İkinci dereceden eşitsizliği çözün çevrimiçi hesap makinesi. Üstel eşitsizlikleri çözme

Eşitsizlikleri çevrimiçi çözme

Eşitsizlikleri çözmeden önce denklemlerin nasıl çözüldüğünü iyi anlamanız gerekir.

Eşitsizliğin katı () veya katı olmayan (≤, ≥) olması önemli değil, ilk adım eşitsizlik işaretini eşitlik (=) ile değiştirerek denklemi çözmektir.

Bir eşitsizliği çözmenin ne anlama geldiğini açıklayalım mı?

Denklemleri inceledikten sonra öğrencinin kafasında şu resim belirir: Denklemin her iki tarafının da aynı değerleri alacağı değişkenin değerlerini bulması gerekir. Başka bir deyişle eşitliğin geçerli olduğu tüm noktaları bulun. Her şey doğru!

Eşitsizliklerden bahsettiğimizde eşitsizliğin geçerli olduğu aralıkları (bölümleri) bulmayı kastediyoruz. Eşitsizlikte iki değişken varsa çözüm artık aralıklar değil, düzlemdeki bazı alanlar olacaktır. Üç değişkendeki eşitsizliğin çözümünün ne olacağını kendiniz tahmin edin?

Eşitsizlikler nasıl çözülür?

Eşitsizlikleri çözmenin evrensel bir yolu, belirli bir eşitsizliğin karşılanacağı sınırlar içindeki tüm aralıkların belirlenmesinden oluşan aralık yöntemi (aynı zamanda aralık yöntemi olarak da bilinir) olarak kabul edilir.

Eşitsizliğin türüne girmeden, bu durumda mesele bu değil, ilgili denklemi çözüp köklerini belirlemeniz ve ardından bu çözümlerin sayı ekseninde belirtilmesi gerekiyor.

Bir eşitsizliğin çözümü nasıl doğru şekilde yazılır?

Eşitsizliğin çözüm aralıklarını belirledikten sonra çözümün kendisini doğru bir şekilde yazmanız gerekir. Önemli bir nüans var - aralıkların sınırları çözüme dahil mi?

Burada her şey basit. Denklemin çözümü ODZ'yi sağlıyorsa ve eşitsizlik katı değilse, aralığın sınırı eşitsizliğin çözümüne dahil edilir. Aksi halde hayır.

Her aralık dikkate alındığında eşitsizliğin çözümü, aralığın kendisi veya bir yarım aralık (sınırlarından biri eşitsizliği karşıladığında) veya bir parça (sınırlarıyla birlikte aralık) olabilir.

Önemli nokta

Eşitsizliği yalnızca aralıkların, yarım aralıkların ve parçaların çözebileceğini düşünmeyin. Hayır, çözüm bireysel noktaları da içerebilir.

Örneğin, |x|≤0 eşitsizliğinin tek bir çözümü vardır; bu, 0 noktasıdır.

Ve |x| eşitsizliği

Neden bir eşitsizlik hesaplayıcısına ihtiyacınız var?

Eşitsizlik hesaplayıcısı doğru nihai cevabı verir. Çoğu durumda, bir sayı ekseninin veya düzleminin bir gösterimi sağlanır. Aralıkların sınırlarının çözüme dahil edilip edilmediği görülebilir; noktalar gölgeli veya noktalı olarak görüntülenir.

Sayesinde cevrimici hesap makinesi Eşitsizlikler için denklemin köklerini doğru bulup bulmadığınızı kontrol edebilir, bunları sayı ekseninde işaretleyebilir ve aralıklarda (ve sınırlar) eşitsizlik koşulunun karşılanıp karşılanmadığını kontrol edebilirsiniz.

Cevabınız hesap makinesinin cevabından farklıysa, o zaman kesinlikle çözümünüzü tekrar kontrol etmeniz ve hatayı tanımlamanız gerekir.

Eşitsizlik simgeleri hakkında bilmeniz gerekenler? Simgeli eşitsizlikler Daha (> ), veya az (< ) arandı sıkı. Simgelerle daha fazla veya eşit (≥ ), daha az veya eşit (≤ ) arandı sıkı değil. Simge eşit değil (≠ ) ayrı duruyor, ancak aynı zamanda her zaman bu simgeye sahip örnekleri de çözmeniz gerekiyor. Ve biz karar vereceğiz.)

Simgenin kendisinin çözüm süreci üzerinde pek bir etkisi yoktur. Ancak kararın sonunda, nihai cevabı seçerken simgenin anlamı tüm gücüyle ortaya çıkıyor! Aşağıda örneklerde göreceğimiz şey budur. Orada bazı şakalar var...

Eşitlikler gibi eşitsizlikler de mevcuttur sadık ve sadakatsiz. Burada her şey basit, hile yok. 5 diyelim > 2 gerçek bir eşitsizliktir. 5 < 2 - yanlış.

Bu hazırlık eşitsizlikler için işe yarıyor herhangi bir tür ve dehşet derecesinde basit.) Sadece iki (sadece iki!) temel eylemi doğru bir şekilde gerçekleştirmeniz gerekiyor. Bu eylemler herkese tanıdık geliyor. Ama karakteristik olarak bu eylemlerdeki hatalar eşitsizliklerin çözümündeki temel hatadır, evet... Dolayısıyla bu eylemlerin tekrarlanması gerekiyor. Bu eylemler şu şekilde adlandırılır:

Eşitsizliklerin özdeş dönüşümleri.

Eşitsizliklerin özdeş dönüşümleri, denklemlerin özdeş dönüşümlerine çok benzer. Aslında asıl sorun da bu. Farklılıklar başınızı aşar ve... işte buradasınız.) Bu nedenle, bu farklılıkları özellikle vurgulayacağım. Yani eşitsizliklerin ilk özdeş dönüşümü:

1. Eşitsizliğin her iki tarafına da aynı sayı veya ifade eklenebilir (çıkarılabilir). Herhangi. Bu eşitsizlik işaretini değiştirmeyecektir.

Uygulamada bu kural, terimlerin işaret değişikliği ile eşitsizliğin sol tarafından sağa (ve tam tersi) aktarılması olarak kullanılır. Eşitsizliğin değil, terimin işaretinin değişmesiyle! Bire-bir kuralı denklem kuralıyla aynıdır. Ancak eşitsizliklerdeki aşağıdaki özdeş dönüşümler denklemlerdekilerden önemli ölçüde farklıdır. Bu yüzden onları kırmızıyla vurguluyorum:

2. Eşitsizliğin her iki tarafı da aynı şeyle çarpılabilir (bölünebilir)pozitifsayı. Herhangipozitif Değişmeyecek.

3. Eşitsizliğin her iki tarafı da aynı şeyle çarpılabilir (bölünebilir)olumsuz sayı. Herhangiolumsuzsayı. Buradan eşitsizlik işaretitam tersi yönde değişecektir.

Denklemin herhangi bir şeyle çarpılabileceğini/bölünebileceğini hatırlıyorsunuzdur (umarım...). Ve herhangi bir sayı için ve X'li bir ifade için. Keşke sıfır olmasaydı. Bu da onu ne sıcak ne de soğuk yapar.) Değişmez. Ancak eşitsizlikler çarpma/bölmeye daha duyarlıdır.

Uzun bir hafıza için net bir örnek. Şüphe uyandırmayacak bir eşitsizlik yazalım:

5 > 2

Her iki tarafı da çarpın +3, şunu elde ederiz:

15 > 6

Herhangi bir itiraz? Hiçbir itirazımız yok.) Ve orijinal eşitsizliğin her iki tarafını da şu şekilde çarparsak: -3, şunu elde ederiz:

15 > -6

Ve bu düpedüz yalan.) Tam bir yalan! Halkı aldatma! Ancak eşitsizlik işaretini tersiyle değiştirdiğiniz anda her şey yerine oturur:

15 < -6

Sadece yalan ve aldatma hakkında küfür etmiyorum.) "Eşittir işaretini değiştirmeyi unuttum..."- Bu Ev Eşitsizliklerin çözümünde hata. Bu önemsiz ve basit kural pek çok insana zarar verdi! Ki unuttular...) Yani yemin ediyorum. Belki hatırlarım...)

Özellikle dikkatli insanlar eşitsizliğin X'li bir ifadeyle çarpılamayacağını fark edeceklerdir. Dikkatli olanlara saygıyla!) Neden olmasın? Cevap basit. X'li bu ifadenin işaretini bilmiyoruz. Pozitif de olabilir, negatif de... Dolayısıyla çarpmadan sonra hangi eşitsizlik işaretini koyacağımızı bilmiyoruz. Değiştirmeli miyim değiştirmemeli miyim? Bilinmeyen. Elbette bu kısıtlama (bir eşitsizliği x'li bir ifadeyle çarpma/bölme yasağı) aşılabilir. Eğer gerçekten ihtiyacın varsa. Ama bu diğer derslerin konusu.

Eşitsizliklerin özdeş dönüşümleri bunlar. için çalıştıklarını bir kez daha hatırlatayım. herhangi eşitsizlikler Artık belirli türlere geçebilirsiniz.

Doğrusal eşitsizlikler. Çözüm, örnekler.

Doğrusal eşitsizlikler, x'in birinci kuvvette olduğu ve x'e bölümün olmadığı eşitsizliklerdir. Tip:

x+3 > 5x-5

Bu tür eşitsizlikler nasıl çözülür? Bunları çözmek çok kolaydır! Yani: yardımıyla en kafa karıştırıcı doğrusal eşitsizliği azaltıyoruz doğrudan cevaba geçiyoruz.Çözüm bu. Kararın ana noktalarını vurgulayacağım. Aptalca hatalardan kaçınmak için.)

Bu eşitsizliği çözelim:

x+3 > 5x-5

Bunu tam olarak doğrusal denklemle aynı şekilde çözüyoruz. Tek farkla:

Eşitsizlik işaretini dikkatle izliyoruz!

İlk adım en yaygın olanıdır. X'lerle - sola, X'siz - sağa... Bu ilk özdeş dönüşümdür, basit ve sorunsuz.) Aktarılan terimlerin işaretlerini değiştirmeyi unutmayın.

Eşitsizlik işareti kalır:

x-5x > -5-3

İşte benzerleri.

Eşitsizlik işareti kalır:

4x > -8

Geriye son özdeş dönüşümü uygulamak kalıyor: her iki tarafı da -4'e bölün.

Bölünür olumsuz sayı.

Eşitsizlik işareti tersine değişecektir:

X < 2

Cevap bu.

Tüm doğrusal eşitsizlikler bu şekilde çözülür.

Dikkat! 2. nokta beyaz olarak çizilmiştir, yani. boyasız. İçerisi boş. Bu onun cevaba dahil olmadığı anlamına gelir! Onu bilerek bu kadar sağlıklı çizdim. Matematikte böyle bir noktaya (boş, sağlıklı değil!) delinmiş nokta.

Eksen üzerinde kalan sayılar işaretlenebilir ancak gerekli değildir. Eşitsizliğimizle ilgisi olmayan yabancı sayılar kafa karıştırıcı olabilir evet... Sadece sayıların ok yönünde arttığını unutmamanız gerekiyor yani. sayılar 3, 4, 5 vb. öyle Sağa ikişerdir ve sayılar 1, 0, -1 vb.'dir. - Sola.

Eşitsizlik x < 2 - sıkı. X kesinlikle ikiden küçüktür. Şüpheniz varsa kontrol etmek basittir. Şüpheli sayıyı eşitsizliğin yerine koyuyoruz ve şöyle düşünüyoruz: "İki ikiden küçük mü? Hayır, elbette!" Kesinlikle. Eşitsizlik 2 < 2 yanlış. Karşılığında iki uygun değil.

Biri iyi mi? Kesinlikle. Daha az... Ve sıfır iyidir ve -17 ve 0,34... Evet, ikiden küçük olan tüm sayılar iyidir! Ve hatta 1,9999... En azından biraz, ama daha az!

O halde tüm bu sayıları sayı ekseninde işaretleyelim. Nasıl? Burada seçenekler var. Birinci seçenek gölgelendirmedir. Fareyi resmin üzerine getiriyoruz (veya tabletteki resme dokunuyoruz) ve x koşulunu karşılayan tüm x'lerin alanının gölgeli olduğunu görüyoruz < 2 . Bu kadar.

İkinci örneği kullanarak ikinci seçeneğe bakalım:

X ≥ -0,5

Bir eksen çizin ve -0,5 sayısını işaretleyin. Bunun gibi:

Farkı fark ettiniz mi?) Evet, fark etmemek zor... Bu nokta siyah! Üzeri boyalı. Bu -0,5 anlamına gelir cevabın içinde yer alıyor. Bu arada, doğrulama birinin kafasını karıştırabilir. yerine koyalım:

-0,5 ≥ -0,5

Nasıl yani? -0,5, -0,5'ten fazla değil! Ve daha fazla simge var...

Önemli değil. Zayıf bir eşitsizlikte simgeye uyan her şey uygundur. VE eşittir iyi ve Daha iyi. Bu nedenle cevaba -0,5 dahil edilmiştir.

Böylece eksende -0,5'i işaretledik; geriye -0,5'ten büyük tüm sayıları işaretlemek kalıyor. Bu sefer uygun x değerlerinin alanını işaretliyorum yay(kelimeden yay), gölgelendirmek yerine. İmleci çizimin üzerine getiriyoruz ve bu yayı görüyoruz.

Gölgeleme ve kollar arasında özel bir fark yoktur. Öğretmenin söylediğini yapın. Öğretmen yoksa kemerler çizin. Daha karmaşık görevlerde gölgeleme daha az belirgindir. Kafanız karışabilir.

Doğrusal eşitsizlikler bir eksen üzerinde bu şekilde çizilir. Eşitsizliklerin bir sonraki özelliğine geçelim.

Eşitsizliklerin cevabını yazıyorum.

Denklemler iyiydi.) X'i bulduk ve cevabı yazdık, örneğin: x=3. Eşitsizliklerde cevap yazmanın iki şekli vardır. Biri son eşitsizlik formundadır. Basit vakalar için iyi. Örneğin:

X< 2.

Bu tam bir cevaptır.

Bazen aynı şeyi farklı bir biçimde, sayısal aralıklarla yazmanız gerekir. Daha sonra kayıt oldukça bilimsel görünmeye başlıyor):

x ∈ (-∞; 2)

Simgenin altında ∈ kelime gizli "aittir".

Giriş şu şekilde: x eksi sonsuzdan ikiye kadar olan aralığa aittir içermiyor. Oldukça mantıklı. X, eksi sonsuzdan ikiye kadar olası tüm sayılar arasından herhangi bir sayı olabilir. Kelimenin bize söylediği çift X olamaz "içermiyor".

Ve cevabın neresinde açıkça görülüyor ki "içermiyor"? Bu gerçek cevapta belirtilmiştir yuvarlak ikisinden hemen sonra parantez. İkisi dahil olsaydı, braket şu şekilde olurdu: kare. Bunun gibi: ]. Aşağıdaki örnekte böyle bir parantez kullanılmaktadır.

Cevabı yazalım: x ≥ -0,5 aralıklarla:

x ∈ [-0,5; +∞)

Okur: x eksi 0,5 aralığına aittir, içermek, artı sonsuza kadar.

Infinity asla açılamaz. Bu bir sayı değil, bir sembol. Dolayısıyla bu tür gösterimlerde sonsuzluk her zaman parantez yanında yer alır.

Bu kayıt biçimi, birkaç boşluktan oluşan karmaşık yanıtlar için uygundur. Ama - sadece son cevaplar için. Daha ileri bir çözümün beklendiği ara sonuçlarda, basit eşitsizlik biçimindeki olağan biçimi kullanmak daha iyidir. Bunu ilgili konularda ele alacağız.

Eşitsizliklerle ilgili popüler görevler.

Doğrusal eşitsizliklerin kendisi basittir. Bu nedenle görevler çoğu zaman daha da zorlaşır. Bu yüzden düşünmek gerekiyordu. Bu, eğer alışkın değilseniz, pek hoş değildir.) Ama faydalıdır. Bu tür görevlerin örneklerini göstereceğim. Bunları öğrenmeniz doğru değil, gereksiz. Ve bu tür örneklerle karşılaştığınızda korkmamak için. Biraz düşünün - ve çok basit!)

1. 3x - 3 eşitsizliğinin herhangi iki çözümünü bulun< 0

Ne yapacağınız çok açık değilse matematiğin ana kuralını hatırlayın:

Neye ihtiyacınız olduğunu bilmiyorsanız, elinizden geleni yapın!)

X < 1

Ve ne? Özel birşey yok. Bize ne soruyorlar? Bir eşitsizliğin çözümü olan iki spesifik sayıyı bulmamız isteniyor. Onlar. cevaba uyuyor. İki herhangi sayılar. Aslında bu kafa karıştırıcı.) Birkaç 0 ve 0,5 uygundur. Bir çift -3 ve -8. Bu çiftlerden sonsuz sayıda var! Hangi cevap doğrudur?

Cevap veriyorum: her şey! Her biri birden küçük olan herhangi bir sayı çifti, doğru cevap olacaktır. Hangisini istediğinizi yazın. Hadi devam edelim.

2. Eşitsizliği çözün:

4x - 3 ≠ 0

Bu formdaki görevler nadirdir. Ancak yardımcı eşitsizlikler olarak, örneğin ODZ bulunurken veya bir fonksiyonun tanım tanım kümesi bulunurken bunlar her zaman ortaya çıkar. Böyle bir doğrusal eşitsizlik sıradan bir doğrusal denklem olarak çözülebilir. Yalnızca "=" işareti dışında her yerde ( eşittir) bir işaret koy " ≠ " (eşit değil). Eşitsizlik işaretiyle cevaba şu şekilde yaklaşırsınız:

X ≠ 0,75

Daha fazlası karmaşık örnekler, işleri farklı yapmak daha iyidir. Eşitlikten eşitsizliği çıkarın. Bunun gibi:

4x - 3 = 0

Bunu öğretildiği gibi sakince çözün ve cevabı alın:

x = 0,75

Önemli olan, en sonunda, son cevabı yazarken x'i bulduğumuzu unutmayın. eşitlik. Ve ihtiyacımız var - eşitsizlik. Dolayısıyla bu X'e aslında ihtiyacımız yok.) Ve onu doğru sembolle yazmamız gerekiyor:

X ≠ 0,75

Bu yaklaşım daha az hatayla sonuçlanır. Denklemleri otomatik olarak çözenler. Ve denklemleri çözemeyenler için eşitsizliklerin aslında hiçbir faydası yok...) Popüler bir göreve bir başka örnek:

3. Eşitsizliğin en küçük tamsayı çözümünü bulun:

3(x - 1) < 5x + 9

Öncelikle eşitsizliği çözüyoruz. Parantezleri açıyoruz, hareket ettiriyoruz, benzerlerini getiriyoruz... Elde ediyoruz:

X > - 6

Bu şekilde yürümedi mi? İşaretleri takip ettin mi? Ve üye işaretlerinin arkasında, eşitsizlik işaretinin arkasında...

Tekrar düşünelim. Hem cevap hem de koşulla eşleşen belirli bir sayı bulmamız gerekiyor "en küçük tam sayı". Eğer hemen aklınıza gelmezse, herhangi bir sayıyı alıp çözebilirsiniz. İki bölü eksi altı mı? Kesinlikle! Uygun daha küçük bir sayı var mı? Elbette. Örneğin sıfır -6'dan büyüktür. Ve hatta daha az mı? Mümkün olan en küçük şeye ihtiyacımız var! Eksi üç eksi altıdan fazladır! Zaten modeli yakalayabilir ve aptalca sayıların üzerinden geçmeyi bırakabilirsiniz, değil mi?)

-6'ya yakın bir sayı alalım. Örneğin -5. Cevap yerine getirildi, -5 > - 6. -5'ten küçük, -6'dan büyük başka bir sayı bulmak mümkün müdür? Mesela -5.5... Dur! bize söylendi tümçözüm! -5.5 atmıyor! Peki ya eksi altı? Uh-uh! Eşitsizlik kesindir, eksi 6 hiçbir şekilde eksi 6'dan küçük değildir!

Bu nedenle doğru cevap -5'tir.

Umarım genel çözümden değer seçiminde her şey açıktır. Başka bir örnek:

4. Eşitsizliği çözün:

7 < 3x+1 < 13

Vay! Bu ifade denir üçlü eşitsizlik Aslına bakılırsa bu, eşitsizlikler sisteminin kısaltılmış bir şeklidir. Ancak bu tür üçlü eşitsizliklerin hala bazı görevlerde çözülmesi gerekiyor... Herhangi bir sistem olmadan çözülebilir. Aynı özdeş dönüşümlere göre.

Bu eşitsizliği basitleştirmemiz, saf X'e getirmemiz gerekiyor. Ama... Ne nereye taşınmalı?! Burası sola ve sağa hareket etmenin önemli olduğunu hatırlamanın zamanı geldi kısa formİlk kimlik dönüşümü.

A tam formşöyle geliyor: Denklemin her iki tarafına da herhangi bir sayı veya ifade eklenebilir/çıkarılabilir (eşitsizlik).

Burada üç bölüm var. Yani her üç parçaya da aynı dönüşümleri uygulayacağız!

O halde eşitsizliğin orta kısmındaki birimden kurtulalım. Orta kısmın tamamından bir çıkaralım. Eşitsizliğin değişmemesi için kalan iki kısımdan bir çıkarıyoruz. Bunun gibi:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Bu daha iyi, değil mi?) Geriye kalan tek şey üç parçayı da üçe bölmek:

2 < X < 4

Bu kadar. Cevap bu. X, ikiden (dahil değil) dörde (dahil değil) kadar herhangi bir sayı olabilir. Bu cevap da aralıklarla yazılır; bu tür girişler ikinci dereceden eşitsizliklerde olacaktır. İşte bunlar en yaygın olanlardır.

Dersin sonunda en önemli şeyi tekrarlayacağım. Doğrusal eşitsizlikleri çözmedeki başarı, doğrusal denklemleri dönüştürme ve basitleştirme yeteneğine bağlıdır. Eğer aynı zamanda eşitsizlik işaretine dikkat edin, herhangi bir sorun olmayacak. Senin için dilediğim şey bu. Sorun yok.)

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Değişkenli eşitsizlikler hakkında ilk bilgileri aldıktan sonra bunları çözme sorusuna geçiyoruz. Tek değişkenli doğrusal eşitsizliklerin çözümünü ve bunları çözmek için kullanılan tüm yöntemleri algoritmalar ve örneklerle analiz edeceğiz. Yalnızca tek değişkenli doğrusal denklemler dikkate alınacaktır.

Doğrusal eşitsizlik nedir?

Öncelikle bir doğrusal denklem tanımlamanız ve onun standart formunu ve diğerlerinden nasıl farklı olacağını bulmanız gerekir. Okul derslerinden eşitsizlikler arasında temel bir fark olmadığını öğrendik, bu nedenle çeşitli tanımların kullanılması gerekiyor.

Tanım 1

Tek değişkenli doğrusal eşitsizlik> yerine herhangi bir eşitsizlik işareti kullanıldığında x, a · x + b > 0 biçiminde bir eşitsizliktir< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Tanım 2

Eşitsizlikler a x< c или a · x >x bir değişken ve a ve c bazı sayılar olmak üzere c'ye denir tek değişkenli doğrusal eşitsizlikler.

Katsayının 0'a eşit olup olamayacağı hakkında hiçbir şey söylenmediği için 0 x > c ve 0 x şeklinde bir katı eşitsizlik söz konusudur.< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Aralarındaki farklar şunlardır:

• ilkinde a · x + b > 0 ve ikincisinde a · x > c – gösterimi;
• a katsayısının sıfıra eşit olmasının kabul edilebilirliği, ilkinde a ≠ 0 - ve ikincisinde a = 0 -.

Bir terimin bir parçadan diğerine aktarılmasıyla elde edildikleri için a · x + b > 0 ve a · x > c eşitsizliklerinin eşdeğer olduğuna inanılmaktadır. 0 x + 5 > 0 eşitsizliğinin çözülmesi, çözülmesi gerekeceği gerçeğine yol açacak ve a = 0 durumu işe yaramayacaktır.

Tanım 3

Bir x değişkenindeki doğrusal eşitsizliklerin formdaki eşitsizlikler olduğuna inanılmaktadır. a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0 Ve a x + b ≥ 0 burada a ve b gerçek sayılardır. X yerine normal bir sayı da olabilir.

Kurala göre, 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2 elde ederiz.< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2'ye doğrusala indirgenebilir denir.

Doğrusal eşitsizlik nasıl çözülür?

Bu tür eşitsizlikleri çözmenin ana yolu, temel x eşitsizliklerini bulmak için eşdeğer dönüşümler kullanmaktır.< p (≤ , >, ≥) , p, a ≠ 0 için belirli bir sayıdır ve a biçimindedir< p (≤ , >, ≥) a = 0 için.

Bir değişkendeki eşitsizlikleri çözmek için aralık yöntemini kullanabilir veya bunu grafiksel olarak gösterebilirsiniz. Bunlardan herhangi biri ayrı ayrı kullanılabilir.

Eşdeğer dönüşümleri kullanma

a x + b formundaki doğrusal bir eşitsizliği çözmek için< 0 (≤ , >, ≥), eşdeğer eşitsizlik dönüşümlerinin uygulanması gerekir. Katsayı sıfır olabilir veya olmayabilir. Her iki durumu da ele alalım. Bunu öğrenmek için 3 noktadan oluşan bir şemaya uymanız gerekir: sürecin özü, algoritma ve çözümün kendisi.

Tanım 4

Doğrusal eşitsizliği çözmek için algoritma a x + b< 0 (≤ , >, ≥) a ≠ 0 için

• b sayısı ters işaretle eşitsizliğin sağ tarafına taşınacak, bu da a x eşdeğerine ulaşmamızı sağlayacak< − b (≤ , > , ≥) ;
• Eşitsizliğin her iki tarafı da 0'a eşit olmayan bir sayıya bölünecektir. Ayrıca a pozitif olduğunda işaret kalır, a negatif olduğunda ise ters yönde değişir.

Örnekleri çözmek için bu algoritmanın uygulamasını ele alalım.

örnek 1

3 x + 12 ≤ 0 formundaki eşitsizliği çözün.

Çözüm

Bu doğrusal eşitsizlik a = 3 ve b = 12'ye sahiptir. Bu, x'in katsayısının sıfıra eşit olmadığı anlamına gelir. Yukarıdaki algoritmaları uygulayıp çözelim.

12. terimi eşitsizliğin başka bir kısmına taşıyıp önündeki işareti değiştirmek gerekiyor. Daha sonra 3 x ≤ − 12 formunda bir eşitsizlik elde ederiz. Her iki parçayı da 3'e bölmek gerekir. 3 pozitif bir sayı olduğu için işareti değişmeyecektir. (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3'ü elde ederiz, bu da x ≤ − 4 sonucunu verir.

x ≤ − 4 biçimindeki bir eşitsizlik eşdeğerdir. Yani 3 x + 12 ≤ 0'ın çözümü, 4'ten küçük veya ona eşit olan herhangi bir gerçek sayıdır. Cevap, x ≤ − 4 eşitsizliği veya (− ∞, − 4) biçiminde bir sayısal aralık olarak yazılır.

Yukarıda açıklanan algoritmanın tamamı şu şekilde yazılmıştır:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ - 12; x ≤ − 4 .

Cevap: x ≤ − 4 veya (− ∞ , − 4 ] .

Örnek 2

− 2, 7 · z > 0 eşitsizliğinin mevcut tüm çözümlerini belirtin.

Çözüm

Koşuldan z için a katsayısının - 2,7'ye eşit olduğunu ve b'nin açıkça bulunmadığını veya sıfıra eşit olduğunu görüyoruz. Algoritmanın ilk adımını kullanamazsınız, hemen ikinci adıma geçebilirsiniz.

Denklemin her iki tarafını da - 2, 7 sayısına bölüyoruz. Sayı negatif olduğundan eşitsizlik işaretini tersine çevirmek gerekir. Yani şunu elde ederiz: (− 2, 7 z) : (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Algoritmanın tamamını yazacağız. kısa form:

- 2, 7 z > 0; z< 0 .

Cevap: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Örnek 3

Eşitsizliği çözün - 5 x - 15 22 ≤ 0.

Çözüm

Koşula göre x değişkeni için - 5'e eşit olan a katsayısı ile - 15 22 kesrine karşılık gelen b katsayısı ile eşitsizliği çözmenin gerekli olduğunu görüyoruz. Eşitsizliği algoritmayı takip ederek çözmek gerekir, yani: - 15 22'yi zıt işaretli başka bir parçaya taşıyın, her iki parçayı da - 5'e bölün, eşitsizliğin işaretini değiştirin:

5 x ≤ 15 22; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Sağ tarafa son geçişte sayı bölme kuralı kullanılır. farklı işaretler 15 22: - 5 = - 15 22: 5, ardından bölme işlemini gerçekleştiriyoruz ortak kesir doğal sayıya - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .

Cevap: x ≥ - 3 22 ve [ - 3 22 + ∞) .

a = 0 olduğu durumu ele alalım. a x + b formunun doğrusal ifadesi< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Her şey eşitsizliğin çözümünü belirlemek üzerine kuruludur. Herhangi bir x değeri için b biçiminde sayısal bir eşitsizlik elde ederiz< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Tüm kararları 0 x + b doğrusal eşitsizliklerini çözmek için bir algoritma biçiminde ele alacağız.< 0 (≤ , > , ≥) :

Tanım 5

b formunun sayısal eşitsizliği< 0 (≤ , >, ≥) doğruysa, orijinal eşitsizliğin herhangi bir değer için bir çözümü vardır ve orijinal eşitsizliğin hiçbir çözümü yoksa yanlıştır.

Örnek 4

0 x + 7 > 0 eşitsizliğini çözün.

Çözüm

Bu doğrusal eşitsizlik 0 x + 7 > 0 herhangi bir x değerini alabilir. Daha sonra 7 > 0 formunda bir eşitsizlik elde ederiz. Son eşitsizlik doğru kabul edilir, bu da herhangi bir sayının onun çözümü olabileceği anlamına gelir.

Cevap: aralık (− ∞ , + ∞) .

Örnek 5

0 x − 12, 7 ≥ 0 eşitsizliğinin çözümünü bulun.

Çözüm

Herhangi bir sayının x değişkenini yerine koyarken eşitsizliğin - 12, 7 ≥ 0 formunu aldığını elde ederiz. Bu yanlış. Yani 0 x − 12, 7 ≥ 0'ın çözümü yoktur.

Cevap: hiçbir çözüm yok.

Her iki katsayının da sıfıra eşit olduğu doğrusal eşitsizlikleri çözmeyi düşünelim.

Örnek 6

0 x + 0 > 0 ve 0 x + 0 ≥ 0 arasındaki çözülemeyen eşitsizliği belirleyin.

Çözüm

X yerine herhangi bir sayıyı koyarken 0 > 0 ve 0 ≥ 0 formunda iki eşitsizlik elde ederiz. İlki yanlış. Bu, 0 x + 0 > 0'ın hiçbir çözümü olmadığı ve 0 x + 0 ≥ 0'ın sonsuz sayıda, yani herhangi bir sayıda çözümü olduğu anlamına gelir.

Cevap: 0 x + 0 > 0 eşitsizliğinin çözümü yoktur, ancak 0 x + 0 ≥ 0 eşitsizliğinin çözümleri vardır.

Bu yöntem okul matematik dersinde tartışılmaktadır. Aralık yöntemi çözüm yeteneğine sahiptir Farklı türde eşitsizlikler de doğrusaldır.

Aralık yöntemi, x katsayısının değeri 0'a eşit olmadığında doğrusal eşitsizlikler için kullanılır. Aksi takdirde farklı bir yöntem kullanarak hesaplama yapmak zorunda kalacaksınız.

Tanım 6

Aralık yöntemi:

• y = a · x + b fonksiyonunun tanıtılması;
• tanım alanını aralıklara bölmek için sıfırları aramak;
• Aralıklarla ilgili kavramlarının işaretlerinin tanımı.

a x + b doğrusal denklemlerini çözmek için bir algoritma oluşturalım< 0 (≤ , >, ≥) a ≠ 0 için aralık yöntemini kullanarak:

• a · x + b = 0 formundaki bir denklemi çözmek için y = a · x + b fonksiyonunun sıfırlarını bulma. Eğer a ≠ 0 ise çözüm tek bir kök olacaktır ve bu da x 0 gösterimini alacaktır;
• x 0 koordinatına sahip bir noktanın görüntüsü ile bir koordinat çizgisinin oluşturulması, katı bir eşitsizlikle nokta, delinmiş bir noktayla, katı olmayan bir eşitsizlikle - gölgeli bir noktayla gösterilir;
• aralıklarda y = a · x + b fonksiyonunun işaretlerinin belirlenmesi; bunun için aralıktaki noktalarda fonksiyonun değerlerini bulmak gerekir;
• Koordinat çizgisi üzerinde > veya ≥ işaretli bir eşitsizliği çözme, pozitif aralığın üzerine gölgeleme ekleme,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Aralık yöntemini kullanarak doğrusal eşitsizlikleri çözmenin birkaç örneğine bakalım.

Örnek 6

− 3 x + 12 > 0 eşitsizliğini çözün.

Çözüm

Algoritmaya göre ilk önce − 3 x + 12 = 0 denkleminin kökünü bulmanız gerekir. Bunu elde ederiz: − 3 · x = − 12, x = 4. 4. noktayı işaretlediğimiz yere bir koordinat çizgisi çizmek gerekiyor. Eşitsizlik katı olduğu için delinecek. Aşağıdaki çizimi düşünün.

Aralıklarla işaretleri belirlemek gerekir. Bunu (− ∞, 4) aralığında belirlemek için, x = 3'te y = − 3 x + 12 fonksiyonunu hesaplamak gerekir. Buradan − 3 3 + 12 = 3 > 0 sonucunu elde ederiz. Aralığın işareti pozitiftir.

İşareti (4, + ∞) aralığından belirleriz, ardından x = 5 değerini değiştiririz. Elimizde − 3 5 + 12 = − 3 var< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Eşitsizliği > işaretiyle çözüyoruz ve gölgeleme pozitif aralıkta yapılıyor. Aşağıdaki çizimi düşünün.

Çizimden istenen çözümün (− ∞ , 4) veya x biçiminde olduğu açıktır.< 4 .

Cevap: (− ∞ , 4) veya x< 4 .

Grafiksel olarak nasıl tasvir edileceğini anlamak için örnek olarak 4 doğrusal eşitsizliği dikkate almak gerekir: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 ve 0, 5 x - 1 ≥ 0. Çözümleri x'in değerleri olacak< 2 , x ≤ 2 , x >2 ve x ≥ 2. Bunu yapmak için aşağıda gösterilen y = 0, 5 x − 1 doğrusal fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Açık ki

Tanım 7

• 0, 5 x − 1 eşitsizliğinin çözümü< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• 0, 5 x − 1 ≤ 0 çözümü, y = 0, 5 x − 1 fonksiyonunun O x'ten küçük olduğu veya çakıştığı aralık olarak kabul edilir;
• 0, 5 · x − 1 > 0 çözümü bir aralık olarak kabul edilir, fonksiyon O x'in üzerinde yer alır;
• 0, 5 · x − 1 ≥ 0 çözümü, O x veya üzerindeki grafiğin çakıştığı aralık olarak kabul edilir.

Eşitsizlikleri grafiksel olarak çözmenin amacı, grafikte gösterilmesi gereken aralıkları bulmaktır. Bu durumda sol tarafta y = a · x + b, sağ tarafta ise y = 0 bulunur ve O x ile çakışır.

Tanım 8

y = a x + b fonksiyonunun grafiği çizilmiştir:

• a x + b eşitsizliğini çözerken< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• a · x + b ≤ 0 eşitsizliğini çözerken, grafiğin O x ekseninin altında gösterildiği veya çakıştığı yerde aralık belirlenir;
• a · x + b > 0 eşitsizliğini çözerken, grafiğin O x'in üzerinde gösterildiği yerde aralık belirlenir;
• a · x + b ≥ 0 eşitsizliğini çözerken, grafiğin O x'in üzerinde olduğu veya çakıştığı aralık belirlenir.

Örnek 7

- 5 · x - 3 > 0 eşitsizliğini bir grafik kullanarak çözün.

Çözüm

- 5 · x - 3 > 0 doğrusal fonksiyonunun bir grafiğini oluşturmak gerekir. Bu doğru azalıyor çünkü x'in katsayısı negatif. O x - 5 · x - 3 > 0 ile kesiştiği noktanın koordinatlarını belirlemek için - 3 5 değerini elde ederiz. Grafiksel olarak gösterelim.

Eşitsizliği > işaretiyle çözdükten sonra Ox'in üzerindeki aralığa dikkat etmeniz gerekir. Uçağın gerekli kısmını kırmızıyla işaretleyip şunu elde edelim.

Gerekli boşluk O x kırmızı kısmıdır. Bu, açık sayı ışın - ∞ , - 3 5'in eşitsizliğin çözümü olacağı anlamına gelir. Koşula göre katı olmayan bir eşitsizliğimiz olsaydı, o zaman - 3 5 noktasının değeri de eşitsizliğin çözümü olurdu. Ve Ox ile çakışacaktır.

Cevap: - ∞ , - 3 5 veya x< - 3 5 .

Grafiksel çözüm, sol taraf y = 0 x + b fonksiyonuna, yani y = b'ye karşılık geldiğinde kullanılır. O zaman düz çizgi Ox'e paralel olacak veya b = 0'da çakışacaktır. Bu durumlar eşitsizliğin hiçbir çözümü olmayabileceğini veya çözümün herhangi bir sayıda olabileceğini göstermektedir.

Örnek 8

0 x + 7 eşitsizliklerinden belirleyin< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Çözüm

y = 0 x + 7'nin gösterimi y = 7 ise O x'e paralel ve O x'in üzerinde yer alan bir doğruya sahip bir koordinat düzlemi verilecektir. Yani 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

y = 0 x + 0 fonksiyonunun grafiğinin y = 0 olduğu kabul edilir, yani düz çizgi O x ile çakışır. Bu, 0 x + 0 ≥ 0 eşitsizliğinin birçok çözümü olduğu anlamına gelir.

Cevap: İkinci eşitsizliğin herhangi bir x değeri için bir çözümü vardır.

Doğrusala indirgenen eşitsizlikler

Eşitsizliklerin çözümü çözüme indirgenebilir Doğrusal Denklem doğrusal hale gelen eşitsizlikler olarak adlandırılır.

Bu eşitsizlikler, eşitsizlikleri çözmenin özel bir durumu olduğundan, parantezlerin açılmasına ve benzer terimlerin azaltılmasına yol açtığı için okul dersinde dikkate alınmıştır. Örneğin, 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x olduğunu düşünün.

Yukarıda verilen eşitsizlikler her zaman doğrusal denklem formuna indirgenir. Daha sonra parantez açılarak benzer terimler verilir ve aktarılır. farklı parçalar, işareti tersine çevirerek.

5 − 2 x > 0 eşitsizliğini doğrusala indirgediğimizde, bunu − 2 x + 5 > 0 biçiminde olacak şekilde temsil ederiz ve ikinciyi azaltmak için 7 (x − 1) + 3 ≤ elde ederiz. 4 x − 2 + x . Parantezleri açıp benzer terimleri getirmek, tüm terimleri sola kaydırıp benzer terimleri getirmek gerekiyor. Şuna benziyor:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Bu, çözümü doğrusal bir eşitsizliğe götürür.

Bu eşitsizlikler aynı çözüm ilkesine sahip oldukları için doğrusal olarak kabul edilir ve daha sonra bunları temel eşitsizliklere indirgemek mümkündür.

Bu tür eşitsizliği çözmek için onu doğrusal bir eşitsizliğe indirgemek gerekir. Bu şekilde yapılmalıdır:

Tanım 9

• parantezleri açın;
• değişkenleri solda ve sayıları sağda toplayın;
• benzer terimler verin;
• her iki tarafı da x katsayısına bölün.

Örnek 9

5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 eşitsizliğini çözün.

Çözüm

Parantezleri açıyoruz ve 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1 formunda bir eşitsizlik elde ediyoruz. Benzer terimleri indirgedikten sonra 6 x + 15 ≤ 6 x − 17 elde ederiz. Terimleri soldan sağa taşıdığımızda 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0 olduğunu buluruz. Dolayısıyla 0 x + 32 ≤ 0 hesaplanarak elde edilen eşitsizlik 32 ≤ 0 şeklindedir. Eşitsizliğin yanlış olduğu görülebilir, bu da koşula göre verilen eşitsizliğin çözümünün olmadığı anlamına gelir.

Cevap: Çözüm yok.

Doğrusal veya yukarıda gösterilen türden eşitsizliklere indirgenebilecek başka birçok eşitsizlik türünün de bulunduğunu belirtmek gerekir. Örneğin, 5 2 x − 1 ≥ 1 2 x − 1 ≥ 0 doğrusal formunun çözümüne indirgenen üstel bir denklemdir. Bu tür eşitsizlikleri çözerken bu durumlar dikkate alınacaktır.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Ne oldu "İkinci dereceden eşitsizlik" mi? Hiç şüphe yok!) Eğer alırsanız herhangiİkinci dereceden denklem ve içindeki işareti değiştirin "=" (eşittir) herhangi bir eşitsizlik işaretine ( > ≥ < ≤ ≠ ), ikinci dereceden bir eşitsizlik elde ederiz. Örneğin:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Peki anlıyor musun...)

Denklemleri ve eşitsizlikleri buraya bağlamam boşuna değil. Mesele şu ki, çözümün ilk adımı herhangi ikinci dereceden eşitsizlik - Bu eşitsizliğin oluşturulduğu denklemi çözün. Bu nedenle ikinci dereceden denklemlerin çözülememesi, otomatik olarak eşitsizliklerin tamamen başarısız olmasına yol açmaktadır. İpucu açık mı?) Eğer varsa ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüleceğine bakın. Orada her şey ayrıntılı olarak anlatılıyor. Ve bu dersimizde eşitsizlikleri ele alacağız.

Çözüme hazır eşitsizlik şu şekildedir: solda ikinci dereceden bir üç terimli var balta 2 +bx+c, sağda - sıfır. Eşitsizlik işareti kesinlikle herhangi bir şey olabilir. İlk iki örnek burada zaten bir karar vermeye hazırız.Üçüncü örneğin hala hazırlanması gerekiyor.

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Makalede ele alacağız eşitsizlikleri çözmek. Size açıkça anlatacağız eşitsizliklere çözüm nasıl oluşturulur, net örneklerle!

Örnekler kullanarak eşitsizlikleri çözmeye bakmadan önce temel kavramları anlayalım.

Eşitsizlikler hakkında genel bilgi

Eşitsizlik fonksiyonların >, ilişki işaretleriyle bağlandığı bir ifadedir. Eşitsizlikler hem sayısal hem de gerçek olabilir.
Oranın iki işareti olan eşitsizliklere çift, üç - üçlü vb. Eşitsizlikler denir. Örneğin:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) > veya veya - işaretini içeren eşitsizlikler kesin değildir.
Eşitsizliği çözmek bu eşitsizliğin doğru olacağı değişkenin herhangi bir değeridir.
"Eşitsizliği çözün", tüm çözümlerin kümesini bulmamız gerektiği anlamına gelir. Farklı çözümler var eşitsizlikleri çözme yöntemleri. İçin eşitsizlik çözümleri Sonsuz olan sayı doğrusu kullanılır. Örneğin, eşitsizliğin çözümü x > 3, 3'ten +'ya kadar olan aralıktır ve 3 sayısı bu aralığa dahil değildir, dolayısıyla doğru üzerindeki nokta boş bir daire ile gösterilir, çünkü eşitsizlik katıdır.
+
Cevap şu olacaktır: x (3; +).
X=3 değeri çözüm kümesine dahil edilmediğinden parantez yuvarlaktır. Sonsuzluk işareti her zaman parantezle vurgulanır. İşaret "ait olma" anlamına gelir.
İşaretli başka bir örnek kullanarak eşitsizlikleri nasıl çözeceğimize bakalım:
x 2
-+
X=2 değeri çözüm kümesine dahil edilmiştir, dolayısıyla braket karedir ve çizgi üzerindeki nokta içi dolu bir daire ile gösterilir.
Cevap şu olacaktır: x)