Bir parçacığın momentumu. Güç anı

Sistemlerin davranışının analizi, enerji ve momentuma ek olarak, korunum yasasıyla da ilişkili başka bir mekanik niceliğin daha olduğunu göstermektedir - buna sözde denir açısal momentum. Açısal momentum, tork, açısal momentum veya basitçe momentum isimleri de kullanılır.

Bu miktar nedir ve özellikleri nelerdir?

İlk önce bir parçacık alalım. Bir noktaya göre konumunu karakterize eden bir yarıçap vektörü olsun Ö seçilen referans sisteminin ve bu sistemdeki momentumudur. Parçacığın açısal momentumu A noktaya göre Ö(Şekil 6.1), vektörlerin vektör çarpımına eşit bir vektör olarak adlandırılır ve:

Bu tanımdan bunun eksenel bir vektör olduğu sonucu çıkar. Yönü, nokta etrafında dönüş sağlanacak şekilde seçilir. Ö vektör yönünde sağ yönlü bir sistem oluştururlar. Vektör modülü eşittir

,

(6.2)

vektörler arasındaki açı nerede ve vektörün noktaya göre kolu HAKKINDA(Şekil 6.1).

Vektörün zamanındaki değişimini açıklayan bir denklem türetelim. O aradı moment denklemi. Bir sonuca varmak için, belirli bir vektördeki değişimden hangi mekanik miktarın sorumlu olduğunu bulmak gerekir.

referans sistemi. Denklemin (6.1) zamana göre türevini alalım:

noktadan beri Ö hareketsizse vektör parçacığın hızına eşittir, yani vektörle aynı yönde çakışır, dolayısıyla

Newton'un ikinci yasasını kullanarak parçacığa uygulanan tüm kuvvetlerin sonucunun nerede olduğunu buluruz. Buradan,

Bu denklemin sağ tarafındaki miktara denir. kuvvet anı noktaya göre HAKKINDA(Şekil 6.2). Bunu harfle belirterek yazıyoruz

Vektör, gibi ekseneldir. Bu vektörün modülü (6.2)'ye benzer şekilde şuna eşittir:

Bu denklem denir moment denklemi. Referans çerçevesi eylemsiz değilse, kuvvet momentinin hem etkileşim kuvvetlerinin momentini hem de aynı noktaya göre eylemsizlik kuvvetlerinin momentini içerdiğini unutmayın. Ö.

Moment denkleminden (6.5), özellikle, eğer o zaman . Başka bir deyişle, eğer seçilen referans çerçevesinin herhangi bir O noktasına göre parçacığa etki eden tüm kuvvetlerin momenti bizi ilgilendiren zaman periyodunda sıfıra eşitse, o zaman bu noktaya göre parçacığın açısal momentumu aynı kalır. bu süre zarfında sabit.

Örnek 1. Bazı A gezegenleri hareket etmektedir ve Güneş'in çekim alanı C'dir (Şekil 6.3). Belirli bir gezegenin açısal momentumu, güneş merkezli referans sisteminin hangi noktasına göre zaman içinde korunacaktır?

Bu soruyu cevaplamak için öncelikle A gezegenine hangi kuvvetlerin etki ettiğini tespit etmek gerekir. Bu durumda söz konusu olan yalnızca yerçekimi kuvvetidir.

Güneş'in yanından. Gezegen hareket ettiğinden bu kuvvetin yönü

Her zaman Güneş'in merkezinden geçerse, ikincisi kuvvet momentinin her zaman sıfıra eşit olduğu ve gezegenin açısal momentumunun sabit kalacağı noktadır. Gezegenin momentumu değişecek.

Örnek 2. Pürüzsüz bir yatay düzlem boyunca hareket eden A rondelası, pürüzsüz bir dikey duvardan elastik olarak sekmektedir (Şekil 6.4, üstten görünüm). Bu süreç boyunca diskin açısal momentumunun sabit kalacağı noktayı bulun.

Diske yerçekimi kuvveti, yatay düzlemden gelen tepki kuvveti ve ona çarpma anında duvardan gelen tepki kuvveti etki eder. İlk iki kuvvet birbirini dengeleyerek kuvvetten ayrılır. Momenti, vektörün etki çizgisi üzerinde bulunan herhangi bir noktaya göre sıfırdır; bu, bu noktalardan herhangi birine göre diskin açısal momentumunun bu süreçte sabit kalacağı anlamına gelir.

Örnek 3. Yatay, pürüzsüz bir düzlemde sabit bir dikey silindir ve silindire AB dişiyle bağlanan bir rondela A vardır (Şekil 6.5, üstten görünüm). Diske bu şekilde gösterildiği gibi bir başlangıç ​​hızı verildi. Burada diskin açısal momentumunun hareket ettikçe sabit kalacağı bir nokta var mı?

Bu durumda, A rondelasına etkiyen tek telafi edilmemiş kuvvet, iplikten kaynaklanan gerilim kuvvetidir. Hareket sürecindeki kuvvet momentinin her zaman sıfıra eşit olacağı bir noktanın olmadığını görmek kolaydır. Dolayısıyla diskin açısal momentumunun sabit kalacağı bir nokta yoktur. Bu örnek, parçacığın açısal momentumunun her zaman sabit kalacağı bir noktanın olmadığını göstermektedir.

Moment denklemi (6.5) iki soruyu cevaplamamızı sağlar:

1) bizi ilgilendiren O noktasına göre kuvvet momentini bulun herhangi t zamanı, eğer parçacığın açısal momentumunun aynı noktaya göre zamana bağımlılığı biliniyorsa;

2) aynı O noktasına göre bu parçacığa etki eden kuvvet momentinin zamana bağımlılığı biliniyorsa, herhangi bir zaman periyodunda bir parçacığın O noktasına göre açısal momentumundaki artışı belirleyin.

İlk sorunun çözümü, itme momentinin zamana göre türevini, yani (6.5)'e göre istenen kuvvet momentine eşit olan türevinin bulunmasına gelir.

İkinci sorunun çözümü denklemin (6.5) entegrasyonuna bağlıdır. Bu denklemin her iki tarafını dt ile çarparak, vektörün temel artışını belirleyen bir ifade elde ederiz. Bu ifadenin zaman içinde integralini alarak, vektörün sonlu bir t süresi boyunca artışını buluruz:

(6.6)

Bu denklemin sağ tarafındaki miktar dürtü denir kuvvet anı. Sonuç olarak şu ifade elde edildi: Bir parçacığın herhangi bir zaman periyodundaki açısal momentumundaki artış, kuvvetin aynı zamandaki açısal momentumuna eşittir. İki örneğe bakalım.

Örnek 1. Bir parçacığın belirli bir noktaya göre açısal momentumu yasaya göre t zamanı ile değişir. nerede ve bazı sabit karşılıklı dik vektörlerdir. A vektörleri arasındaki açı 45° olduğunda parçacığa etki eden kuvvetin momentini bulun.

(6.5)’e göre, onlar. vektör her zaman vektörle aynı yönde çakışır. Vektörleri ve belirli bir t anını gösterelim (Şekil 6.6). Bu şekilden, Dolayısıyla ve olduğu anda açının = 45° olduğu açıktır.

Örnek 2. Kütlesi t olan A taşı yatayla belirli bir açıyla fırlatıldı. Başlangıç ​​hızı. Hava direncini ihmal ederek, taşın açısal momentumunun fırlatma noktası O'ya göre zamana bağlılığını bulun (Şekil 6.7).

Dt zaman periyodunda taşın noktaya göre açısal momentumu

O bir artış alacak . Çünkü O Şu anda bu ifadeyi dikkate alarak entegre ederek aldık . Bu, vektörün yönünün hareket sırasında değişmeden kaldığını göstermektedir (vektör düzlemin ötesine yönlendirilmiştir, Şekil 6.7.

Şimdi açısal momentum ve kuvvetin eksene göre momenti kavramlarını ele alalım. Eylemsiz bir referans sisteminde keyfi bir sabit eksen seçelim. Eksen üzerindeki bir O noktasına göre A parçacığının açısal momentumu eşit olsun ve parçacığa etki eden kuvvetin momenti olsun.

Z eksenine göre açısal momentum, belirli bir eksenin rastgele bir O noktasına göre tanımlanan bir vektörün bu eksen üzerindeki izdüşümüdür (Şekil 6.8). Bir eksene göre kuvvet momenti kavramı da benzer şekilde tanıtılmıştır. Onların

Bu niceliklerin özelliklerini bulalım. (6.5)'i z eksenine yansıtarak şunu elde ederiz:

(6.7)

yani parçacığın z eksenine göre açısal momentumunun zamana göre türevi, kuvvetin bu eksene göre momentine eşittir. Özellikle eğer öyleyse . Başka bir deyişle, eğer kuvvetin sabit bir z eksenine göre momenti sıfıra eşitse, parçacığın bu eksene göre açısal momentumu sabit kalır. Bu durumda vektörün kendisi değişebilir.

Örnek: Bir ip üzerinde asılı duran m kütleli küçük bir cisim, yerçekiminin etkisi altında yatay bir daire içinde düzgün bir şekilde hareket eder (Şekil 6.9).O noktasına göre, cismin açısal momentumu - vektör - aynıdır. z ekseni ve diş ile düzlem. Bir cisim hareket ettiğinde, yerçekimi momentinin etkisi altındaki vektör sürekli olarak döner, yani değişir. Vektör dik olduğundan projeksiyon sabit kalır

Şimdi ve için analitik ifadeler bulalım. Bu problemin ve vektör çarpımlarının z ekseni üzerindeki izdüşümlerini bulmaktan kaynaklandığını görmek kolaydır.

Silindirik bir koordinat sistemi kullanalım ve karşılık gelen koordinatların artması yönünde yönlendirilen A parçacığı (Şekil 6.10) birim vektörleriyle ilişkilendirelim. Bu koordinat sisteminde parçacığın yarıçap vektörü ve momentumu şu şekilde yazılır:

vektörün karşılık gelen vektörlere izdüşümleri nerede? Vektör cebirinden bir vektör çarpımının temsil edilebileceği bilinmektedir.

belirleyici

Buradan parçacığın z eksenine göre açısal momentumunun

projeksiyon nerede açısal hız parçacığın yarıçap vektörünün döndüğü.

(6.8)'e benzer şekilde kuvvetin z eksenine göre momenti şöyle yazılır:

(6.10)

kuvvet vektörünün birim vektöre izdüşümü nerede

İzdüşümlerin gerçekte z ekseni üzerindeki ve vektörlerinin tanımlandığı O noktasının seçimine bağlı olmadığını belirtelim. Ek olarak, ve cebirsel büyüklükler olduğu, işaretlerinin izdüşümlerin işaretlerine karşılık geldiği açıktır ve .

Maddi bir noktanın dönme hareketinin dinamiği için temel denklem- Bir noktanın sabit bir eksen etrafındaki dönüşü sırasındaki açısal ivmesi torkla orantılı, eylemsizlik momentiyle ters orantılıdır.

M = E*J veya E = M/J

Ortaya çıkan ifadeyi Newton'un ikinci yasasıyla öteleme yasasıyla karşılaştırdığımızda, eylemsizlik momenti J'nin dönme hareketi yapan bir cismin eylemsizliğinin bir ölçüsü olduğunu görüyoruz. Kütle gibi miktar da katkılıdır.

Atalet momenti ince halka:

Atalet momenti

Atalet momentini hesaplamak için, bedeni zihinsel olarak, noktaları dönme ekseninden aynı uzaklıkta olduğu düşünülen yeterince küçük elemanlara bölmeli, ardından her elemanın kütlesinin çarpımını kareyle bulmalıyız. eksene olan uzaklığı ve son olarak ortaya çıkan tüm çarpımların toplamı. Açıkçası bu çok zaman alan bir iş. Saymak
Düzenli geometrik şekle sahip cisimlerin eylemsizlik momentleri, integral hesabı yöntemleri kullanılarak birçok durumda kullanılabilir.
Gövde elemanlarının sonlu eylemsizlik momentleri toplamının belirlenmesini, sonsuz küçük elemanlar için hesaplanan sonsuz sayıda eylemsizlik momentinin toplamını kullanarak değiştireceğiz:

lim ben = 1 ∞ ΣΔm ben r ben 2 = ∫r 2 dm. (saatte m → 0).

Homojen bir diskin veya yüksekliği olan katı bir silindirin eylemsizlik momentini hesaplayalım. H simetri eksenine göre

Diski, merkezleri simetri ekseninde olan eşmerkezli ince halkalar biçimindeki öğelere bölelim. Ortaya çıkan halkaların bir iç çapı vardır. R ve harici r+dr ve yükseklik H. Çünkü doktor<< r o zaman halkanın tüm noktalarının eksene olan mesafesinin eşit olduğunu varsayabiliriz. R.
Her bir halka için eylemsizlik momenti

ben = ΣΔmr 2 = r 2 ΣΔm,

Nerede ΣΔm- tüm halkanın kütlesi.
Zil sesi seviyesi 2πrhdr. Disk malzemesinin yoğunluğu ise ρ , o zaman halkanın kütlesi

ρ2πrhdr.

Halkanın eylemsizlik momenti

ben = 2πρsaat 3 dr.

ben = 2πρh 0 R ∫r 3 dr,

ben = (1/2)πρhR 4.

Ancak diskin kütlesi m = ρπhR2, buradan,

ben = (1/2)mR2.

Homojen malzemelerden yapılmış, düzenli geometrik şekle sahip bazı cisimler için eylemsizlik momentlerini (hesaplama yapmadan) sunalım.

 1. İnce bir halkanın, merkezinden düzlemine dik olarak geçen bir eksene (veya simetri eksenine göre ince duvarlı içi boş bir silindire) göre atalet momenti:

ben = mR2.

 2. Kalın duvarlı bir silindirin simetri eksenine göre atalet momenti:

ben = (1/2)m(R 1 2 − R 2 2)

Nerede R1- dahili ve R2- dış yarıçaplar.
 3. Diskin çaplarından biriyle çakışan bir eksene göre atalet momenti:

ben = (1/4)mR2.

 4. Katı bir silindirin generatrix'e dik ve ortasından geçen bir eksene göre atalet momenti:

ben = m(R2/4 + h2/12)

Nerede R- silindir tabanının yarıçapı, H- silindirin yüksekliği.
 5. İnce bir çubuğun ortasından geçen bir eksene göre atalet momenti:

ben = (1/12)ml2,

Nerede ben- Çubuğun uzunluğu.
 6. İnce bir çubuğun uçlarından birinden geçen bir eksene göre atalet momenti:

ben = (1/3)ml2

7. Çaplarından birine denk gelen bir eksene göre topun eylemsizlik momenti:

ben = (2/5)mR2.

Bir cismin kütle merkezinden geçen bir eksene göre eylemsizlik momenti biliniyorsa, birinciye paralel herhangi bir eksene göre eylemsizlik momenti Huygens-Steiner teoremi olarak adlandırılan temele dayanarak bulunabilir.
Vücudun eylemsizlik momenti BEN herhangi bir eksene göre vücudun eylemsizlik momentine eşittir Dır-dir Verilen eksene paralel olan ve cismin kütle merkezi artı cismin kütlesinden geçen bir eksene göre M uzaklığın karesiyle çarpılır ben eksenler arasında:

ben = ben c + ml 2.

Örnek olarak yarıçaplı bir topun eylemsizlik momentini hesaplayalım. R ve kütle M, askı noktasından geçen bir eksene göre l uzunluğunda bir iplik üzerinde asılıdır HAKKINDA. İpliğin kütlesi topun kütlesine kıyasla küçüktür. Topun kütle merkezinden geçen eksene göre eylemsizlik momentinden bu yana ic = (2/5)mR2 ve mesafe
eksenler arasında ( ben + R), daha sonra askı noktasından geçen eksene göre eylemsizlik momenti:

ben = (2/5)mR2 + m(l + R)2.

Atalet momentinin boyutu:

[I] = [m] × = ML 2.

Yorum yazmak için giriş yapın veya kayıt olun

Herhangi bir parçacık sisteminde dikkate değer bir nokta vardır İLE- eylemsizlik merkezi, veya kütle merkezi, - bir dizi ilginç ve önemli özelliğe sahip. Herhangi bir itici kuvvetin vektörü kutupsal bir vektör olduğundan, kütle merkezi sistemin momentum vektörünün uygulama noktasıdır. Nokta konumu İLE başlangıca göre HAKKINDA Belirli bir referans sisteminin, aşağıdaki formülle belirlenen bir yarıçap vektörü ile karakterize edilmesi:

Sistemin kütle merkezinin ağırlık merkeziyle çakıştığı unutulmamalıdır. Doğru, bu ifade yalnızca belirli bir sistemdeki yerçekimi alanının homojen kabul edilebildiği durumlarda doğrudur.

Bu referans çerçevesinde kütle merkezinin hızını bulalım. (4.8)’in zamana göre türevini alarak şunu elde ederiz:

onlar. sistemin momentumu sistemin kütlesi ile kütle merkezinin hızının çarpımına eşittir.

Kütle merkezinin hareket denklemini elde ederiz. Kütle merkezi kavramı, denklem (4.4)'e farklı bir form vermemizi sağlar ve bu genellikle daha uygun olur. Bunu yapmak için (4.10)'u (4.4)'te değiştirmek ve sistemin kütlesinin sabit bir miktar olduğunu hesaba katmak yeterlidir. Sonra alırız

,

(4.11)

sisteme etki eden tüm dış kuvvetlerin sonucu nerede? İşte bu kütle merkezinin hareket denklemi Sistemler mekaniğin en önemli denklemlerinden biridir. Bu denkleme göre, Herhangi bir parçacık sistemi hareket ettiğinde eylemsizlik merkezi sanki sistemin tüm kütlesi bu noktada yoğunlaşmış ve tüm dış kuvvetler ona uygulanmış gibi hareket eder., sistem üzerinde hareket eder. Bu durumda eylemsizlik merkezinin ivmesi dış kuvvetlerin uygulama noktalarından tamamen bağımsızdır.

Böylece, Sistemin kütle merkezi düzgün ve doğrusal olarak hareket ediyorsa bu, sistemin momentumunun korunduğu anlamına gelir hareket sürecinde. Tabii bunun tersi de geçerli.

Denklem (4.11). biçimi, maddi bir noktanın dinamiğinin temel denklemiyle örtüşür ve parçacıklardan oluşan bir sisteme doğal genellemesidir: bir bütün olarak sistemin ivmesi, tüm dış kuvvetlerin bileşkesiyle orantılıdır ve maddenin toplam kütlesiyle ters orantılıdır. sistem. Ataletsiz referans sistemlerinde tüm dış kuvvetlerin bileşkesinin hem çevredeki cisimlerle etkileşim kuvvetlerini hem de atalet kuvvetlerini içerdiğini hatırlayalım.

Sistemin kütle merkezinin hareketine ilişkin birkaç örneği ele alalım.

Örnek 1. Kütle merkezi kavramını kullanarak saldaki bir adamla (s. 90) problemi başka bir şekilde nasıl çözebileceğinizi gösterelim.

Suyun direnci ihmal edilebilir olduğundan insan-sal sistemine etki eden tüm dış kuvvetlerin bileşkesi sıfıra eşittir. Bu, bu sistemin atalet merkezinin konumunun, kişinin (ve salın) hareketi sırasında değişmeyeceği anlamına gelir;

.

nerede ve bunlar, kişinin ve salın kütle merkezlerinin kıyıdaki belirli bir noktaya göre konumlarını karakterize eden yarıçap vektörleridir. Bu eşitlikten vektörlerin artışları arasındaki bağlantıyı buluyoruz ve

Artışların kişinin ve salın kıyıya göre hareketlerini temsil ettiğini akılda tutarak salın hareketini buluruz:

Örnek 2. Bir adam kuleden suya atlıyor. Genel durumda bir atlama telinin hareketi çok karmaşıktır. Bununla birlikte, eğer hava direnci ihmal edilebilir düzeydeyse, o zaman atlayıcının eylemsizlik merkezinin, bir kişinin kütlesinin bulunduğu yerde sabit bir kuvvetin etki ettiği maddi bir nokta gibi bir parabol boyunca hareket ettiğini hemen söyleyebiliriz.

Örnek 3. Bir santrifüj makinesinin ekseninin ucuna bir diş ile bağlanan kapalı bir zincir, dikey bir eksen etrafında açısal hızla düzgün bir şekilde dönmektedir (Şekil 4.4). Bu durumda iplik bir açı oluşturur.

dikey. Zincirin eylemsizlik merkezi nasıl davranır?

Her şeyden önce, düzgün dönüşle zincirin atalet merkezinin dikey yönde hareket etmediği açıktır. Bu, iplik gerginliğinin T kuvvetinin dikey bileşeninin yerçekimi kuvvetini telafi ettiği anlamına gelir (Şekil 4.4, sağ). Germe kuvvetinin yatay bileşeninin büyüklüğü sabittir ve her zaman dönme eksenine doğru yönlendirilir.

Bundan, zincirin kütle merkezinin - C noktası - yatay bir daire boyunca hareket ettiği ve bunun yarıçapının formda yazılan formül (4.11) kullanılarak kolayca bulunabileceği sonucu çıkar.

zincirin kütlesi nerede. Bu durumda, C noktası her zaman Şekil 2'de gösterildiği gibi dönme ekseni ile diş arasında bulunur. 4.4.

Bir bütün olarak sistemin hareketiyle değil, yalnızca bir sistem içindeki parçacıkların göreceli hareketiyle ilgilendiğimiz, sıklıkla karşılaşılan durumlarda, kütle merkezinin hareketsiz olduğu bir referans sisteminin kullanılması en çok tavsiye edilir. . Bu, hem olgunun analizini hem de hesaplamaları önemli ölçüde basitleştirmeyi mümkün kılar.

Belirli bir parçacık sisteminin kütle merkezine sıkı bir şekilde bağlı olan ve eylemsiz sistemlere göre öteleme hareketi yapan bir referans çerçevesine denir. kütle merkezi sistemi veya kısaca C sistemi(sistemin tanımı Latince'deki merkezin ilk harfiyle ilişkilidir). Bu sistemin ayırt edici özelliği, içindeki parçacık sisteminin toplam momentumunun sıfır olmasıdır - bu doğrudan formül (4.10)'dan gelir. Başka bir deyişle, herhangi bir parçacık sistemi bir bütün olarak kendi içinde yer alır: C sistemi.

Kapalı bir parçacık sistemi için İLE- sistem eylemsizdir; açık bir sistem için genel durumda eylemsizdir.

Sistemin mekanik enerjisinin değerleri arasındaki bağlantıyı bulalım. k Ve İLE referans sistemleri. Sistemin kinetik enerjisiyle başlayalım. Parçacık hızı k-sistem hızların toplamı olarak temsil edilebilir; burada ve bu parçacığın hızı İLE-sistem ve kütle merkezi sisteminin hızına göre k-referans sistemleri sırasıyla. Daha sonra bunu yazabilirsiniz.

Bir parçacığın (maddi noktanın) O noktasına göre açısal momentumu şuna eşit bir vektör miktarıdır:

Parçacığın açısal momentumu O noktasına göre (maddi nokta) şuna eşit bir vektör miktarı denir:

L- eksenel vektör. Açısal momentum vektörü L'nin yönü, O noktası etrafında, O noktasından geçen bir eksen etrafında p vektörü yönünde dönme sağ vida kuralına uyacak şekilde belirlenir. r, p ve L vektörleri sağ yönlü bir sistem oluşturur. SI sisteminde açısal momentumun bir ölçü birimi vardır: [L]=1 kg m 2 /s.

Bir parçacığın O noktasına göre açısal momentumunu hesaplamaya ilişkin iki örneği ele alalım.

Örnek 1. Parçacık düz bir yörünge boyunca hareket eder, parçacığın kütlesi m, momentum p'dir. L ve ½ L1'i bulalım. Bir çizim yapalım.

formül (22.4.)'ten açısal momentum modülünün yalnızca hız modülündeki bir değişiklik nedeniyle değişebileceği sonucu çıkar, çünkü Düz bir yolda hareket ederken omuz ben sabit kalır.

Örnek 2. Kütlesi m olan bir parçacık R yarıçaplı bir çember üzerinde V hızıyla hareket ediyor. L ve ½ L½'yi bulalım. Bir çizim yapalım.

Şekil 22.3 R yarıçaplı bir daire içinde V hızıyla hareket eden bir parçacığın momentum vektörünün yönü.

(22 .5 )

(22 .6 )

Açısal momentum C noktasına göre dikkate alınır. Formül (22.6.)'dan açısal momentum modülünün yalnızca hız modülündeki bir değişiklik nedeniyle değişebileceği sonucu çıkar. p vektörünün yönündeki sürekli değişime rağmen, L vektörünün yönü sabit kalır.

Kapalı sistemlerde momentum ve enerjinin korunumunun yanı sıra başka bir fiziksel nicelik de korunur; açısal momentum. Öncelikle ve vektörlerinin vektör çarpımını ele alalım (Şekil 32).

Vektörlerin vektör çarpımı, modülü şuna eşit olan bir vektördür:

vektörler arasındaki açı nerede ve .

Vektörün yönü, eğer en kısa yol boyunca 'dan 'a doğru döndürülüyorsa, gimlet kuralıyla belirlenir.

Çapraz çarpımı belirlemek için bir ifade vardır:

1. Bir noktaya ve bir eksene göre kuvvetin momenti.

Öncelikle kuvvet momenti kavramını tanıtalım. Konumu 0 noktasının orijinine göre yarıçap vektörü kullanılarak belirlenen bir parçacığın üzerine bir kuvvet etki etsin (Şekil 33).

0 noktasına göre kuvvet momentine bir vektör büyüklüğü diyelim:

Bu durumda kuvvet momentinin vektörü çizim düzlemine dik olarak bize doğru yönlendirilir. Şekilden bu değer anlaşılmaktadır. Buna moment kolu diyelim. Bir kuvvetin moment kolu, 0 referans noktasından kuvvetin etki çizgisine kadar olan mesafedir.

0 noktasından geçen herhangi bir eksene göre kuvvet momenti, 0 noktasına göre kuvvet momenti vektörünün bu eksene izdüşümüdür.

2. Birkaç kuvvetin momenti. Birkaç kuvvetin momentinin özellikleri.

Aynı düz çizgi üzerinde etkiyen, büyüklükleri eşit, yönleri zıt olan iki paralel kuvveti ele alalım (Şekil 34). Bu tür kuvvetlere kuvvet çifti denir. Bu kuvvetlerin etkidiği düz çizgiler arasındaki mesafeye çiftin kolu denir.

Burada aşağıdaki gösterimler tanıtılmıştır:

Kuvvet uygulama noktasının yarıçap vektörü,

Kuvvet uygulama noktasının kuvvet uygulama noktasına göre yarıçap vektörü.

Bu kuvvet çiftinin toplam momentini şu şekilde tanımlarız:

Kuvvetler bir çift oluşturduğundan şu şekilde olur:

Birkaç kuvvetin momentinin, kuvvetlerin uygulanma noktalarının menşe seçimine bağlı olmadığı görülebilir.

3. Bir parçacığın eksene ve noktaya göre açısal momentumu.

Şimdi açısal momentum kavramına dönelim. Konumu 0 noktasının orijinine göre yarıçap vektörü kullanılarak belirlenen m kütleli bir parçacığın hızla hareket etmesine izin verin (Şekil 35).

Parçacığın 0 noktasına göre açısal momentumu diyeceğimiz bir vektörü tanıtalım. Bu niceliğe 0 noktasına göre açısal momentum kolu adını vereceğiz.

0 noktasından geçen eksene göre açısal momentum, noktaya göre açısal momentumun bu eksene izdüşümüdür.

1. Düz bir çizgi boyunca hareketi düşünün. h yüksekliğinde, kütlesi m olan bir uçak yatay olarak V hızıyla uçuyor (Şekil 36).

Uçağın 0 noktasına göre açısal momentumunu bulalım. Açısal momentum modülü, itme kuvveti ile kolunun çarpımına eşittir. Bu durumda momentum kolu h'ye eşittir. Buradan:

2. Bir daire içindeki hareketi düşünün. Kütlesi m olan bir parçacık, R yarıçaplı bir daire boyunca sabit bir V mutlak hızıyla hareket eder (Şekil 37). Parçacığın 0 çemberinin merkezine göre açısal momentumunu bulun.

Parçacığın momentumu M== рR=sabit.

4. Parçacık Momentlerinin Denklemi

Tanım gereği, bir parçacığın 0 noktasına göre açısal momentumu şuna eşittir:

Bu ifadenin sağ ve sol taraflarının zamana göre türevini bulalım:

Vektör çarpımı kuralına göre ilk terim sıfıra gider. Sonunda elimizde:

Bu ifadeye parçacık moment denklemi denir.

Açısal momentumun değişim hızı kuvvet momentine eşittir.

5. Parçacık sisteminin momentumu.
Bir parçacık sisteminin açısal momentumunun değişimi ve korunumu yasası.

Dış kuvvetlerin etkilediği, birbirleriyle etkileşime giren parçacıklardan oluşan bir sistemi düşünelim. Bu sistemin parçacıklarının uzaydaki konumunu, 0 referans noktasına göre yarıçap vektörlerini kullanarak ayarlayalım. Bu sistemin noktaya göre toplam açısal momentumunu yazalım:

Toplam andaki değişimi bulalım:

Bu denklem sistemini yazalım:

…………………………………..

Bu sistemin sol ve sağ taraflarını toplayalım ve sağdaki ilk terimdeki ikili toplamları ele alalım.

Newton'un üçüncü yasasına göre diğer tüm ikili toplamlar da yok olacaktır. Sonuç olarak, parçacıklar arasındaki tüm iç etkileşim kuvvetlerinin toplam momenti sıfıra eşittir. Sonra geriye:

Bir parçacık sisteminin açısal momentumu, dış kuvvetlerin açısal momentumunu değiştirir. Kapalı bir parçacık sistemi için açısal momentumun korunumu yasası sağlanır.

6. Parçacık sisteminin yörüngesel ve içsel açısal momentumu.

Konumu 0 referans noktasına göre yarıçap vektörleri kullanılarak belirlenen N parçacıktan oluşan bir sistemi ele alalım (Şekil 38).

Bu sistemin C kütle merkezinin konumu yarıçap vektörü kullanılarak belirlensin. Daha sonra i'inci parçacığın 0 orijinine göre konumu şu şekilde belirlenecektir:

Parçacık sisteminin 0 orijinine göre toplam açısal momentumunu yazalım:

İlk terime sistemin yörüngesel açısal momentumu adını vereceğiz:

İkinci terime sistemin kendi açısal momentumu adını vereceğiz:

Bu durumda sistemin 0 referans noktasına göre toplam açısal momentumu şu şekilde olur:

7. Merkezi kuvvet alanındaki hareket.

Merkezi bir kuvvet alanında hareket eden bir parçacığı düşünelim. Böyle bir alanda parçacığa etki eden kuvvetin yalnızca parçacığın orijine olan uzaklığa bağlı olduğunu hatırlayalım. Ayrıca kuvvet daima parçacığın yarıçap vektörü boyunca yönlendirilir.

Bu durumda merkezi kuvvetin momentinin sıfıra eşit olduğunu ve dolayısıyla açısal momentumun orijine göre korunumu yasasının karşılandığını anlamak kolaydır.

Parçacık yörüngesi her zaman kuvvet vektörlerinin ve yarıçap vektörünün bulunduğu düzlemde yer aldığından beri. Merkezi alanda parçacıklar düz yörüngeler boyunca hareket eder.

dt süresi boyunca parçacığın yarıçap vektörü dS alanını tanımlayacaktır (Şekil 39).

Bu alan, yarıçap vektörü ve temel yer değiştirme vektörü üzerine inşa edilen bir paralelkenarın alanının yarısına eşittir. Bilindiği gibi böyle bir paralelkenarın alanı vektör çarpımının modülüne eşittir. Böylece artık şunu yazabiliriz:

Miktara sektörel hız diyelim ve bunun için şu ifadeyi elde ederiz:

Çünkü merkezi alanda M =sabit, dolayısıyla sektörel hız sabit kalır.

Sonuç: Bir parçacık merkezi bir kuvvet alanında hareket ettiğinde, yarıçap vektörü eşit zaman dilimlerinde eşit alanları tanımlar.

Bu ifade Kepler'in ikinci yasasıdır.

8. İki cisim problemi.

Merkezi kuvvet alanındaki parçacık hareketi probleminin birçok uygulaması vardır. İki cismin hareketi problemini ele alalım. Yalnızca birbirleriyle etkileşen iki parçacığı ele alalım. Böyle bir sistemin kütle merkezinin nasıl davrandığını öğrenelim. Kapalı bir sistemin kütle merkezinin hareketine ilişkin teoremden, sistemin ya hareketsiz olduğu ya da doğrusal ve düzgün bir şekilde hareket ettiği sonucuna varabiliriz.

Kütle merkezleri sistemindeki iki cismin problemini çözeceğiz. Bilindiği gibi sistemin kütle merkezinin yarıçap vektörü aşağıdaki ifade kullanılarak belirlenir:

Böyle kapalı bir sistemin momentumunun korunumu yasasından şu sonuç çıkar:

İkinci parçacığın birinciye göre konumunu belirleyen bir yarıçap vektörü sunalım (Şekil 40):

Daha sonra parçacıkların ortak kütle merkezlerine göre konumunu belirleyen yarıçap vektörlerini göreceli konumlarının yarıçap vektörüne bağlamak için ifadeler elde edebiliriz:

Şimdi bu soruna enerji açısından bakalım. Parçacıkların kütle merkezlerine göre hızlarını ve ikinci parçacığın birinciye göre hızını - ile gösterelim. Daha sonra bir parçacık sisteminin momentumunun korunumu yasasından aşağıdaki ifadeleri elde edebiliriz:

Bu parçacık sisteminin toplam mekanik enerjisini yazalım:

Burada U(r 21) sistemin kendi potansiyel enerjisidir.

Bu ifade şu şekilde dönüştürülebilir:

aşağıdaki tanımlamanın yapıldığı yer - azaltılmış kütle.

Enerji açısından bakıldığında, bu parçacık sisteminin kütlesi azaltılmış ve bağıl hızla hareket eden tek bir parçacık gibi davrandığını görüyoruz. İki cisim problemi tek bir cismin hareketi problemine indirgenmiştir.

Bağımlılık biliniyorsa, o zaman asıl sorun çözülebilir, yani. bağımlılıkları bulun ve .

Merkezi alandaki parçacıkların her biri için hareket denklemini (Newton'un ikinci yasası) yazalım:

İkinci denklemin sağ tarafında eksi işareti var çünkü .

İlk denklemi m 1'e ve ikincisini m 2'ye bölerek şunu elde ederiz:

İlk denklemi ikinciden çıkarın:

En sonunda:

Buradan bağımlılığı bulabilirsiniz.

9.Yapay uyduların hareketi. Kozmik hızlar.

Dünyanın yapay bir uydusunun yüzeyine yakın hareketini ele alalım. Uyduya yalnızca tek bir kuvvet etki ettiğinden - Dünya'ya olan çekimsel çekim kuvvetinden dolayı, uydunun dairesel hareketinin denklemini yazabiliriz:

burada m uydunun kütlesidir, M Dünya'nın kütlesidir, Rz Dünya'nın yarıçapıdır.

Buradan uydu hızını alabilirsiniz:

Karşılık gelen değerleri değiştirerek V 1 = 8 km/s hızını elde ederiz.

Bu hıza denir ilk boşluk(Bir cismin Dünya'nın yüzeyine yakın bir uydusu haline gelmesi için ona verilmesi gereken hız).

Dairesel bir yörüngede hareket eden bir uydunun en basit durumunu düşündük. Bununla birlikte, teorinin gösterdiği gibi, iki cisim probleminde, bir parçacığın diğerine göre diğer hareket yörüngeleri (elipsler, hiperboller ve paraboller) mümkündür. Eliptik yörüngeler sistemin toplam mekanik enerjisinin negatif bir değerine, hiperbolik yörüngeler toplam mekanik enerjinin pozitif bir değerine, parabolik yörüngeler ise sıfıra eşit bir toplam mekanik enerji değerine karşılık gelir.

Hadi sözde bulalım kaçış hızı. Bu, cismin Güneş'in uydusu olabilmesi için vücuda verilmesi gereken hızdır ve cismin parabolik bir yörünge boyunca hareket etmesi gerekir.

Dünya'nın hareketsiz olduğunu düşünerek uydu-Dünya sisteminin toplam mekanik enerjisini yazalım:

Toplam mekanik enerjiyi sıfıra eşitleyerek ikinci kaçış hızını elde ederiz:

Karşılık gelen değerleri değiştirerek V 2 = 11,2 km/s elde ederiz.

KATI MEKANİKLER

VIII. Sert cisim kinematiği

1. Kesinlikle sağlam gövde. Katı bir cismin düzlemsel hareketi ve bunun öteleme ve dönmeye ayrıştırılması.

Şu ana kadar fiziksel model olarak maddi bir nokta kullandık ancak bu yaklaşımla tüm problemler çözülemez. Şimdi sözde değerlendirmeye geçelim. kesinlikle katı cisimler. Kesinlikle katı bir cisim, kendisini oluşturan parçacıklar arasındaki mesafenin değişmediği bir cisimdir. Yani bu kesinlikle deforme olmayan bir gövdedir.

Düşüneceğiz düz hareket hareket sırasında noktalarından herhangi birinin paralel düzlemlerden birinde kaldığı katı bir cisim. Düzlem harekette, katı bir cismin her noktasının yörüngesi aynı düzlemde bulunur ve tüm yörüngelerin düzlemleri ya çakışır ya da paraleldir.

Katı bir cismin herhangi bir karmaşık hareketi, daha basit hareketlerin toplamı olarak temsil edilebilir: öteleme ve dönme . Aşamalı rijit bir cismin herhangi iki noktasını birleştiren bir çizginin uzayda yönünü koruduğu hareketidir. İleriye doğru hareket, örneğin dönme dolaptaki bir kabinde olduğu gibi mutlaka doğrusal olmak zorunda değildir (Şekil 41).

Dönme katı bir cismin tüm noktalarının yörüngelerinin, merkezi dönme ekseni üzerinde bulunan eşmerkezli daireler olduğu bir harekettir. Bir masanın üzerinde yuvarlanan bir silindir, simetri ekseni etrafında hem öteleme hareketine hem de dönme hareketine maruz kalır.

Düzlem hareketinin öteleme ve dönmeye nasıl ayrıştırılabileceğini gösterelim (Şekil 42).

Şekilden, gövdenin 1. pozisyondan 2. pozisyona, önce öteleme pozisyonuna ve daha sonra eksen etrafında dönel olarak pozisyon 2'ye hareket ettirilebildiği görülmektedir. Öteleme ve dönme hareketine bu bölünme sonsuz sayıda yolla yapılabilir, ancak bu durumda dönüş her zaman aynı açıda gerçekleştirilir.

Böylece düzlemsel hareket, cismin tüm noktaları için aynı hızda öteleme ve aynı açısal hızla dönme olarak temsil edilebilir. Katı bir cismin noktalarının doğrusal hızları için bu şu şekilde yazılabilir:

Burada katı bir cisim üzerindeki herhangi bir noktanın yarıçap vektörü verilmiştir.

Örneğin, bir silindirin yatay bir yüzey üzerinde yuvarlanması (Şekil 43), V 0 hızıyla tüm noktaların öteleme hareketi ve simetri ekseni 0 ile çakışan bir eksen etrafında açısal hızla dönme hareketi olarak veya öteleme olarak temsil edilebilir. Hızla hareket ve aynı açısal hızda ancak eksen etrafında dönüş.

Katı bir cismin hareketi, anlık eksen adı verilen eksen etrafında yalnızca bir dizi dönüş olarak temsil edilebilir. Bu eksen katı gövdenin içinde yer alabileceği gibi dışında da olabilir. Anlık eksenin konumu zamanla değişir. Silindirin yuvarlanması durumunda anlık eksen, silindirin düzleme teğetlik çizgisiyle çakışır.

Şekilde tasvir edelim. 44 silindirin bazı noktalarının sabit bir referans çerçevesine göre anlık hızlarının yönü. A noktasının hızı zamanın her anında sıfıra eşittir, çünkü öteleme hızı ve eşit büyüklükte doğrusal hızdan oluşur. C noktasının hızı, hızın iki katına eşittir, vb.

Silindir üzerindeki herhangi bir noktanın sabit referans çerçevesine göre hızın nasıl yönlendirildiğini görelim. Bunu yapmak için, mutlak rijit bir cismin koşulunu iki keyfi nokta için aşağıdaki biçimde yazıyoruz:

Zaman içinde sağ ve sol tarafları ayıralım:

A noktasını anlık dönme ekseniyle ilişkilendirelim, o zaman ve . Bu nedenle elimizde:

Bu koşuldan karşılık gelen vektörlerin dik olduğu sonucu çıkar; .

Enerji ve momentumun yanı sıra bir fiziksel nicelik daha vardır. Korunum yasası açısal momentumla ilişkilidir. Bir parçacığın O noktasına göre açısal momentumu vektördür eşit
,-yarıçap; -nabız.

Onlar. dır-dir??? vektör. Yönü, O etrafında dönüş yönünde olacak şekilde seçilmiştir. ve vektör sağ el sistemi oluşturur. Modül
arasındaki açı Ve

omuz vektör O. ile ilgili

Vektördeki değişiklikle hangi miktarın ilişkili olduğunu bulalım zamanında:

.

T .hareketsiz olduğundan, parçacık hızına eşittir, yani ile çakışıyor yani
. Daha öte
- Newton'un ikinci yasası ve
; Büyüklük
- kuvvet eksenel vektörünün momenti.
,-omuz gücü T.O. ile ilgili

Yani buna göre türev açısal momentum Parçacığın seçilen referans çerçevesinin bir noktasına göre bileşke kuvvetin momentine eşittir bu noktaya göre
. Bu denkleme moment denklemi denir.

Referans sistemi eylemsiz değilse, o zaman kuvvet anında hem etkileşim kuvvetlerinin momentini hem de eylemsizlik kuvvetlerinin momentini (aynı noktaya göre) içerir. Şu an denkleminden şu sonuç çıkıyor:
, O
-düzgün dönme hareketi. Onlar. ilgimizi çeken periyotta referans sisteminin O noktasına göre tüm kuvvetlerin momenti O'ya eşitse
ise parçacığın bu noktaya göre açısal momentumu sabit kalır.

Moment denklemi bulmamızı sağlar
biliniyorsa herhangi bir zamanda O'ya göre noktalar
parçacıklar bir noktaya göre değişir. Bunu yapmak için denklemin türevini almak yeterlidir.
. Ayrıca bağımlılık biliniyorsa
, herhangi bir zaman periyodu için parçacığın TS'ye göre açısal momentumundaki artışı bulabilirsiniz. Bunu yapmak için denklemin entegre edilmesi gerekir.
, Daha sonra

İfade - benzer kuvvet momenti yani Herhangi bir zaman periyodunda bir parçacığın açısal momentumundaki artış, e başına açısal momentumun momentumuna eşittir.

o zaman.

4.3. Eksen etrafındaki itme momenti ve kuvvet momenti.

İÇİNDE İlgimizi çeken referans sisteminde keyfi bir sabit eksen alalım . Bazı TS eksenlerine göre olsun parçacığın açısal momentumu eşittir ve kuvvet anı
. Eksen etrafındaki momentum bu vektör eksenine izdüşümü denir , belirli bir eksenin rastgele bir O noktasına göre tanımlanır. Benzer şekilde eksene göre kuvvet momenti kavramı da tanıtılmıştır.
. Bir eksene göre moment denklemi
onlar. türevi nispeten eşittir
bu eksene göre. Özellikle ne zaman

. Onlar. eğer moment bir eksene göre ise 0'a eşitse, o zaman bu eksene göre sabit kalır. Bu durumda vektör değişiyor.

4.4. Bir sistemin açısal momentumunun korunumu yasası.

Yine kuvvetlerin etkisinde olan 2 parçacıktan oluşan bir sistem düşünelim. Ve . Momentum ilave bir miktardır. Bir sistem için bu, tek tek parçacıkların aynı noktaya göre açısal momentumlarının vektör toplamına eşittir.
.

Biz biliyoruz ki
Parçacığa etki eden tüm kuvvetlerin momenti ve sistemin momentindeki değişim
, Daha sonra
;
;

- parçacıklara etki eden tüm iç kuvvetlerin toplam momenti.

- parçacıklara etki eden tüm dış kuvvetlerin toplam momenti.

Yani iki parçacık için:

Herhangi bir noktaya göre iç kuvvetlerin toplam momenti 0'a eşittir. parçacıklar arasındaki etkileşim kuvvetleri
her biri 3 sen Newton yasası tek bir düz çizgide etki eder, bu da aynı omuza sahip oldukları anlamına gelir, dolayısıyla her bir iç kuvvet çiftinin momenti 0'a eşittir.

O.
; onlar. Sistemler dış kuvvetlerin etkisi altında değişir
. Eğer dış güçler yoksa
,
O halde, toplamsal olarak korunan bir miktardır. Onlar. Kapalı bir parçacık sisteminin açısal momentumu sabit kalır ve zamanla değişmez. Bu, eylemsizlik çerçevesindeki herhangi bir nokta için geçerlidir:
onlar. bireysel parçaların dürtü anları sistemin bir kısmının kaybı nedeniyle ortaya çıkması başka bir kısım (bir noktaya göre).

Kanun, eylemsizlik kuvvetleri de dahil olmak üzere tüm dış kuvvetlerin toplam momentinin sıfıra eşit olduğu durumlarda eylemsiz olmayan bir referans çerçevesinde de geçerlidir.

Z Yasa, momentum enerjisinin korunumu yasasıyla aynı rolü oynar. Çeşitli sorunları iç süreçleri ayrıntılı olarak ele almadan çözmenize olanak tanır. Örnek: hızlanıyor ????

İtme
;
onlar. olarak azalır . Bu etki jimnastikçiler, artistik patenciler vb. tarafından yaygın olarak kullanılmaktadır. burada etkileşim kuvvetleri vb. ile ilgileniyoruz. açık döngü sistemlerinde korunan kendisi olmayabilir ve bunun sabit bir eksene izdüşümü . Bu ne zaman olur
tüm dış güçler.

;
;

Fizikte açısal momentum kavramı, Newton yasalarının uygulanmadığı mekanik olmayan sistemlere (elektromanyetik radyasyonla, atomlarda, çekirdeklerde vb.) genişletilir. Burada açısal momentumun korunumu yasası artık Newton yasalarının bir sonucu değildir; bağımsız ilkesi deneysel gerçeklerin bir genellemesidir ve enerjinin ve momentumun korunumu yasalarıyla birlikte temel yasalardan biridir.