağıdaki örnekte ikinci dereceden eşitsizlikleri çözmek için kullanılan başka bir akıl yürütme yöntemini tanıtacağız.

Örnek 5. 3x 2 - 10x + 3 eşitsizliğini çözün< 0.
Çözüm. İkinci dereceden üç terimli 3x 2 - 10x + 3'ü çarpanlarına ayıralım. Üç terimlinin kökleri 3 ve sayılarıdır, dolayısıyla ax 2 + bx + c = a (x - x 1)(x - x 2) kullanarak 3x 2 - 10x + 3 = 3(x - 3) ( X - )
Sayı doğrusu üzerinde üç terimlinin köklerini işaretleyelim: 3 ve (Şekil 122).

x > 3 olsun; bu durumda x-3>0 ve x->0 olur ve bu nedenle 3(x - 3)(x - ) çarpımı pozitiftir. Sonra izin ver< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Dolayısıyla 3(x-3)(x-) çarpımı negatiftir. Son olarak x olsun<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) pozitiftir.

Mantığı özetleyerek şu sonuca varıyoruz: Üçgen kare 3x 2 - 10x + 3'ün işaretleri Şekil 2'de gösterildiği gibi değişir. 122. Kare trinomiyalin hangi x'in negatif değer aldığıyla ilgileniyoruz. Şek. 122 sonucuna varıyoruz: 3x 2 - 10x + 3 kare trinomial (, 3) aralığındaki herhangi bir x değeri için negatif değerler alır
Yanıt (, 3) veya< х < 3.

Yorum. Örnek 5'te kullandığımız akıl yürütme yöntemine genellikle aralıklar yöntemi (veya aralıklar yöntemi) adı verilir. Matematikte çözmek için aktif olarak kullanılır. akılcı eşitsizlikler 9. sınıfta aralık yöntemini daha detaylı inceleyeceğiz.

Örnek 6. P parametresinin hangi değerlerinde ikinci dereceden denklem x 2 - 5x + p 2 = 0'dır:
a) iki farklı kökü vardır;

b) bir kökü vardır;

c) kökleri yok mu?

Çözüm. İkinci dereceden bir denklemin kök sayısı, diskriminantının D işaretine bağlıdır. Bu durumda, D = 25 - 4p 2'yi buluruz.

a) İkinci dereceden denklemin iki farklı kökü vardır, eğer D>0 ise problem 25 - 4р 2 > 0 eşitsizliğinin çözümüne indirgenir. Bu eşitsizliğin her iki tarafını da -1 ile çarpalım (işaretini değiştirmeyi unutmadan) eşitsizlik). 4p 2 - 25 eşdeğer eşitsizliğini elde ediyoruz< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

4(p - 2.5) (p + 2.5) ifadesinin işaretleri Şekil 2'de gösterilmektedir. 123.

Eşitsizliğin 4(p - 2,5)(p + 2,5) olduğu sonucuna varıyoruz.< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

B) ikinci dereceden denklem D - 0 ise tek kökü vardır.
Yukarıda belirlediğimiz gibi, p = 2,5 veya p = -2,5'te D = 0.

P parametresinin bu değerleri için bu ikinci dereceden denklemin yalnızca bir kökü vardır.

c) D ise ikinci dereceden bir denklemin kökleri yoktur< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

4p 2 - 25 > 0 elde ederiz; 4 (p-2,5)(p + 2,5)>0, dolayısıyla (bkz. Şekil 123) p< -2,5; р >2.5. P parametresinin bu değerleri için bu ikinci dereceden denklemin kökleri yoktur.

Cevap: a) p (-2,5, 2,5);

b) p = 2,5 veya = -2,5'te;
c) p'de< - 2,5 или р > 2,5.

Mordkovich A.G., Cebir. 8. sınıf: Ders kitabı. genel eğitim için kurumlar - 3. baskı, revize edildi. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 s.: hasta.

Okul çocukları için çevrimiçi yardım, 8. sınıf için matematik indirme, takvim ve tematik planlama

Eşitsizlik simgeleri hakkında bilmeniz gerekenler? Simgeli eşitsizlikler Daha (> ), veya az (< ) arandı sıkı. Simgelerle daha fazla veya eşit (≥ ), daha az veya eşit (≤ ) arandı sıkı değil. Simge eşit değil (≠ ) ayrı duruyor, ancak aynı zamanda her zaman bu simgeye sahip örnekleri de çözmeniz gerekiyor. Ve biz karar vereceğiz.)

Simgenin kendisinin çözüm süreci üzerinde pek bir etkisi yoktur. Ancak kararın sonunda, nihai cevabı seçerken simgenin anlamı tüm gücüyle ortaya çıkıyor! Aşağıda örneklerde göreceğimiz şey budur. Orada bazı şakalar var...

Eşitlikler gibi eşitsizlikler de mevcuttur sadık ve sadakatsiz. Burada her şey basit, hile yok. 5 diyelim > 2 gerçek bir eşitsizliktir. 5 < 2 - yanlış.

Bu hazırlık eşitsizlikler için işe yarıyor herhangi bir tür ve dehşet derecesinde basit.) Sadece iki (sadece iki!) temel eylemi doğru bir şekilde gerçekleştirmeniz gerekiyor. Bu eylemler herkese tanıdık geliyor. Ama karakteristik olarak bu eylemlerdeki hatalar eşitsizliklerin çözümündeki temel hatadır, evet... Dolayısıyla bu eylemlerin tekrarlanması gerekiyor. Bu eylemler şu şekilde adlandırılır:

Eşitsizliklerin özdeş dönüşümleri.

Eşitsizliklerin özdeş dönüşümleri, denklemlerin özdeş dönüşümlerine çok benzer. Aslında asıl sorun da bu. Farklılıklar başınızı aşar ve... işte buradasınız.) Bu nedenle, bu farklılıkları özellikle vurgulayacağım. Yani eşitsizliklerin ilk özdeş dönüşümü:

1. Eşitsizliğin her iki tarafına da aynı sayı veya ifade eklenebilir (çıkarılabilir). Herhangi. Bu eşitsizlik işaretini değiştirmeyecektir.

Uygulamada bu kural, terimlerin işaret değişikliği ile eşitsizliğin sol tarafından sağa (ve tam tersi) aktarılması olarak kullanılır. Eşitsizliğin değil, terimin işaretinin değişmesiyle! Bire-bir kuralı denklem kuralıyla aynıdır. Ancak eşitsizliklerdeki aşağıdaki özdeş dönüşümler denklemlerdekilerden önemli ölçüde farklıdır. Bu yüzden onları kırmızıyla vurguluyorum:

2. Eşitsizliğin her iki tarafı da aynı şeyle çarpılabilir (bölünebilir)pozitifsayı. Herhangipozitif Değişmeyecek.

3. Eşitsizliğin her iki tarafı da aynı şeyle çarpılabilir (bölünebilir)olumsuz sayı. Herhangiolumsuzsayı. Buradan eşitsizlik işaretitam tersi yönde değişecektir.

Denklemin herhangi bir şeyle çarpılabileceğini/bölünebileceğini hatırlıyorsunuzdur (umarım...). Ve herhangi bir sayı için ve X'li bir ifade için. Keşke sıfır olmasaydı. Bu da onu ne sıcak ne de soğuk yapar.) Değişmez. Ancak eşitsizlikler çarpma/bölmeye daha duyarlıdır.

Uzun bir hafıza için net bir örnek. Şüphe uyandırmayacak bir eşitsizlik yazalım:

5 > 2

Her iki tarafı da çarpın +3, şunu elde ederiz:

15 > 6

Herhangi bir itiraz? Hiçbir itirazımız yok.) Ve orijinal eşitsizliğin her iki tarafını da şu şekilde çarparsak: -3, şunu elde ederiz:

15 > -6

Ve bu düpedüz yalan.) Tam bir yalan! Halkı aldatma! Ancak eşitsizlik işaretini tersiyle değiştirdiğiniz anda her şey yerine oturur:

15 < -6

Sadece yalan ve aldatma hakkında küfür etmiyorum.) "Eşittir işaretini değiştirmeyi unuttum..."- Bu Ev Eşitsizliklerin çözümünde hata. Bu önemsiz ve basit kural pek çok insana zarar verdi! Ki unuttular...) Yani yemin ediyorum. Belki hatırlarım...)

Özellikle dikkatli insanlar eşitsizliğin X'li bir ifadeyle çarpılamayacağını fark edeceklerdir. Dikkatli olanlara saygıyla!) Neden olmasın? Cevap basit. X'li bu ifadenin işaretini bilmiyoruz. Pozitif de olabilir, negatif de... Dolayısıyla çarpmadan sonra hangi eşitsizlik işaretini koyacağımızı bilmiyoruz. Değiştirmeli miyim değiştirmemeli miyim? Bilinmeyen. Elbette bu kısıtlama (bir eşitsizliği x'li bir ifadeyle çarpma/bölme yasağı) aşılabilir. Eğer gerçekten ihtiyacın varsa. Ama bu diğer derslerin konusu.

Eşitsizliklerin özdeş dönüşümleri bunlar. için çalıştıklarını bir kez daha hatırlatayım. herhangi eşitsizlikler Artık belirli türlere geçebilirsiniz.

Doğrusal eşitsizlikler. Çözüm, örnekler.

Doğrusal eşitsizlikler, x'in birinci kuvvette olduğu ve x'e bölümün olmadığı eşitsizliklerdir. Tip:

x+3 > 5x-5

Bu tür eşitsizlikler nasıl çözülür? Bunları çözmek çok kolaydır! Yani: yardımıyla en kafa karıştırıcı doğrusal eşitsizliği azaltıyoruz doğrudan cevaba geçiyoruz.Çözüm bu. Kararın ana noktalarını vurgulayacağım. Aptalca hatalardan kaçınmak için.)

Bu eşitsizliği çözelim:

x+3 > 5x-5

Bunu tam olarak doğrusal denklemle aynı şekilde çözüyoruz. Tek farkla:

Eşitsizlik işaretini dikkatle izliyoruz!

İlk adım en yaygın olanıdır. X'lerle - sola, X'siz - sağa... Bu ilk özdeş dönüşümdür, basit ve sorunsuz.) Aktarılan terimlerin işaretlerini değiştirmeyi unutmayın.

Eşitsizlik işareti kalır:

x-5x > -5-3

İşte benzerleri.

Eşitsizlik işareti kalır:

4x > -8

Geriye son özdeş dönüşümü uygulamak kalıyor: her iki tarafı da -4'e bölün.

Bölünür olumsuz sayı.

Eşitsizlik işareti tersine değişecektir:

X < 2

Cevap bu.

Tüm doğrusal eşitsizlikler bu şekilde çözülür.

Dikkat! 2. nokta beyaz olarak çizilmiştir, yani. boyasız. İçerisi boş. Bu onun cevaba dahil olmadığı anlamına gelir! Onu bilerek bu kadar sağlıklı çizdim. Matematikte böyle bir noktaya (boş, sağlıklı değil!) delinmiş nokta.

Eksen üzerinde kalan sayılar işaretlenebilir ancak gerekli değildir. Eşitsizliğimizle ilgisi olmayan yabancı sayılar kafa karıştırıcı olabilir evet... Sadece sayıların ok yönünde arttığını unutmamanız gerekiyor yani. sayılar 3, 4, 5 vb. öyle Sağa ikişerdir ve sayılar 1, 0, -1 vb.'dir. - Sola.

Eşitsizlik x < 2 - sıkı. X kesinlikle ikiden küçüktür. Şüpheniz varsa kontrol etmek basittir. Şüpheli sayıyı eşitsizliğin yerine koyuyoruz ve şöyle düşünüyoruz: "İki ikiden küçük mü? Hayır, elbette!" Kesinlikle. Eşitsizlik 2 < 2 yanlış. Karşılığında iki uygun değil.

Biri iyi mi? Kesinlikle. Daha az... Ve sıfır iyidir ve -17 ve 0,34... Evet, ikiden küçük olan tüm sayılar iyidir! Ve hatta 1,9999... En azından biraz, ama daha az!

O halde tüm bu sayıları sayı ekseninde işaretleyelim. Nasıl? Burada seçenekler var. Birinci seçenek gölgelendirmedir. Fareyi resmin üzerine getiriyoruz (veya tabletteki resme dokunuyoruz) ve x koşulunu karşılayan tüm x'lerin alanının gölgeli olduğunu görüyoruz < 2 . Bu kadar.

İkinci örneği kullanarak ikinci seçeneğe bakalım:

X ≥ -0,5

Bir eksen çizin ve -0,5 sayısını işaretleyin. Bunun gibi:

Farkı fark ettiniz mi?) Evet, fark etmemek zor... Bu nokta siyah! Üzeri boyalı. Bu -0,5 anlamına gelir cevabın içinde yer alıyor. Bu arada, doğrulama birinin kafasını karıştırabilir. yerine koyalım:

-0,5 ≥ -0,5

Nasıl yani? -0,5, -0,5'ten fazla değil! Ve daha fazla simge var...

Önemli değil. Zayıf bir eşitsizlikte simgeye uyan her şey uygundur. VE eşittir iyi ve Daha iyi. Bu nedenle cevaba -0,5 dahil edilmiştir.

Böylece eksende -0,5'i işaretledik; geriye -0,5'ten büyük tüm sayıları işaretlemek kalıyor. Bu sefer uygun x değerlerinin alanını işaretliyorum yay(kelimeden yay), gölgelendirmek yerine. İmleci çizimin üzerine getiriyoruz ve bu yayı görüyoruz.

Gölgeleme ve kollar arasında özel bir fark yoktur. Öğretmenin söylediğini yapın. Öğretmen yoksa kemerler çizin. Daha karmaşık görevlerde gölgeleme daha az belirgindir. Kafanız karışabilir.

Doğrusal eşitsizlikler bir eksen üzerinde bu şekilde çizilir. Eşitsizliklerin bir sonraki özelliğine geçelim.

Eşitsizliklerin cevabını yazıyorum.

Denklemler iyiydi.) X'i bulduk ve cevabı yazdık, örneğin: x=3. Eşitsizliklerde cevap yazmanın iki şekli vardır. Biri son eşitsizlik formundadır. Basit vakalar için iyi. Örneğin:

X< 2.

Bu tam bir cevaptır.

Bazen aynı şeyi farklı bir biçimde, sayısal aralıklarla yazmanız gerekir. Daha sonra kayıt oldukça bilimsel görünmeye başlıyor):

x ∈ (-∞; 2)

Simgenin altında ∈ kelime gizli "aittir".

Giriş şu şekilde: x eksi sonsuzdan ikiye kadar olan aralığa aittir içermiyor. Oldukça mantıklı. X, eksi sonsuzdan ikiye kadar olası tüm sayılar arasından herhangi bir sayı olabilir. Kelimenin bize söylediği çift X olamaz "içermiyor".

Ve cevabın neresinde açıkça görülüyor ki "içermiyor"? Bu gerçek cevapta belirtilmiştir yuvarlak ikisinden hemen sonra parantez. İkisi dahil olsaydı, braket şu şekilde olurdu: kare. Bunun gibi: ]. Aşağıdaki örnekte böyle bir parantez kullanılmaktadır.

Cevabı yazalım: x ≥ -0,5 aralıklarla:

x ∈ [-0,5; +∞)

Okur: x eksi 0,5 aralığına aittir, içermek, artı sonsuza kadar.

Infinity asla açılamaz. Bu bir sayı değil, bir sembol. Dolayısıyla bu tür gösterimlerde sonsuzluk her zaman parantez yanında yer alır.

Bu kayıt biçimi, birkaç boşluktan oluşan karmaşık yanıtlar için uygundur. Ama - sadece son cevaplar için. Daha ileri bir çözümün beklendiği ara sonuçlarda, basit eşitsizlik biçimindeki olağan biçimi kullanmak daha iyidir. Bunu ilgili konularda ele alacağız.

Eşitsizliklerle ilgili popüler görevler.

Doğrusal eşitsizliklerin kendisi basittir. Bu nedenle görevler çoğu zaman daha da zorlaşır. Bu yüzden düşünmek gerekiyordu. Bu, eğer alışkın değilseniz, pek hoş değildir.) Ama faydalıdır. Bu tür görevlerin örneklerini göstereceğim. Bunları öğrenmeniz doğru değil, gereksiz. Ve bu tür örneklerle karşılaştığınızda korkmamak için. Biraz düşünün - ve çok basit!)

1. 3x - 3 eşitsizliğinin herhangi iki çözümünü bulun< 0

Ne yapacağınız çok açık değilse matematiğin ana kuralını hatırlayın:

Neye ihtiyacınız olduğunu bilmiyorsanız, elinizden geleni yapın!)

X < 1

Ve ne? Özel birşey yok. Bize ne soruyorlar? Bir eşitsizliğin çözümü olan iki spesifik sayıyı bulmamız isteniyor. Onlar. cevaba uyuyor. İki herhangi sayılar. Aslında bu kafa karıştırıcı.) Birkaç 0 ve 0,5 uygundur. Bir çift -3 ve -8. Bu çiftlerden sonsuz sayıda var! Hangi cevap doğrudur?

Cevap veriyorum: her şey! Her biri birden küçük olan herhangi bir sayı çifti, doğru cevap olacaktır. Hangisini istediğinizi yazın. Hadi devam edelim.

2. Eşitsizliği çözün:

4x - 3 ≠ 0

Bu formdaki görevler nadirdir. Ancak yardımcı eşitsizlikler olarak, örneğin ODZ bulunurken veya bir fonksiyonun tanım tanım kümesi bulunurken bunlar her zaman ortaya çıkar. Böyle bir doğrusal eşitsizlik sıradan bir doğrusal denklem olarak çözülebilir. Yalnızca "=" işareti dışında her yerde ( eşittir) bir işaret koy " ≠ " (eşit değil). Eşitsizlik işaretiyle cevaba şu şekilde yaklaşırsınız:

X ≠ 0,75

Daha fazlası karmaşık örnekler, işleri farklı yapmak daha iyidir. Eşitlikten eşitsizliği çıkarın. Bunun gibi:

4x - 3 = 0

Bunu öğretildiği gibi sakince çözün ve cevabı alın:

x = 0,75

Önemli olan, en sonunda, son cevabı yazarken x'i bulduğumuzu unutmayın. eşitlik. Ve ihtiyacımız var - eşitsizlik. Dolayısıyla bu X'e aslında ihtiyacımız yok.) Ve onu doğru sembolle yazmamız gerekiyor:

X ≠ 0,75

Bu yaklaşım daha az hatayla sonuçlanır. Denklemleri otomatik olarak çözenler. Ve denklemleri çözemeyenler için eşitsizliklerin aslında hiçbir faydası yok...) Popüler bir göreve bir başka örnek:

3. Eşitsizliğin en küçük tamsayı çözümünü bulun:

3(x - 1) < 5x + 9

Öncelikle eşitsizliği çözüyoruz. Parantezleri açıyoruz, hareket ettiriyoruz, benzerlerini getiriyoruz... Elde ediyoruz:

X > - 6

Bu şekilde yürümedi mi? İşaretleri takip ettin mi? Ve üye işaretlerinin arkasında, eşitsizlik işaretinin arkasında...

Tekrar düşünelim. Hem cevap hem de koşulla eşleşen belirli bir sayı bulmamız gerekiyor "en küçük tam sayı". Eğer hemen aklınıza gelmezse, herhangi bir sayıyı alıp çözebilirsiniz. İki bölü eksi altı mı? Kesinlikle! Uygun daha küçük bir sayı var mı? Elbette. Örneğin sıfır -6'dan büyüktür. Ve hatta daha az mı? Mümkün olan en küçük şeye ihtiyacımız var! Eksi üç eksi altıdan fazladır! Zaten modeli yakalayabilir ve aptalca sayıların üzerinden geçmeyi bırakabilirsiniz, değil mi?)

-6'ya yakın bir sayı alalım. Örneğin -5. Cevap yerine getirildi, -5 > - 6. -5'ten küçük, -6'dan büyük başka bir sayı bulmak mümkün müdür? Mesela -5.5... Dur! bize söylendi tümçözüm! -5.5 atmıyor! Peki ya eksi altı? Uh-uh! Eşitsizlik kesindir, eksi 6 hiçbir şekilde eksi 6'dan küçük değildir!

Bu nedenle doğru cevap -5'tir.

Umarım bir dizi değerle genel çözüm temiz. Başka bir örnek:

4. Eşitsizliği çözün:

7 < 3x+1 < 13

Vay! Bu ifade denir üçlü eşitsizlik Aslına bakılırsa bu, eşitsizlikler sisteminin kısaltılmış bir şeklidir. Ancak bu tür üçlü eşitsizliklerin hala bazı görevlerde çözülmesi gerekiyor... Herhangi bir sistem olmadan çözülebilir. Aynı özdeş dönüşümlere göre.

Bu eşitsizliği basitleştirmemiz, saf X'e getirmemiz gerekiyor. Ama... Ne nereye taşınmalı?! Burası sola ve sağa hareket etmenin önemli olduğunu hatırlamanın zamanı geldi kısa formİlk kimlik dönüşümü.

A tam formşöyle geliyor: Denklemin her iki tarafına da herhangi bir sayı veya ifade eklenebilir/çıkarılabilir (eşitsizlik).

Burada üç bölüm var. Yani her üç parçaya da aynı dönüşümleri uygulayacağız!

O halde eşitsizliğin orta kısmındaki birimden kurtulalım. Orta kısmın tamamından bir çıkaralım. Eşitsizliğin değişmemesi için kalan iki kısımdan bir çıkarıyoruz. Bunun gibi:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Bu daha iyi, değil mi?) Geriye kalan tek şey üç parçayı da üçe bölmek:

2 < X < 4

Bu kadar. Cevap bu. X, ikiden (dahil değil) dörde (dahil değil) kadar herhangi bir sayı olabilir. Bu cevap da aralıklarla yazılır; bu tür girişler ikinci dereceden eşitsizliklerde olacaktır. İşte bunlar en yaygın olanlardır.

Dersin sonunda en önemli şeyi tekrarlayacağım. Doğrusal eşitsizlikleri çözmedeki başarı, doğrusal denklemleri dönüştürme ve basitleştirme yeteneğine bağlıdır. Eğer aynı zamanda eşitsizlik işaretine dikkat edin, herhangi bir sorun olmayacak. Senin için dilediğim şey bu. Sorun yok.)

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Bugün arkadaşlar, sümük ve duygusallık olmayacak. Bunun yerine, sizi hiçbir soru sorulmadan 8-9. sınıf cebir dersindeki en zorlu rakiplerden biriyle savaşa göndereceğim.

Evet, her şeyi doğru anladınız: modüllü eşitsizliklerden bahsediyoruz. Bu tür sorunların yaklaşık %90'ını çözmeyi öğreneceğiniz dört temel tekniğe bakacağız. Geriye kalan %10 ne olacak? Neyse bunları ayrı bir derste konuşuruz. :)

Ancak tekniklerin herhangi birini analiz etmeden önce bilmeniz gereken iki gerçeği size hatırlatmak isterim. Aksi takdirde bugünkü dersin içeriğini hiç anlamama riskiyle karşı karşıya kalırsınız.

Zaten bilmeniz gerekenler

Kaptan Açıklık, modüllü eşitsizlikleri çözmek için iki şeyi bilmeniz gerektiğini ima ediyor gibi görünüyor:

1. Eşitsizlikler nasıl çözümlenir;
2. Modül nedir?

İkinci noktayla başlayalım.

Modül Tanımı

Burada her şey basit. İki tanımı vardır: cebirsel ve grafiksel. Başlangıç ​​olarak - cebirsel:

Tanım. Bir $x$ sayısının modülü, eğer negatif değilse sayının kendisidir veya orijinal $x$ hala negatifse, onun karşısındaki sayıdır.

Bu şekilde yazılmıştır:

\[\sol| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Konuşuyorum basit bir dille, modül “eksi olmayan bir sayıdır”. Ve işte bu ikilik (bazı yerlerde orijinal sayıyla hiçbir şey yapmanıza gerek yoktur, ancak diğerlerinde bir tür eksiyi kaldırmanız gerekir), yeni başlayan öğrenciler için tüm zorluğun yattığı yer burasıdır.

Bir de geometrik tanımı var. Bunu bilmek de faydalıdır, ancak buna yalnızca geometrik yaklaşımın cebirsel yaklaşımdan daha uygun olduğu karmaşık ve bazı özel durumlarda başvuracağız (spoiler: bugün değil).

Tanım. Sayı doğrusunda $a$ noktası işaretlensin. Daha sonra $\left| modülü x-a \right|$, bu doğru üzerindeki $x$ noktasından $a$ noktasına olan mesafedir.

Bir resim çizerseniz şöyle bir şey elde edersiniz:

Grafiksel modül tanımı

Öyle ya da böyle, bir modülün tanımından itibaren onun temel özelliği hemen şu şekilde ortaya çıkar: bir sayının modülü her zaman negatif olmayan bir miktardır. Bu gerçek, bugünkü anlatımızın tamamında kırmızı bir iplik olacak.

Eşitsizlikleri çözme. Aralık yöntemi

Şimdi eşitsizliklere bakalım. Birçoğu var ama şimdi görevimiz en azından en basitini çözebilmek. Aralık yönteminin yanı sıra doğrusal eşitsizliklere de indirgenenler.

Bu konuyla ilgili iki büyük dersim var (bu arada, çok, ÇOK faydalı - bunları incelemenizi öneririm):

1. Eşitsizlikler için aralık yöntemi (özellikle videoyu izleyin);
2. Kesirli rasyonel eşitsizlikler çok kapsamlı bir derstir, ancak sonrasında hiçbir sorunuz olmayacak.

Bütün bunları biliyorsanız, “eşitsizlikten denkleme geçelim” sözü sizde belli belirsiz bir duvara çarpma isteği uyandırmıyorsa hazırsınız demektir: dersin ana konusu olan cehenneme hoş geldiniz. :)

1. “Modül fonksiyondan küçüktür” formundaki eşitsizlikler

Bu, modüllerle ilgili en yaygın sorunlardan biridir. Formdaki bir eşitsizliği çözmek gerekir:

\[\sol| f\sağ| \ltg\]

$f$ ve $g$ fonksiyonları herhangi bir şey olabilir, ancak genellikle polinomlardır. Bu tür eşitsizliklere örnekler:

\[\begin(hizala) & \left| 2x+3 \sağ| \lt x+7; \\ & \sol| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \sol| ((x)^(2))-2\left| x \sağ|-3 \sağ| \lt 2. \\\end(hizala)\]

Hepsi aşağıdaki şemaya göre tam anlamıyla tek satırda çözülebilir:

\[\sol| f\sağ| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \doğru doğru)\]

Modülden kurtulduğumuzu görmek kolaydır, ancak karşılığında çifte eşitsizlik (veya aynı şey olan iki eşitsizlik sistemi) elde ederiz. Ancak bu geçiş, olası tüm sorunları kesinlikle hesaba katar: eğer modülün altındaki sayı pozitifse, yöntem işe yarar; negatifse hala çalışıyor; ve $f$ veya $g$ yerine en yetersiz fonksiyonla bile yöntem hala işe yarayacaktır.

Doğal olarak şu soru ortaya çıkıyor: Daha basit olamaz mıydı? Ne yazık ki bu mümkün değil. Modülün bütün amacı budur.

Ancak felsefe yapmakla yetinelim. Birkaç problemi çözelim:

Görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| 2x+3 \sağ| \lt x+7\]

Çözüm. Yani önümüzde "modül daha az" biçiminde klasik bir eşitsizlik var - dönüştürülecek hiçbir şey bile yok. Algoritmaya göre çalışıyoruz:

\[\begin(hizala) & \left| f\sağ| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \sol| 2x+3 \sağ| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Başında “eksi” bulunan parantezleri açmak için acele etmeyin: acelenizden dolayı saldırgan bir hata yapmanız oldukça olasıdır.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Sorun iki temel eşitsizliğe indirgenmişti. Çözümlerini paralel sayı doğrusu üzerinde not edelim:

Birçok şeyin kesişimi

Bu kümelerin kesişimi cevap olacaktır.

Cevap: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Çözüm. Bu görev biraz daha zordur. Öncelikle ikinci terimi sağa kaydırarak modülü izole edelim:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ| \lt -3\sol(x+1 \sağ)\]

Açıkçası, yine "modül daha küçük" biçiminde bir eşitsizliğimiz var, bu yüzden zaten bilinen algoritmayı kullanarak modülden kurtuluyoruz:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Şimdi dikkat: Bütün bu parantezlerle birileri benim biraz sapık olduğumu söyleyecektir. Ama şunu bir kez daha hatırlatayım ki asıl amacımız Eşitsizliği doğru bir şekilde çözün ve cevabı alın. Daha sonra, bu derste anlatılan her şeye mükemmel bir şekilde hakim olduğunuzda, bunu istediğiniz gibi kendiniz saptırabilirsiniz: parantezleri açın, eksileri ekleyin, vb.

Başlangıç ​​olarak soldaki çift eksiden kurtulacağız:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\sol(x+1 \sağ)\]

Şimdi çift eşitsizlikteki tüm parantezleri açalım:

Çifte eşitsizliğe geçelim. Bu sefer hesaplar daha ciddi olacak:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(hizala) \sağ.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( hizala)\sağ.\]

Her iki eşitsizlik de ikinci derecedendir ve aralık yöntemiyle çözülebilir (bu yüzden şunu söylüyorum: bunun ne olduğunu bilmiyorsanız, henüz modülleri ele almamak daha iyidir). İlk eşitsizlikteki denkleme geçelim:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\sol(x+5 \sağ)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\bit(hizala)\]

Gördüğünüz gibi çıktı, temel bir şekilde çözülebilen tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemdir. Şimdi sistemin ikinci eşitsizliğine bakalım. Burada Vieta teoremini uygulamanız gerekecek:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\bit(hizala)\]

Ortaya çıkan sayıları iki paralel çizgi üzerinde işaretliyoruz (ilk eşitsizlik için ayrı, ikincisi için ayrı):

Yine bir eşitsizlik sistemini çözdüğümüz için, gölgeli kümelerin kesişimiyle ilgileniyoruz: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Cevap bu.

Cevap: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Bu örneklerden sonra çözüm şemasının son derece net olduğunu düşünüyorum:

1. Diğer tüm terimleri eşitsizliğin karşı tarafına taşıyarak modülü izole edin. Böylece $\left| biçiminde bir eşitsizlik elde ederiz. f\sağ| \ltg$.
2. Yukarıda anlatılan şemaya göre modülden kurtularak bu eşitsizliği çözün. Bir noktada çifte eşitsizlikten, her biri zaten ayrı ayrı çözülebilen iki bağımsız ifadeden oluşan bir sisteme geçmek gerekli olacaktır.
3. Son olarak geriye kalan tek şey bu iki bağımsız ifadenin çözümlerini kesiştirmektir - işte bu kadar, nihai cevabı alacağız.

Modülün fonksiyondan büyük olduğu aşağıdaki türdeki eşitsizlikler için benzer bir algoritma mevcuttur. Ancak birkaç ciddi “ama” var. Şimdi bu “ama”lardan bahsedeceğiz.

2. “Modül fonksiyondan büyüktür” formundaki eşitsizlikler

Şuna benziyorlar:

\[\sol| f\sağ| \gitmeliyim\]

Öncekine benzer mi? Anlaşılan. Yine de bu tür sorunlar tamamen farklı bir şekilde çözülüyor. Resmi olarak şema aşağıdaki gibidir:

\[\sol| f\sağ| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Başka bir deyişle iki durumu ele alıyoruz:

1. İlk önce modülü görmezden geliyoruz ve olağan eşitsizliği çözüyoruz;
2. Daha sonra özünde modülü eksi işaretiyle genişletiyoruz ve elimde işaret varken eşitsizliğin her iki tarafını da -1 ile çarpıyoruz.

Bu durumda seçenekler köşeli parantezle birleştirilir; Önümüzde iki gereksinimin birleşimi var.

Lütfen tekrar unutmayın: bu bir sistem değil, bir bütünlüktür, dolayısıyla cevapta kümeler kesişmek yerine birleştirilmiştir. Bu önceki noktadan temel bir farktır!

Genel olarak birçok öğrencinin kafası birleşimler ve kesişimlerle tamamen karıştırılıyor, o yüzden gelin bu konuyu kesin olarak çözelim:

• "∪" birleşim işaretidir. Aslında bu bize gelen stilize bir "U" harfi. İngilizce ve “Birlik”in kısaltmasıdır, yani. "Dernekler".
• "∩" kesişim işaretidir. Bu saçmalık herhangi bir yerden gelmedi, sadece “∪”ye karşı bir karşı nokta olarak ortaya çıktı.

Hatırlamayı daha da kolaylaştırmak için, gözlük yapmak için bu işaretlere bacak çekin (şimdi beni uyuşturucu bağımlılığını ve alkolizmi teşvik etmekle suçlamayın: bu dersi ciddi şekilde çalışıyorsanız, o zaman zaten bir uyuşturucu bağımlısısınız demektir):

Kümelerin kesişimi ve birleşimi arasındaki fark

Rusçaya çevrildiğinde bu şu anlama gelir: Birlik (bütünlük) her iki gruptan da öğeler içerir, dolayısıyla hiçbir şekilde bunların her birinden daha az değildir; ancak kesişim (sistem) yalnızca hem birinci kümede hem de ikinci kümede aynı anda bulunan öğeleri içerir. Bu nedenle kümelerin kesişimi hiçbir zaman kaynak kümelerden daha büyük değildir.

Yani daha mı netleşti? Bu harika. Hadi uygulamaya geçelim.

Görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| 3x+1 \sağ| \gt 5-4x\]

Çözüm. Şemaya göre ilerliyoruz:

\[\sol| 3x+1 \sağ| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ Sağ.\]

Nüfustaki her eşitsizliği çözüyoruz:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Ortaya çıkan her kümeyi sayı doğrusunda işaretliyoruz ve sonra bunları birleştiriyoruz:

Setlerin birliği

Cevabın $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$ olacağı oldukça açık.

Cevap: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ| \gtx\]

Çözüm. Kuyu? Hiçbir şey - her şey aynı. Modüllü bir eşitsizlikten iki eşitsizlik kümesine geçiyoruz:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(hizala) \sağ.\]

Her eşitsizliği çözüyoruz. Ne yazık ki, oradaki kökler pek iyi olmayacak:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\bit(hizala)\]

İkinci eşitsizlik de biraz çılgınca:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\bit(hizala)\]

Şimdi bu sayıları her eşitsizlik için bir eksen olmak üzere iki eksende işaretlemeniz gerekiyor. Ancak noktaları doğru sırayla işaretlemeniz gerekir: sayı ne kadar büyük olursa nokta o kadar sağa doğru hareket eder.

Ve burada bizi bir kurulum bekliyor. $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ sayılarıyla her şey açıksa (birincinin payındaki terimler) kesir ikincinin payındaki terimlerden küçüktür, dolayısıyla toplam da daha azdır), $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt) sayılarıyla (21))(2)$ da hiçbir zorluk olmayacak (pozitif sayı açıkça daha negatif), o zaman son çiftte her şey o kadar net değil. Hangisi daha büyük: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ veya $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Noktaların sayı doğrusu üzerindeki yerleşimi ve aslında cevap bu sorunun cevabına bağlı olacaktır.

Öyleyse karşılaştıralım:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]

Kökü izole ettik, eşitsizliğin her iki tarafında da negatif olmayan sayılar elde ettik, böylece her iki tarafın karesini alma hakkına sahip olduk:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]

Bence bu hiç de akıllıca değil $4\sqrt(13) \gt 3$, yani $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, eksenlerdeki son noktalar şu şekilde yerleştirilecektir:

Bir çirkin kök vakası

Size bir kümeyi çözdüğümüzü hatırlatmama izin verin, dolayısıyla cevap gölgeli kümelerin kesişimi değil, birleşim olacaktır.

Cevap: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Gördüğünüz gibi şemamız hem basit hem de çok zor problemler için harika çalışıyor. Bu yaklaşımın tek "zayıf noktası" irrasyonel sayıları doğru bir şekilde karşılaştırmanız gerektiğidir (ve inanın bana: bunlar sadece kökler değildir). Ancak karşılaştırma konularına ayrı (ve çok ciddi) bir ders ayrılacaktır. Ve devam ediyoruz.

3. Negatif olmayan “kuyruk”lu eşitsizlikler

Şimdi en ilginç kısma geliyoruz. Bunlar formdaki eşitsizliklerdir:

\[\sol| f\sağ| \gt\sol| g\sağ|\]

Genel olarak konuşursak, şimdi bahsedeceğimiz algoritma sadece modül için doğrudur. Solda ve sağda negatif olmayan ifadelerin garanti edildiği tüm eşitsizliklerde işe yarar:

Bu görevlerle ne yapmalı? Sadece hatırlıyorum:

Negatif olmayan “kuyruk”lu eşitsizliklerde her iki taraf da herhangi bir doğal güce yükseltilebilir. Hiçbir ek kısıtlama olmayacak.

Her şeyden önce kare almayla ilgileneceğiz - modülleri ve kökleri yakar:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\bit(hizala)\]

Bunu bir karenin kökünü almakla karıştırmayın:

\[\sqrt(((f)^(2))))=\left| f \sağ|\ne f\]

Bir öğrenci bir modülü kurmayı unuttuğunda sayısız hata yapıldı! Ancak bu tamamen farklı bir hikaye (bunlar irrasyonel denklemler gibi), bu yüzden şimdi buna girmeyeceğiz. Birkaç sorunu daha iyi çözelim:

Görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| x+2 \sağ|\ge \sol| 1-2x \sağ|\]

Çözüm. Hemen iki şeye dikkat edelim:

1. Bu katı bir eşitsizlik değil. Sayı doğrusu üzerindeki noktalar delinecektir.
2. Eşitsizliğin her iki tarafı da açıkça negatif değildir (bu modülün bir özelliğidir: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Bu nedenle, modülden kurtulmak için eşitsizliğin her iki tarafının karesini alabiliriz ve sorunu olağan aralık yöntemini kullanarak çözebiliriz:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\bit(hizala)\]

Son adımda biraz hile yaptım: Modülün düzgünlüğünden yararlanarak terimlerin sırasını değiştirdim (aslında $1-2x$ ifadesini -1 ile çarptım).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ sağ)\sağ)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Aralık yöntemini kullanarak çözüyoruz. Eşitsizlikten denkleme geçelim:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\bit(hizala)\]

Bulunan kökleri sayı doğrusunda işaretliyoruz. Bir kez daha: Orijinal eşitsizlik katı olmadığından tüm noktalar gölgelidir!

Modül işaretinden kurtulmak

Özellikle inatçı olanlar için şunu hatırlatayım: Denkleme geçmeden önce yazmış olduğumuz son eşitsizliğin işaretlerini alıyoruz. Ve aynı eşitsizlikte gerekli olan alanları boyuyoruz. Bizim durumumuzda $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$ şeklindedir.

Tamam artık her şey bitti. Problem çözüldü.

Cevap: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \sağ|\]

Çözüm. Her şeyi aynı yapıyoruz. Yorum yapmayacağım - sadece eylemlerin sırasına bakın.

Kare:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \sağ| \sağ))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \sağ))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ sağ))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Aralık yöntemi:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Sağ ok x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\bit(hizala)\]

Sayı doğrusunda tek bir kök vardır:

Cevap tam bir aralıktır

Cevap: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Son görevle ilgili küçük bir not. Öğrencilerimden birinin doğru bir şekilde belirttiği gibi, bu eşitsizlikteki her iki alt modüler ifade de açıkça pozitiftir, dolayısıyla sağlığa zarar vermeden modül işareti çıkarılabilir.

Ancak bu tamamen farklı bir düşünce düzeyi ve farklı bir yaklaşımdır - buna şartlı olarak sonuçların yöntemi denilebilir. Bu konuda - ayrı bir derste. Şimdi bugünkü dersin son kısmına geçelim ve her zaman işe yarayan evrensel bir algoritmaya bakalım. Önceki tüm yaklaşımlar güçsüz olsa bile. :)

4. Seçeneklerin numaralandırılması yöntemi

Ya tüm bu teknikler yardımcı olmazsa? Eşitsizlik negatif olmayan kuyruklara indirgenemiyorsa, modülü izole etmek imkansızsa, genel olarak acı, üzüntü, melankoli varsa?

Sonra tüm matematiğin "ağır topları" sahneye çıkıyor; kaba kuvvet yöntemi. Modüllü eşitsizliklerle ilgili olarak şöyle görünür:

1. Tüm alt modüler ifadeleri yazın ve bunları sıfıra eşitleyin;
2. Ortaya çıkan denklemleri çözün ve bir sayı doğrusunda bulunan kökleri işaretleyin;
3. Düz çizgi, her modülün sabit bir işarete sahip olduğu ve dolayısıyla benzersiz bir şekilde ortaya çıktığı çeşitli bölümlere bölünecektir;
4. Bu tür bölümlerin her birinde eşitsizliği çözün (güvenilirlik için 2. adımda elde edilen kök sınırlarını ayrı ayrı değerlendirebilirsiniz). Sonuçları birleştirin - cevap bu olacak. :)

Nasıl? Zayıf? Kolayca! Sadece uzun bir süre için. Pratikte görelim:

Görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| x+2 \sağ| \lt \sol| x-1 \sağ|+x-\frac(3)(2)\]

Çözüm. Bu saçmalık $\left| gibi eşitsizliklerden ibaret değil f\sağ| \lt g$, $\left| f\sağ| \gt g$ veya $\left| f\sağ| \lt \sol| g \right|$, bu yüzden ileri doğru hareket ediyoruz.

Alt modüler ifadeler yazıyoruz, bunları sıfıra eşitliyoruz ve kökleri buluyoruz:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Sağ ok x=1. \\\bit(hizala)\]

Toplamda, sayı doğrusunu üç bölüme ayıran iki kökümüz var ve bu bölümde her modül benzersiz bir şekilde ortaya çıkıyor:

Sayı doğrusunda alt modüler fonksiyonların sıfırlarına göre bölümleme

Her bölüme ayrı ayrı bakalım.

1. $x \lt -2$ olsun. O zaman her iki alt modüler ifade de negatiftir ve orijinal eşitsizlik şu şekilde yeniden yazılacaktır:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align)\]

Oldukça basit bir sınırlamamız var. Bunu $x \lt -2$ şeklindeki başlangıç ​​varsayımıyla kesiştirelim:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Açıkçası, $x$ değişkeni aynı anda -2'den küçük ve 1,5'tan büyük olamaz. Bu alanda herhangi bir çözüm bulunmamaktadır.

1.1. Sınırdaki durumu ayrıca ele alalım: $x=-2$. Bu sayıyı orijinal eşitsizliğin yerine koyalım ve kontrol edelim: bu doğru mu?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \sol| -3\right|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\bit(hizala)\]

Hesaplamalar zincirinin bizi yanlış bir eşitsizliğe sürüklediği açıktır. Bu nedenle orijinal eşitsizlik de yanlıştır ve cevaba $x=-2$ dahil edilmemiştir.

2. Şimdi $-2 \lt x \lt 1$ olsun. Sol modül zaten bir "artı" ile açılacak, ancak sağdaki modül yine de "eksi" ile açılacaktır. Sahibiz:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2,5 \\\bitiş(hizalama)\]

Yine orijinal gereksinimle kesişiyoruz:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Ve yine, -2,5'tan küçük ve -2'den büyük sayılar olmadığından çözüm kümesi boştur.

2.1. Ve yine özel bir durum: $x=1$. Orijinal eşitsizliği yerine koyarsak:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \sol| 3\sağ| \lt \sol| 0\sağ|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\bit(hizala)\]

Önceki “özel duruma” benzer şekilde, $x=1$ sayısı cevaba açıkça dahil edilmemiştir.

3. Satırın son parçası: $x \gt 1$. Burada tüm modüller artı işaretiyle açılır:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(align)\ ]

Ve yine bulunan kümeyi orijinal kısıtlamayla kesiştiriyoruz:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Nihayet! Cevap olacak bir aralık bulduk.

Cevap: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Son olarak, gerçek sorunları çözerken sizi aptalca hatalardan kurtarabilecek bir açıklama:

Eşitsizliklerin modüllü çözümleri genellikle sayı doğrusu aralıkları ve segmentleri üzerindeki sürekli kümeleri temsil eder. İzole noktalar çok daha az yaygındır. Ve daha da az sıklıkla, çözümün sınırının (bölümün sonu) söz konusu aralığın sınırıyla çakıştığı görülür.

Sonuç olarak, eğer sınırlar (aynı “özel durumlar”) cevaba dahil edilmiyorsa, bu sınırların solunda ve sağındaki alanlar neredeyse kesinlikle cevaba dahil edilmeyecektir. Ve bunun tersi de geçerlidir: sınır cevaba girmiştir, bu da etrafındaki bazı alanların da cevap olacağı anlamına gelir.

Çözümlerinizi incelerken bunu aklınızda bulundurun.

Merhaba! Sevgili öğrencilerim, bu yazımızda üstel eşitsizliklerin çözümünü öğreneceğiz. .

Üstel eşitsizlik size ne kadar karmaşık görünse de, bazı dönüşümlerden sonra (bunlardan biraz sonra bahsedeceğiz) tüm eşitsizlikler ortaya çıkar. en basit üstel eşitsizliklerin çözümüne indirgenir:

a x > b, bir x< b Ve a x ≥ b, a x ≤ b.

Bu tür eşitsizliklerin nasıl çözüldüğünü anlamaya çalışalım.

Bir çözüm arayacağız katı eşitsizlikler. Katı olmayan eşitsizlikleri çözerken tek fark, ortaya çıkan karşılık gelen köklerin cevaba dahil edilmesidir.

Diyelim ki formdaki bir eşitsizliği çözmemiz gerekiyor ve f(x) > b, Nerede a>1 Ve b>0.

Bu tür eşitsizlikleri çözmek için şemaya bakın (Şekil 1):

Şimdi spesifik bir örneğe bakalım. Eşitsizliği çöz: 5 x – 1 > 125.

5 > 1 ve 125 > 0 olduğuna göre,
x – 1 > log 5 125, yani
x – 1 > 3,
x > 4.

Cevap: (4; +∞) .

Aynı eşitsizliğin çözümü ne olacak? ve f(x) >b, Eğer 0 Ve b>0?

Yani, Şekil 2'deki diyagram

Örnek: Eşitsizliği çözün (1/2) 2x - 2 ≥ 4

Kuralı uygulayarak (Şekil 2), şunu elde ederiz:
2х – 2 ≤ log 1/2 4,
2х – 2 ≤ –2,
2x ≤ 0,
x ≤ 0.

Cevap: (–∞; 0] .

Aynı eşitsizliğe tekrar bakalım ve f(x) > b, Eğer a>0 Ve B<0 .

Yani, Şekil 3'teki diyagram:

Bir eşitsizliği çözme örneği (1/3) x + 2 > –9. Dikkat ettiğimiz gibi, x'in yerine hangi sayıyı koyarsak koyalım, (1/3) x + 2 her zaman sıfırdan büyüktür.

Cevap: (–∞; +∞) .

Formdaki eşitsizlikler nasıl çözülür? ve f(x)< b , Nerede a>1 Ve b>0?

Şekil 4'teki diyagram:

Ve aşağıdaki örnek: 3 3 – x ≥ 8.
3 > 1 ve 8 > 0 olduğuna göre,
3 – x > log 3 8, yani
–x > log 3 8 – 3,
X< 3 – log 3 8.

Cevap: (0; 3–log 3 8) .

Eşitsizliğin çözümü nasıl değişebilir? ve f(x)< b , en 0 Ve b>0?

Şekil 5'teki diyagram:

Ve şu örnek: Eşitsizliği çözün 0,6 2x – 3< 0,36 .

Şekil 5'teki diyagramı takip ederek şunu elde ederiz:
2x – 3 > log 0,6 0,36,
2х – 3 > 2,
2x > 5,
x > 2,5

Cevap: (2,5; +∞) .

Formdaki bir eşitsizliği çözmek için son şemayı ele alalım. ve f(x)< b , en a>0 Ve B<0 Şekil 6'da sunulan:

Örneğin eşitsizliği çözelim:

X'in yerine hangi sayıyı koyarsak koyalım eşitsizliğin sol tarafının her zaman sıfırdan büyük olduğunu ve bizim durumumuzda bu ifadenin -8'den küçük olduğunu, yani ve sıfır, yani hiçbir çözüm yok.

Cevap: çözüm yok.

En basit üstel eşitsizlikleri nasıl çözeceğinizi bilerek devam edebilirsiniz. üstel eşitsizlikleri çözme.

Örnek 1.

Eşitsizliği sağlayan en büyük x tamsayı değerini bulun

6 x sıfırdan büyük olduğundan (hiçbir x durumunda payda sıfıra gitmez), eşitsizliğin her iki tarafını 6 x ile çarparsak şunu elde ederiz:

440 – 2 6 2x > 8 ise
– 2 6 2x > 8 – 440,
– 2 6 2х > – 332,
6 2x< 216,
2 kere< 3,

X< 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.

Cevap 1.

Örnek 2.

Eşitsizliği çözün 2 2 x – 3 2 x + 2 ≤ 0

2 x'i y ile gösterelim, y 2 – 3y + 2 ≤ 0 eşitsizliğini elde edelim ve bu ikinci dereceden eşitsizliği çözelim.

y 2 – 3y +2 = 0,
y 1 = 1 ve y 2 = 2.

Parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilmiş, bir grafik çizelim:

O halde eşitsizliğin çözümü eşitsizlik 1 olacaktır.< у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.

Cevap: (0; 1) .

Örnek 3. Eşitsizliği çöz 5 x +1 – 3 x +2< 2·5 x – 2·3 x –1
Eşitsizliğin bir kısmında aynı tabanlara sahip ifadeleri toplayalım

5 x +1 – 2 5 x< 3 x +2 – 2·3 x –1

Eşitsizliğin sol tarafındaki parantezlerden 5 x, sağ tarafındaki 3 x'i çıkaralım ve eşitsizliği elde edelim

5x(5 – 2)< 3 х (9 – 2/3),
3.5 x< (25/3)·3 х

Eşitsizliğin her iki tarafını da 3 3 x ifadesine bölersek eşitsizliğin işareti değişmez, 3 3 x pozitif bir sayı olduğundan eşitsizliği elde ederiz:

X< 2 (так как 5/3 > 1).

Cevap: (–∞; 2) .

Üstel eşitsizliklerin çözümüyle ilgili sorularınız varsa veya benzer örnekleri çözme konusunda pratik yapmak istiyorsanız derslerime kaydolun. Öğretmen Valentina Galinevskaya.

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

eşitsizlik çözümü modunda çevrimiçi çözüm hemen hemen her eşitsizlik çevrimiçi. Matematiksel çevrimiçi eşitsizlikler matematik çözmek için. Hızlıca bulun eşitsizlik çözümü modunda çevrimiçi. www.site web sitesi bulmanızı sağlar çözüm neredeyse verilen her şey cebirsel, trigonometrik veya aşkın eşitsizlik çevrimiçi. Matematiğin hemen hemen her dalını farklı aşamalarda çalışırken, çevrimiçi eşitsizlikler. Hemen yanıt almak ve en önemlisi doğru yanıt almak için bunu yapmanıza olanak tanıyan bir kaynağa ihtiyacınız var. www.site sitesi sayesinde çevrimiçi eşitsizliği çöz birkaç dakika sürecektir. Matematik çözerken www.sitenin temel avantajı çevrimiçi eşitsizlikler- bu, sağlanan yanıtın hızı ve doğruluğudur. Site her türlü sorunu çözebilir cebirsel eşitsizlikler çevrimiçi, trigonometrik eşitsizlikler çevrimiçi, aşkın eşitsizlikler çevrimiçi, Ve eşitsizlikler modunda bilinmeyen parametrelerle çevrimiçi. Eşitsizlikler güçlü bir matematiksel aygıt olarak hizmet eder çözümler pratik problemler. Yardımla matematiksel eşitsizliklerİlk bakışta kafa karıştırıcı ve karmaşık görünebilecek olguları ve ilişkileri ifade etmek mümkündür. Bilinmeyen miktarlar eşitsizlikler problemi formüle ederek bulunabilir. matematiksel formdaki dil eşitsizlikler Ve karar vermek modunda alınan görev çevrimiçi www.site web sitesinde. Herhangi cebirsel eşitsizlik, trigonometrik eşitsizlik veya eşitsizlikler kapsamak transandantal kolayca yapabileceğiniz özellikler karar vermekçevrimiçi olun ve kesin cevabı alın. Doğa bilimleri okurken kaçınılmaz olarak bir ihtiyaçla karşılaşırsınız. eşitsizliklere çözümler. Bu durumda cevabın doğru olması ve modda hemen alınması gerekir. çevrimiçi. Bu nedenle matematiksel eşitsizlikleri çevrimiçi çözme için vazgeçilmez hesap makineniz olacak www.site sitesini öneriyoruz. cebirsel eşitsizlikleri çevrimiçi çözme, trigonometrik eşitsizlikler çevrimiçi, Ve aşkın eşitsizlikler çevrimiçi veya eşitsizlikler bilinmeyen parametrelerle Çeşitli sorunlara çevrimiçi çözümler bulmanın pratik sorunları için matematiksel eşitsizlikler kaynak www.. Çözme çevrimiçi eşitsizlikler kendiniz, alınan cevabı kullanarak kontrol etmeniz yararlı olacaktır. eşitsizliklerin çevrimiçi çözümü www.site web sitesinde. Eşitsizliği doğru yazmanız ve anında elde etmeniz gerekir. çevrimiçi çözüm Bundan sonra geriye kalan tek şey cevabı eşitsizliğin çözümüyle karşılaştırmaktır. Cevabı kontrol etmek bir dakikadan fazla sürmeyecek, yeterli çevrimiçi eşitsizliği çöz ve cevapları karşılaştırın. Bu, hatalardan kaçınmanıza yardımcı olacaktır karar ve cevabı zamanında düzeltin çevrimiçi eşitsizlikleri çözme herhangi biri cebirsel, trigonometrik, transandantal veya eşitsizlik bilinmeyen parametrelerle