Ekstremne tačke funkcije na mreži. Ekstremum funkcije dvije varijable
Iz ovog članka čitatelj će saznati šta je ekstremum funkcionalne vrijednosti, kao i o značajkama njegove upotrebe u praktičnim aktivnostima. Proučavanje takvog koncepta izuzetno je važno za razumijevanje osnova više matematike. Ova tema je fundamentalna za dublje proučavanje predmeta.
U kontaktu sa
Šta je ekstrem?
U školskom kursu se daju mnoge definicije pojma „ekstremum“. Ovaj članak ima za cilj da pruži najdublje i najjasnije razumijevanje pojma za one koji ne poznaju ovo pitanje. Dakle, pojam označava koliko funkcionalni jaz poprima minimum ili maksimalna vrijednost na jednom ili drugom setu.
Ekstremum je istovremeno i minimalna vrijednost funkcije i maksimum. Postoji minimalna i maksimalna tačka, odnosno ekstremne vrijednosti argumenta na grafu. Glavne nauke koje koriste ovaj koncept su:
- statistika;
- upravljanje mašinama;
- ekonometrija.
Ekstremne tačke igraju važnu ulogu u određivanju redosleda date funkcije. Koordinatni sistem na grafu u u svom najboljem izdanju prikazuje promjenu ekstremnog položaja ovisno o promjeni funkcionalnosti.
Ekstremi funkcije derivacije
Postoji i takav fenomen kao "derivat". Potrebno je odrediti tačku ekstrema. Važno je ne brkati minimalne ili maksimalne bodove sa najvišim i najnižim vrijednostima. To su različiti koncepti, iako mogu izgledati slični.
Vrijednost funkcije je glavni faktor u određivanju kako pronaći maksimalnu tačku. Derivat se ne formira iz vrijednosti, već isključivo iz njegovog ekstremnog položaja u jednom ili drugom redu.
Sam derivat se određuje na osnovu ovih ekstremnih tačaka, a ne na osnovu najveće ili najmanje vrednosti. U ruskim školama granica između ova dva koncepta nije jasno povučena, što utiče na razumijevanje ove teme općenito.
Razmotrimo sada takav koncept kao "akutni ekstremum". Danas postoji akutna minimalna vrijednost i akutna maksimalna vrijednost. Definicija je data u skladu sa ruskom klasifikacijom kritičnih tačaka funkcije. Koncept tačke ekstrema je osnova za pronalaženje kritičnih tačaka na grafu.
Da bi definisali takav koncept, pribegavaju upotrebi Fermaove teoreme. Najvažnija je u proučavanju ekstremnih tačaka i daje jasnu predstavu o njihovom postojanju u ovom ili onom obliku. Da bi se osigurala ekstremnost, važno je stvoriti određene uvjete za smanjenje ili povećanje na grafikonu.
Da biste precizno odgovorili na pitanje "kako pronaći maksimalnu točku", morate slijediti ove smjernice:
- Pronalaženje tačne domene definicije na grafu.
- Traži derivaciju funkcije i tačku ekstrema.
- Riješite standardne nejednakosti za domenu u kojoj se nalazi argument.
- Znati dokazati u kojim funkcijama je tačka na grafu definirana i kontinuirana.
Pažnja! Traganje za kritičnom tačkom funkcije moguće je samo ako postoji derivacija najmanje drugog reda, što je osigurano visokim udjelom prisutnosti tačke ekstrema.
Neophodan uslov za ekstremum funkcije
Da bi postojao ekstrem, važno je da postoje i minimalne i maksimalne tačke. Ako se ovo pravilo poštuje samo djelimično, onda je uslov za postojanje ekstrema narušen.
Svaka funkcija u bilo kojoj poziciji mora biti diferencirana kako bi se identificirala njena nova značenja. Važno je shvatiti da slučaj kada tačka ide na nulu nije glavni princip za pronalaženje diferencijabilne tačke.
Akutni ekstrem, kao i minimum funkcije, izuzetno je važan aspekt rješavanja matematičkog problema korištenjem ekstremnih vrijednosti. Da biste bolje razumjeli ovu komponentu, važno je obratiti se na tablične vrijednosti za specifikaciju funkcionalnosti.
| Istraživanje punog značenja | Iscrtavanje grafa vrijednosti |
| 1. Određivanje tačaka rastućih i opadajućih vrijednosti. 2. Pronalaženje tačaka diskontinuiteta, ekstremuma i sjecišta s koordinatnim osa. 3. Proces određivanja promjena položaja na grafu. 4. Određivanje indikatora i smjera konveksnosti i konveksnosti, uzimajući u obzir prisustvo asimptota. 5. Izrada zbirne tabele istraživanja sa stanovišta određivanja njenih koordinata. 6. Pronalaženje intervala povećanja i smanjenja ekstremnih i oštrih tačaka. 7. Određivanje konveksnosti i konkavnosti krive. 8. Iscrtavanje grafikona uzimajući u obzir istraživanje omogućava vam da pronađete minimum ili maksimum. |
Glavni element kada je potrebno raditi sa ekstremnim tačkama je tačna konstrukcija njegovog grafikona. Školski nastavnici često ne obraćaju maksimalnu pažnju na tako važan aspekt, koji predstavlja grubo kršenje obrazovnog procesa. Konstrukcija grafikona se dešava samo na osnovu rezultata proučavanja funkcionalnih podataka, identifikovanja akutnih ekstrema, kao i tačaka na grafu. Oštri ekstremi funkcije derivacije se prikazuju na dijagramu tačnih vrijednosti, koristeći standardna procedura određivanje asimptota. Maksimalne i minimalne tačke funkcije su praćene sa više složene konstrukcije grafike. To je zbog dublje potrebe za rješavanjem problema akutnog ekstremuma. Također je potrebno pronaći derivaciju složene i jednostavne funkcije, jer je to jedan od najvažnijih pojmova u problemu ekstremuma. |
Ekstremum funkcionalnog
Da biste pronašli gornju vrijednost, morate se pridržavati sljedećih pravila:
- odrediti neophodan uslov za ekstremnu relaciju;
- uzeti u obzir dovoljan uslov ekstremnih tačaka na grafu;
- izvršiti proračun akutnog ekstremuma.
Koriste se i koncepti kao što su slab minimum i jak minimum. Ovo se mora uzeti u obzir prilikom određivanja ekstrema i njegovog tačnog izračuna. Istovremeno, akutna funkcionalnost je traženje i stvaranje svih potrebnih uslova za rad sa grafom funkcije.
Definicija 1. Tačka M(x 0 ; y 0) naziva se maksimalna (minimalna) tačka funkcije z = f(x; y) ako postoji okolina tačke M takva da za sve tačke (x; y) iz ove susjedstvu vrijedi sljedeća nejednakost:
f(x 0 ; y 0) f(x; y), .
Teorema 1
(neophodan uslov za postojanje ekstremuma)
. Ako diferencijabilna funkcija z = f(x; y) dostigne ekstrem u tački M(x 0 ; y 0), tada su njeni parcijalni izvodi prvog reda u ovoj tački jednaki nuli, tj. 
;
Pozivaju se tačke u kojima su parcijalne derivacije jednake nuli stacionarno ili kritične tačke.
Teorema 2 (dovoljan uslov za postojanje ekstremuma)
Neka funkcija z = f(x; y):
a) definisano u određenoj okolini tačke (x 0 ; y 0), u kojoj 
I 
;
b) ima kontinuirane parcijalne izvode drugog reda u ovoj tački
;
Tada, ako je = AC B 2 > 0, tada u tački (x 0 ; y 0) funkcija z = f(x; y) ima ekstrem, a ako A< 0 (или С < 0) – максимум, если А >0 (ili C > 0) – minimum. U slučaju = AC B 2< 0, функция z = f(x; y) экстремума не имеет. Если = AC B 2 = 0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).
Primjer 1. Naći ekstremu funkcije z = x 2 + xy + y 2 3x 6y.
Rješenje. Nađimo parcijalne izvode prvog reda:
Koristimo neophodan uslov za postojanje ekstremuma:
Rješavajući sistem jednačina, nalazimo x i y koordinate stacionarnih tačaka: x = 0; y = 3, tj. M(0; 3).
Izračunajmo parcijalne izvode drugog reda i pronađemo njihove vrijednosti u tački M.
A = 
= 2; C = 
= 2;
B = 
.
Napravimo diskriminanta = AC B 2 = 2 2 1 > 0, A = 2 > 0. Dakle, u tački M(0; 3) data funkcija ima minimum. Vrijednost funkcije u ovoj tački je z min = 9.
Pronađite ekstreme funkcija
322. z = x 2 + y 2 + xy 4x 5y 323. z = y 3 x 3 3xy
324. z = x 2 2xy + 4y 3 325. z = 
y 2 x + 6y
326. z = x y (1 x y) 327. z = 2xy 4x 2y
328. z = e x/2 (x + y 2) 329. z = x 3 + 8y 3 6xy + 1
330. z = 3x 2 y x 3 y 4 331. z = 3x + 6y x 2 xy + y 2
Najveća i najmanja vrijednost funkcije dvije varijable u zatvorenoj domeni
Da biste pronašli najveći I najmanje vrijednosti funkcije u zatvorenom području, trebate:
1) pronaći kritične tačke koje se nalaze u datoj oblasti i izračunati vrednosti funkcije u tim tačkama;
2) pronaći kritične tačke na granici oblasti i izračunati najveću i najmanju vrednost funkcija na njima;
3) od svih pronađenih vrednosti izaberite najveću i najmanju.
Primjer 2. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije z = 
u krugu x 2 + y 2 1.
Rješenje. Nađimo koordinate kritičnih tačaka koje se nalaze unutar regije koja se razmatra, za koje izračunavamo parcijalne izvode funkcije z prvog reda i izjednačavamo ih sa nulom.
odakle je x = 0, y = 0 i, prema tome, M(0; 0) je kritična tačka.
Izračunajmo vrijednost funkcije z u tački M(0; 0): z(0; 0) = 2.
Nađimo kritične tačke na granici regiona - kružnice definisane jednadžbom x 2 + y 2 = 1. Zamenivši y 2 = 1 - x 2 u funkciju z = z(x; y), dobijamo funkciju jedne varijable
z = 
;
gdje je x[1; 1].
Nakon izračunavanja derivata 
i izjednačavajući ga sa nulom, dobijamo kritične tačke na granici oblasti x 1 = 0, x 2 = 
, x 3 = 
Nađimo vrijednost funkcije z(x) = 
na kritičnim tačkama i na krajevima segmenta [1; 1]: z(0) = ; 
=;
; z(1) = ; z(1) = 
Odaberimo najveću i najmanju među vrijednostima funkcije z u kritičnim točkama koje se nalaze unutar i na granici kruga.
Dakle, z max. = z(0; 0) = 2
U problemima optimizacije postoji potreba za pronalaženjem ekstrema funkcije dvije ili više varijabli pod uslovom da postoji odnos između varijabli ovog odnosa, datog jednačinom 
. U ovom slučaju kažemo da moramo pronaći uslovni ekstrem
.
Da biste pronašli uslovni ekstrem, morate ga pronaći parcijalni derivati i odluči sistemi jednačina Postoji algoritam za pronalaženje uslovnog ekstremuma u tri koraka, koji ćemo sada analizirati na primeru, i geometrijsko značenje uslovnog ekstremuma, koje bi trebalo da dopre do svakoga kada analiziramo upravo ovaj primer.
Dakle, analizirat ćemo algoritam na primjeru najčešćeg problema - pronalaženje uslovnog ekstremuma funkcije dvije varijable. .
Korak 1. Uvedeno Lagrangeova funkcija
gdje je prvi član sama originalna funkcija, a drugi član sa predznakom minus je lijeva strana jednadžbe uvjeta veze, pomnožena sa (lambda) - Lagrangeovim množiteljem.
Primjer 1. Nađi uslovni ekstremi funkcija dvije varijable koje izražavaju površinu pravokutnika u smislu njegovih stranica x I y pod uslovom da postoji uže koje može vezati ovaj pravougaonik, a dužina ovog užeta je 100.
Korak 1. Rješenje. Dovedemo jednadžbu uslova veze u traženi oblik sa nulom na desnoj strani:
.
Hajde da komponujemo Lagrangeova funkcija:
Korak 2. Od jednačina sastavljamo sistem jednačina parcijalni derivati nula i jednadžba uslova veze (neophodan znak postojanja uslovnog ekstremuma):
Rješenja ovog sistema jednačina su tačke mogućeg uslovnog ekstrema - stacionarne tačke ili, kako još kažu, kritične tačke.
Primjer 1. Korak 2.
Rješenje.
x I y :
Zamijenimo ove izraze u treću jednačinu i pronađemo vrijednost Lagrangeovog množitelja:
x I y i pronađite vrijednosti varijabli originalne funkcije:
Primili smo i. Ove vrijednosti su ujedno i koordinate stacionarne tačke. Tako smo dobili stacionarnu tačku.
Korak 3. Neka je stacionarna tačka pronađena u koraku 2. Da biste utvrdili da li je uslovni ekstrem minimalan ili maksimum, morate pronaći drugi diferencijal Lagrangeove funkcije
i u rezultirajućem izrazu zamijenite umjesto "lambda" njegove vrijednosti (vrijednosti Lagrangeovog množitelja) pronađene u koraku 2.
Ako je vrijednost drugog diferencijala Lagrangeove funkcije manja od nule (), tada je stacionarna tačka maksimalna tačka; ako je veća od nule (), tada je stacionarna tačka minimalna tačka. Ako je vrijednost drugog diferencijala Lagrangeove funkcije jednaka nuli, tada su potrebna dodatna istraživanja, ali takvi slučajevi se praktički ne susreću u problemima koji se zadaju studentima.
Koordinate stacionarnih tačaka se zamenjuju u početnu tačku i tako konačno nalazimo uslovni ekstremi (ili minimum i maksimum ili jedan od ovih ekstrema).
Primjer 1. Korak 3.
Rješenje. Nađimo drugi diferencijal Lagrangeove funkcije:
U našem slučaju, budući da su prva i treća komponenta jednake nuli, ne moramo u njih zamijeniti vrijednosti Lagrangeovog množitelja. Ali morate pronaći odnos između razlika dx I dy :
Budući da su dobijene vrijednosti suprotne po predznaku, nalazimo da je u svakom slučaju .
Sada možemo pronaći vrijednost uslovni ekstrem originalne funkcije, što je maksimum:
.
Ovo je maksimalna površina pravokutnika specificirana originalnom funkcijom, koja se može ograničiti užetom čija je dužina 100.
Primjer 2. Nađi uslovni ekstremi
Korak 1. Hajde da komponujemo Lagrangeova funkcija:
Korak 2. Nađimo parcijalne izvode Lagrangeove funkcije i sačinimo sistem jednačina od njihovih jednakosti na nulu i jednadžbu uvjeta veze:
Iz prve i druge jednačine izražavamo redom x I y :
Zamijenimo ove izraze u treću jednačinu i pronađemo vrijednosti Lagrangeovog množitelja:
Zamijenimo sada vrijednost Lagrangeovog množitelja u izraze za x I y i pronađite vrijednosti varijabli originalne funkcije za dvije vrijednosti Lagrangeovog množitelja:
Ove x i y vrijednosti su koordinate dvije stacionarne tačke. Tako smo dobili stacionarne tačke 
.
Korak 3. Nađimo parcijalne izvode Lagrangeove funkcije drugog reda:
Nađimo drugi diferencijal Lagrangeove funkcije koristeći formulu
:
Dobili smo vrijednost manju od nule, dakle, poen - bod uslovni maksimum:
.
Uspostavimo predznak drugog diferencijala Lagrangeove funkcije na vrijednosti Lagrangeovog množitelja:
Dobili smo vrijednost veću od nule, dakle, tačka - bod uslovni minimum:
.
dakle, uslovni ekstremi date funkcije su pronađene.
Primjer 3. Nađi uslovni ekstremi funkcije dvije varijable koje podliježu .
Korak 1. Hajde da komponujemo Lagrangeova funkcija:
Korak 2. Nađimo parcijalne izvode Lagrangeove funkcije i sačinimo sistem jednačina od njihovih jednakosti na nulu i jednadžbu uvjeta veze:
Iz prve i druge jednačine izražavamo redom x I y :
Otkrivamo da, međutim, zamjena ovih vrijednosti varijabli u treću jednačinu sistema ne daje tačnu jednakost. Stoga vjerujemo da je zapravo drugi faktor jednakosti jednak nuli: . Odavde dobijamo
Tražimo koordinate stacionarnih tačaka na vrijednosti Lagrangeovog množitelja. Tada iz izraza za X i Y iz sistema jednačina slijedi da je . Iz treće jednačine sistema dobijamo.
Važan koncept u matematici je funkcija. Uz njegovu pomoć, možete vizualno zamisliti mnoge procese koji se događaju u prirodi i odražavati odnos između određenih veličina pomoću formula, tablica i slika na grafikonu. Primjer je ovisnost tlaka sloja tekućine na tijelu o dubini uranjanja, ubrzanja - o djelovanju određene sile na predmet, povećanja temperature - o prenesenoj energiji i mnogim drugim procesima. Proučavanje funkcije uključuje konstruiranje grafa, pronalaženje njenih svojstava, domena definicije i vrijednosti, intervala povećanja i smanjenja. Važna tačka u ovaj proces je pronaći ekstremne tačke. Dalje ćemo razgovarati o tome kako to ispravno učiniti.
O samom konceptu na konkretnom primjeru
U medicini, crtanje grafa funkcije može nam reći o napredovanju bolesti u tijelu pacijenta, jasno odražavajući njegovo stanje. Pretpostavimo da OX os predstavlja vrijeme u danima, a OU osa predstavlja temperaturu ljudskog tijela. Slika jasno pokazuje kako ovaj indikator naglo raste, a zatim pada. Također je lako uočiti posebne točke koje odražavaju trenutke kada funkcija, koja se prethodno povećavala, počinje opadati i obrnuto. To su ekstremne točke, odnosno kritične vrijednosti (maksimalne i minimalne) u ovom slučaju temperature pacijenta, nakon čega dolazi do promjena u njegovom stanju.
Ugao nagiba
Na slici možete lako odrediti kako se derivacija funkcije mijenja. Ako se ravne linije grafikona povećavaju tokom vremena, onda je pozitivan. I što su strmiji, to je veća vrijednost derivacije, kako se ugao nagiba povećava. Tokom perioda opadanja, ova vrijednost poprima negativne vrijednosti, okrećući se na nulu u tačkama ekstrema, a grafik derivacije u posljednjem slučaju se povlači paralelno sa OX osom.
Svaki drugi proces treba tretirati na isti način. Ali najbolji način da se kaže o ovom konceptu je kretanje različitih tijela, jasno prikazano na grafikonima.
Pokret
Pretpostavimo da se objekt kreće pravolinijski, ravnomjerno povećavajući brzinu. Tokom ovog perioda, promena koordinata tela je grafički predstavljena određenom krivom, koju bi matematičar nazvao granom parabole. Istovremeno, funkcija se stalno povećava, jer se koordinatni indikatori mijenjaju sve brže i brže svake sekunde. Grafikon brzine pokazuje ponašanje derivacije, čija se vrijednost također povećava. To znači da pokret nema kritične tačke.
Ovo bi se nastavilo u nedogled. Ali šta ako tijelo iznenada odluči da uspori, stane i počne se kretati u drugom smjeru? U ovom slučaju, koordinatni indikatori će se početi smanjivati. A funkcija će proći kritičnu vrijednost i iz povećanja se pretvoriti u opadajuću.
Koristeći ovaj primjer, opet možete razumjeti da se tačke ekstrema na grafu funkcije pojavljuju u trenucima kada ona prestane biti monotona.
Fizičko značenje izvedenice
Ono što je ranije opisano jasno je pokazalo da je derivacija u suštini stopa promjene funkcije. Ovo pojašnjenje sadrži svoje fizičko značenje. Ekstremne tačke su kritične oblasti na grafikonu. Mogu se identifikovati i detektovati izračunavanjem vrednosti derivata, za koju se ispostavi da je jednaka nuli.
Postoji još jedan znak koji je dovoljan uslov za ekstrem. Izvod u takvim tačkama pregiba menja svoj predznak: od “+” do “-” u maksimalnoj oblasti i od “-” do “+” u minimalnoj oblasti.
Kretanje pod uticajem gravitacije
Zamislimo drugu situaciju. Djeca su, igrajući se loptom, bacila na takav način da je počela da se kreće pod uglom prema horizontu. U početnom trenutku brzina ovog objekta je bila najveća, ali je pod uticajem gravitacije počela da opada, i to sa svakom sekundom za isti iznos, otprilike 9,8 m/s 2 . Ovo je vrijednost ubrzanja koje nastaje pod utjecajem zemljine gravitacije pri slobodnom padu. Na Mesecu bi bio oko šest puta manji.
Grafikon koji opisuje kretanje tijela je parabola s granama usmjerenim prema dolje. Kako pronaći ekstremne tačke? U ovom slučaju, ovo je vrh funkcije, gdje brzina tijela (loptice) uzima nultu vrijednost. Izvod funkcije postaje nula. U tom slučaju se smjer, a time i vrijednost brzine, mijenja u suprotno. Tijelo svake sekunde leti sve brže, a ubrzava za istu količinu - 9,8 m/s 2 .
Drugi derivat
U prethodnom slučaju, graf modula brzine je nacrtan kao prava linija. Ova linija je u početku usmjerena prema dolje, jer se vrijednost ove vrijednosti stalno smanjuje. Kada u jednom trenutku dosegnu nulu, indikatori ove vrijednosti počinju rasti, a smjer grafičkog prikaza modula brzine se dramatično mijenja. Linija je sada usmjerena prema gore.
Brzina, kao derivacija koordinate u odnosu na vrijeme, također ima kritičnu tačku. U ovoj regiji, funkcija, koja se u početku smanjuje, počinje rasti. Ovo je lokacija tačke ekstrema derivacije funkcije. U tom slučaju, kut nagiba tangente postaje nula. A ubrzanje, kao drugi izvod koordinate u odnosu na vrijeme, mijenja predznak iz “-” u “+”. A kretanje od ravnomjerno sporog postaje ravnomjerno ubrzano.
Grafikon ubrzanja
Pogledajmo sada četiri slike. Svaki od njih prikazuje graf promjena tijekom vremena u takvoj fizičkoj veličini kao što je ubrzanje. U slučaju “A” njegova vrijednost ostaje pozitivna i konstantna. To znači da se brzina tijela, kao i njegova koordinata, stalno povećava. Ako zamislimo da će se objekt kretati na ovaj način beskonačno dugo, ispostavit će se da se funkcija koja odražava ovisnost koordinate o vremenu stalno povećava. Iz ovoga proizilazi da nema kritičnih područja. Na grafu derivacije također nema ekstremnih tačaka, odnosno linearno promjenjive brzine.
Isto važi i za slučaj „B“ sa pozitivnim i stalno rastućim ubrzanjem. Istina, grafovi za koordinate i brzinu ovdje će biti nešto složeniji.
Kada ubrzanje padne na nulu
Gledajući figuru „B“, može se uočiti potpuno drugačija slika koja karakteriše kretanje tijela. Njegova brzina će biti grafički predstavljena parabolom sa granama usmjerenim prema dolje. Ako nastavimo linijom koja opisuje promjenu ubrzanja sve dok se ne siječe s osom OX i dalje, možemo zamisliti da će do ove kritične vrijednosti, gdje se ispostavi da je ubrzanje nula, brzina objekta sve sporije rasti. . Ekstremna točka derivacije koordinatne funkcije bit će točno na vrhu parabole, nakon čega će tijelo radikalno promijeniti prirodu svog kretanja i početi se kretati u drugom smjeru.
U posljednjem slučaju, „G“, priroda kretanja se ne može točno odrediti. Ovdje samo znamo da nema ubrzanja za neki period koji se razmatra. To znači da objekt može ostati na mjestu ili se kretati konstantnom brzinom.
Problem sa sabiranjem koordinata
Prijeđimo na zadatke koji se često susreću prilikom učenja algebre u školi i koji se nude za pripremu za Jedinstveni državni ispit. Slika ispod prikazuje graf funkcije. Potrebno je izračunati zbir bodova ekstrema.
Učinimo to za ordinatnu osu određivanjem koordinata kritičnih područja u kojima se uočava promjena karakteristika funkcije. Jednostavno rečeno, naći ćemo vrijednosti duž OX ose za tačke pregiba, a zatim nastaviti sa sabiranjem rezultirajućih pojmova. Prema grafikonu, vidljivo je da imaju sljedeće vrijednosti: -8; -7 ; -5; -3; -2; 1; 3. Ovo daje -21, što je odgovor.
Optimalno rješenje
Nema potrebe objašnjavati koliko bi to moglo biti važno za implementaciju praktični zadaci odabir optimalnog rješenja. Na kraju krajeva, postoji mnogo načina da se postigne cilj, ali najbolji izlaz, u pravilu, je samo jedan. To je izuzetno neophodno, na primjer, prilikom projektovanja brodova, svemirskih brodova i aviona, te arhitektonskih objekata kako bi se pronašao optimalan oblik ovih objekata koje je napravio čovjek.
Brzina vozila u velikoj mjeri ovisi o pravilnom minimiziranju otpora koji doživljavaju pri kretanju kroz vodu i zrak, o preopterećenjima koja nastaju pod utjecajem gravitacijskih sila i mnogim drugim pokazateljima. Brod na moru zahtijeva takve kvalitete kao što je stabilnost tokom oluje; za riječni brod je važan minimalni gaz. Prilikom izračunavanja optimalnog dizajna, tačke ekstrema na grafikonu mogu jasno dati predstavu o tome najbolje rješenje složen problem. Problemi ove vrste se često rješavaju u ekonomiji, u poslovnim područjima i u mnogim drugim životnim situacijama.
Iz antičke istorije
Čak su i drevni mudraci bili zaokupljeni ekstremnim problemima. Grčki naučnici uspješno su razotkrili misteriju površina i volumena kroz matematičke proračune. Oni su prvi shvatili da na ravni različitih figura koje imaju isti perimetar, krug uvijek ima najveću površinu. Slično tome, lopta je obdarena maksimalnom zapreminom među ostalim objektima u prostoru sa istom površinom. Takve poznate ličnosti poput Arhimeda, Euklida, Aristotela, Apolonija posvetile su se rješavanju takvih problema. Heron je bio odličan u pronalaženju ekstremnih tačaka i, koristeći proračune, napravio je genijalne uređaje. To su uključivale mašine koje se kreću parom, pumpe i turbine koje rade na istom principu.
Izgradnja Kartage
Postoji legenda čija se radnja zasniva na rješavanju jednog od ekstremnih problema. Rezultat poslovnog pristupa koji je pokazala feničanska princeza, koja se obratila mudracima za pomoć, bila je izgradnja Kartage. Zemljište za ovaj drevni i slavni grad Didoni (tako se zvao vladar) dao je vođa jednog od afričkih plemena. Površina parcele mu se isprva nije činila mnogo velika, jer je prema ugovoru trebalo da bude prekrivena volovskom kožom. Ali princeza je naredila svojim vojnicima da ga iseku na tanke trake i od njih naprave pojas. Ispostavilo se da je toliko dugačak da je pokrivao područje na koje bi mogao stati čitav grad.
Počeci matematičke analize
Pređimo sada iz drevnih vremena u kasniju eru. Zanimljivo je da je Keplera na razumevanje osnova matematičke analize u 17. veku potaknuo susret sa prodavcem vina. Trgovac je bio toliko upućen u svoju profesiju da je lako mogao odrediti količinu pića u buretu jednostavnim spuštanjem željeznog užeta u nju. Razmišljajući o takvoj radoznalosti, čuveni naučnik je uspeo da sam reši ovu dilemu. Ispostavilo se da su se vješti bačvari tog vremena snašli u izradi posuda na način da su na određenoj visini i poluprečniku obima prstenova za pričvršćivanje imali maksimalan kapacitet.
Ovo je postalo razlog za Keplera da dalje razmišlja. Do optimalnog rješenja bačvarci su došli dugim traganjem, greškama i novim pokušajima, prenoseći svoja iskustva s generacije na generaciju. Ali Kepler je želeo da ubrza proces i nauči kako da uradi istu stvar za kratko vreme kroz matematičke proračune. Sav njegov razvoj, koji su pokupili njegove kolege, pretvorio se u danas poznate Fermatove i Newton-Leibnizove teoreme.
Problem maksimalne površine
Zamislimo da imamo žicu čija je dužina 50 cm.Kako možemo od nje napraviti pravougaonik koji ima najveću površinu?
Prilikom donošenja odluke treba poći od jednostavnih istina poznatih svima. Jasno je da će obim naše figure biti 50 cm, a sastoji se od dvostrukih dužina obje strane. To znači da, nakon što je jedan od njih označen kao „X“, drugi se može izraziti kao (25 - X).
Odavde dobijamo površinu jednaku X(25 - X). Ovaj izraz se može smatrati funkcijom koja uzima više vrijednosti. Rješavanje problema zahtijeva pronalaženje maksimuma od njih, što znači da morate pronaći tačke ekstrema.
Da bismo to učinili, nalazimo prvi izvod i izjednačavamo ga sa nulom. Rezultat je jednostavna jednadžba: 25 - 2X = 0.
Iz njega saznajemo da je jedna od stranica X = 12,5.
Dakle, drugo: 25 - 12,5 = 12,5.
Ispada da će rješenje problema biti kvadrat sa stranicom od 12,5 cm.
Kako pronaći maksimalnu brzinu
Pogledajmo još jedan primjer. Zamislimo da postoji tijelo, pravolinijsko kretanje koji je opisan jednačinom S = - t 3 + 9t 2 - 24t - 8, pri čemu je pređena udaljenost izražena u metrima, a vrijeme u sekundama. Moramo pronaći maksimalnu brzinu. Kako uraditi? Preuzeto, nalazimo brzinu, odnosno prvu derivaciju.
Dobijamo jednačinu: V = - 3t 2 + 18t - 24. Sada da bismo riješili problem moramo ponovo pronaći tačke ekstrema. Ovo se mora uraditi na isti način kao u prethodnom zadatku. Pronalazimo prvi izvod brzine i izjednačavamo ga sa nulom.
Dobijamo: - 6t + 18 = 0. Otuda je t = 3 s. Ovo je vrijeme kada brzina tijela poprima kritičnu vrijednost. Dobivene podatke zamjenjujemo u jednačinu brzine i dobivamo: V = 3 m/s.
Ali kako razumeti šta je to? maksimalna brzina, jer kritične tačke funkcije mogu biti njene najveće ili najmanje vrijednosti? Da biste provjerili, morate pronaći drugi izvod brzine. Izražava se brojem 6 sa znakom minus. To znači da je pronađena tačka maksimum. I u slučaju pozitivna vrijednost drugi izvod bi bio minimum. To znači da se pronađeno rješenje pokazalo tačnim.
Problemi navedeni kao primjer samo su dio onih koji se mogu riješiti ako znate pronaći točke ekstrema funkcije. Zapravo, ima ih mnogo više. A takvo znanje otvara neograničene mogućnosti ljudskoj civilizaciji.
Funkcija y = f(x) se poziva povećanje (opadajući) u određenom intervalu, ako je za x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f (x 2)).
Ako se diferencijabilna funkcija y = f (x) povećava (smanjuje) na intervalu, tada je njen izvod na ovom intervalu f " (x)> 0
(f"(x)< 0).
Dot x O pozvao lokalna maksimalna tačka (minimum) funkcija f (x) ako postoji susjedstvo tačke x o, za sve tačke čija je nejednakost f (x) tačna≤ f (x o) (f (x)≥ f (x o )).
Pozivaju se maksimalne i minimalne tačke ekstremne tačke, a vrijednosti funkcije u tim točkama su njene ekstremi.
Ekstremne tačke
Potrebni uslovi ekstrem . Ako je poenta x O je tačka ekstrema funkcije f (x), tada je ili f " (x o ) = 0, ili f(x o ) ne postoji. Takve tačke se nazivaju kritičan, a sama funkcija je definirana u kritičnoj tački. Ekstreme funkcije treba tražiti među njenim kritičnim tačkama.
Prvi dovoljan uslov. Neka x O - kritična tačka. ako f" (x ) kada prolazi kroz tačku x O mijenja znak plus u minus, a zatim u tački x o funkcija ima maksimum, inače ima minimum. Ako pri prolasku kroz kritičnu tačku derivacija ne promijeni predznak, onda u tački x O nema ekstrema.
Drugi dovoljan uslov.
Neka funkcija f(x) ima
f" (x ) u blizini tačke x
O
i drugi izvod f "" (x 0) u samoj tački x o. ako f"(x o) = 0, f "" (x 0)>0 (f "" (x 0)<0), то точка x o je lokalna tačka minimuma (maksimuma) funkcije f (x). Ako je f "" (x 0) = 0, tada trebate ili koristiti prvi dovoljan uslov ili uključiti više.
Na segmentu, funkcija y = f (x) može dostići svoju minimalnu ili maksimalnu vrijednost bilo na kritičnim tačkama ili na krajevima segmenta.
Primjer 3.22.
Rješenje. Jer f " (
Problemi nalaženja ekstrema funkcije
Primjer 3.23. a
Rješenje. x I y y
0
≤ x≤
> 0 i kada x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a
/4 функция S имеет максимум. Значение
funkcije kv.
jedinice).
Primjer 3.24. p ≈
Rješenje. p str
S"
R = 2, H = 16/4 = 4.
Primjer 3.22.Naći ekstreme funkcije f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.
Rješenje. Jer f " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), tada su kritične tačke funkcije x 1 = 2 i x 2 = 3. Ekstremi mogu biti samo u ovim tačkama. Budući da pri prolasku kroz tačku x 1 = 2 derivacija mijenja predznak sa plusa na minus, tada funkcija u ovoj tački ima maksimum. Prilikom prolaska kroz tačku x 2 = 3, derivacija mijenja svoj predznak iz minusa u plus, tako da u tački x 2 = 3 funkcija ima minimum. Nakon izračunavanja vrijednosti funkcije u tačkama
x 1 = 2 i x 2 = 3, nalazimo ekstreme funkcije: maksimum f (2) = 14 i minimum f (3) = 13.
Primjer 3.23.U blizini kamenog zida potrebno je izgraditi pravougaoni prostor tako da je sa tri strane ograđen žičanom mrežom, a četvrta strana uz zid. Za ovo postoji a linearnih metara mreže. U kom omjeru stranica će imati najveću površinu?
Rješenje.Označimo strane platforme sa x I y. Površina lokacije je S = xy. Neka y- ovo je dužina stranice uz zid. Tada, pod uslovom, mora biti zadovoljena jednakost 2x + y = a. Stoga je y = a - 2x i S = x (a - 2x), gdje je
0
≤ x≤ a /2 (dužina i širina područja ne mogu biti negativne). S " = a - 4x, a - 4x = 0 na x = a/4, odakle
y = a - 2 × a/4 =a/2. Zbog x = a /4 je jedina kritična tačka; hajde da proverimo da li se predznak derivacije menja pri prolasku kroz ovu tačku. Na x a /4 S"> 0 i kada x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a
/4 функция S имеет максимум. Значение
funkcije S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (kv.
jedinice).
Budući da je S kontinuirano i njegove vrijednosti na krajevima S(0) i S(a /2) jednake su nuli, tada će pronađena vrijednost biti najveća vrijednost funkcije. Dakle, najpovoljniji omjer stranica pod datim uslovima problema je y = 2x.
Primjer 3.24.Potrebna je proizvodnja zatvorenog cilindričnog rezervoara kapaciteta V=16 p ≈ 50 m 3. Koje bi trebale biti dimenzije rezervoara (radijus R i visina H) da se za njegovu izradu koristi najmanja količina materijala?
Rješenje.Ukupna površina cilindra je S = 2 str R(R+H). Znamo zapreminu cilindra V = p R 2 N Þ N = V/ p R 2 =16 p / p R2 = 16/R2. Dakle, S(R) = 2 str (R 2 +16/R). Nalazimo derivaciju ove funkcije:
S"(R) = 2 p (2R- 16/R 2) = 4 p (R- 8/R 2). S" (R) = 0 na R 3 = 8, dakle,
R = 2, H = 16/4 = 4.
