Construction de la projection Mercator. Le mystère de la carte Mercator

Lors de déplacements à pied ou à vélo, une carte topographique est un compagnon indispensable pour un chercheur. Une des tâches cartographie(une des disciplines d'une science telle que géodésie) est une image de la surface courbe de la Terre (figure de la Terre) sur une carte plate. Pour résoudre ce problème, vous devez choisir ellipsoïde- la forme d'un corps tridimensionnel, correspondant approximativement la surface de la terre, données— le point de départ du système de coordonnées (centre de l'ellipsoïde) et le méridien d'origine (eng. premier méridien) Et projection- une méthode de représentation de la surface de ce corps sur un plan.

Ellipsoïdes et références

DANS temps différent pour construire des cartes, diverses options ont été utilisées pour représenter la surface de la Terre sous la forme d'une sphère ou d'un ellipsoïde .

Représenter la Terre comme une sphère d'un rayon de 6378137 mètres (ou 6367600 mètres) permet de déterminer les coordonnées de n'importe quel point de la surface terrestre sous la forme de deux nombres - latitude $\phi$ et longitude $\lambda$ :

Pour l'ellipsoïde terrestre le concept utilisé comme latitude (géographique) latitude géodésique(Anglais) latitude géodésique) φ - l'angle formé par la normale à la surface de l'ellipsoïde terrestre en un point donné et le plan de son équateur , et la normale ne passe pas par le centre de l'ellipsoïdeà l'exclusion de l'équateur et des pôles :

Valeur de longitude longitude) λ dépend du choix du méridien initial (zéro) de l'ellipsoïde.
Le rayon du demi-axe majeur (équatorial) est généralement utilisé comme paramètre de l'ellipsoïde. un et compression F .
La compression $f = ((a-b) \over a)$ détermine l'aplatissement de l'ellipsoïde aux pôles.

L'un des premiers ellipsoïdes était Ellipsoïde de Bessel(Ellipsoïde de Bessel, Bessel 1841), déterminé à partir de mesures effectuées en 1841 par Friedrich Bessel ( Friedrich Wilhelm Bessel), avec la longueur du demi-grand axe un= 6377397,155 m et compression F = 1:299,152815 . Il est actuellement utilisé en Allemagne, en Autriche, en République tchèque et dans certains pays asiatiques et européens.

données Potsdam (PD)

Auparavant, pour construire des cartes en projection UTM utilisé ellipsoïde international (Ellipsoïde international 1924, Ellipsoïde de Hayford) avec la longueur du demi-axe majeur (équatorial) un= 6378388 m et compression F = 1:297,00 , proposé par l'arpenteur américain John Fillmore Hayford ( en 1910.

John Fillmore Hayford

données DE 50 (Référence européenne 1950)

• ellipsoïde - Ellipsoïde international 1924
• Méridien d'origine de Greenwich)

Pour réaliser des travaux sur l'ensemble du territoire de l'URSS depuis 1946 (Résolution du Conseil des ministres de l'URSS du 7 avril 1946 n° 760), un système de coordonnées géodésiques a été utilisé SK-42 (Pulkovo 1942), basé sur Ellipsoïde de Krasovsky avec la longueur du demi-axe majeur (équatorial) un= 6378245 m et compression F= 1:298,3 . Cet ellipsoïde de référence porte le nom de l'astronome-géodésiste soviétique Feodosius Nikolaevich Krasovsky. Le centre de cet ellipsoïde est décalé d’environ 100 mètres par rapport au centre de masse terrestre pour correspondre au mieux à la surface terrestre sur le territoire européen de l’URSS.

données Pulkovo-1942 (Pulkovo 1942)

• ellipsoïde - Krasovsky ( Krassowsky 1940)
• méridien d'origine - méridien de Greenwich ( Méridien d'origine de Greenwich)

Actuellement (y compris dans le système GPS) l'ellipsoïde est largement utilisé WGS84 (Système géodésique mondial 1984) avec une grande longueur d'essieu un= 6378137 m, compression F = 1:298,257223563 et l'excentricité e = 0,081819191 . Le centre de cet ellipsoïde coïncide avec le centre de masse de la Terre.

données WGS84 (EPSG:4326)

• ellipsoïde - WGS84
• Premier méridien - méridien de référence (Méridien de référence IERS (Méridien de référence international)), passant 5,31″ ​​​​à l’est du méridien de Greenwich. C'est à partir de ce méridien que l'on mesure la longitude dans le système GPS(Anglais) Longitude GPS)
  

Centre du système de coordonnées WGS84 coïncide avec le centre de masse de la Terre, l'axe Z le système de coordonnées vise à poteau de soutien (Anglais) Pôle de Référence IERS (IRP) et coïncide avec l'axe de rotation de l'ellipsoïde, l'axe X passe le long de la ligne d'intersection du premier méridien et du plan passant par le point d'origine et perpendiculaire à l'axe Z, axe Oui perpendiculaire à l'axe X.

Une alternative à l'ellipsoïde WGS84 est un ellipsoïde PZ-90, utilisé dans le système GLONASS, avec la longueur du demi-grand axe un= 6378136 m et compression F = 1:298,25784 .

Conversions de références

Avec l'option la plus simple de transition entre les références Pulkovo-1942 Et WGS84 il faut prendre en compte uniquement le déplacement du centre de l'ellipsoïde de Krasovsky par rapport au centre de l'ellipsoïde WGS84:
recommandé dans GOST 51794-2001 —
dX= +00023,92m; dY= –00141,27m; dZ= –00080,91m;
recommandé dans Système géodésique mondial 1984. NIMA, 2000 —
dX= +00028m; dY= –00130m; dZ= –00095 m.
Il convient de noter que ce qui précède sont les valeurs moyennes des coefficients qui, pour une conversion plus précise, doivent être calculées individuellement pour chaque point de la surface de la Terre. Par exemple, pour la Pologne, voisine de la Biélorussie, ces paramètres sont les suivants :
dX= +00023m; dY= –00124m; dZ= –00082 m (selon les données )
Cette transformation est appelée à trois paramètres.
Avec une transformation plus précise ( transformation de Molodensky) il faut prendre en compte la différence entre les formes des ellipsoïdes, déterminée par deux paramètres :
papa- la différence entre les longueurs des grands demi-axes, df— différence entre les taux de compression (différence d'aplatissement). Leurs valeurs sont les mêmes pour GOST Et NIMA:
papa= – 00108m; df= + 0,00480795 ⋅ 10 -4 m.

Lors de la transition entre les données DE 50 Et WGS84 Les paramètres de conversion sont :
papa= – 00251m; df= - 0,14192702 ⋅ 10 -4 m ;
pour l'Europe dX= -87 m ; dY= –96 m ; dZ= –120 m (selon Manuel de l'utilisateur sur les transformations de données impliquant le WGS-84, 3e édition, 2003 ).

Un ensemble des cinq paramètres spécifiés ( dX, dY, dZ, papa, df) peut être saisie dans un navigateur ou un programme de navigation comme caractéristique de la donnée utilisée par l'utilisateur.

Projection

La méthode de représentation de la surface tridimensionnelle de la Terre sur une carte bidimensionnelle est déterminée par le choix projection cartographique.
Le plus populaire ( normale) projection de Mercator cylindrique et une telle variété que projection de Mercator cylindrique transversale (Mercator transversal).

Contrairement à la projection Mercator normale, connue depuis des siècles et particulièrement adaptée à la représentation des régions équatoriales, la projection transversale diffère en ce que le cylindre sur lequel la surface de la planète est projetée tourne de 90° :

Projection de Mercator cylindrique

Projection sphérique de Mercator

Pour une projection sphérique, les formules suivantes s'appliquent pour convertir la latitude $\phi$ et la longitude $\lambda$ d'un point à la surface de la sphère terrestre (en radians) en coordonnées rectangulaires $x$ et $y$ sur la carte (en mètres) :
$x = (\lambda - (\lambda)_0) \cdot R$ ;
$y = arcsinh (\tan (\phi)) \cdot R =\ln ( (\tan( ((\phi \over 2) + (\pi \over 4) )) )) \cdot R$
(formule tangente logarithmique) ,
où $R$ est le rayon de la sphère, $(\lambda)_0$ est la longitude du premier méridien.
Le facteur d'échelle $k$ représente le rapport de distance le long de la grille cartographique. distance de la grille) à la distance locale (géodésique) (eng. distance géodésique):
$k = (1 \over (\cos \phi))$.
La traduction inverse est mise en œuvre à l'aide des formules suivantes :
$\lambda = (x \over R) + (\lambda)_0 $ ;
$ \phi = (\pi \over 2) - 2 \arctan(e^(-y \over R)) $ .
Une caractéristique importante de la projection Mercator pour la navigation est que ligne de rumba(Anglais) lignes de rhumb) ou rhoxodrome (eng. loxodrome) est représenté par une ligne droite.
Un loxodrome est un arc qui coupe les méridiens sous le même angle, c'est-à-dire chemin avec constante ( rhoxodromique) angle de trajectoire.
Angle de voie, Unité centrale(Anglais) titre) est l'angle entre la direction nord du méridien au point de mesure et la direction de la ligne de voie, mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre à partir de la direction vers le nord géographique (0° est utilisé pour indiquer la direction du mouvement vers le nord, 90° pour l'est).
Les loxodromes sont des spirales qui font un nombre illimité de tours à l'approche des pôles.

Il est à noter qu'un rhoxodrome n'est pas le chemin le plus court entre deux points - orthodrome, arc grand cercle reliant ces points .

Mercator Web

Une variante de la projection sphérique Mercator est utilisée par de nombreux services cartographiques, par ex. OpenStreetMap, Google Maps, Bing Maps.

DANS OuvrirStreetMap la carte du monde est un carré avec des coordonnées de points le long des axes X Et oui, située entre -20 037 508,34 m et 20 037 508,34 m. Par conséquent, une telle carte ne montre pas les zones situées au nord de 85,051129° de latitude nord et au sud de 85,051129° de latitude sud. Cette valeur de latitude $\phi_(max)$ est la solution de l'équation :
$\phi_(max) = 2\arctan(e^\pi) — (\pi\over 2) $ .
Comme toute carte établie dans la projection Mercator, elle se caractérise par des distorsions de zone, qui se manifestent le plus clairement lorsque l'on compare le Groenland et l'Australie représentés sur la carte :

Lorsque vous dessinez une carte dans OuvrirStreetMap coordonnées (latitude et longitude) sur l'ellipsoïde dans le système WGS84 sont projetées sur le plan cartographique comme si ces coordonnées étaient définies sur une sphère de rayon R. = un= 6 378 137 m(reprojection) - représentation sphérique de coordonnées ellipsoïdales (" développement sphérique de coordonnées ellipsoïdales"). Cette projection, appelée Mercator Web) correspond EPSG (Groupe européen d'enquête sur le pétrole) code 3857 (" WGS 84/Pseudo-Mercator«).
Reprojeter à partir de EPSG:4326 V EPSG:3857($\phi ,\lambda \rightarrow x,y $) est implémenté selon les formules ci-dessus pour la projection sphérique habituelle de Mercator.
Sur une telle carte, la direction vers le nord correspond toujours à la direction vers le haut de la carte ; les méridiens sont des lignes verticales équidistantes les unes des autres.
Mais une telle projection, contrairement à la projection sphérique ou elliptique de Mercator, n'est pas p monoangulaire ( conforme), les lignes de rumba ne sont pas droites. Ligne rumba (loxodrome) est une ligne coupant les méridiens selon un angle constant.
L'avantage de la projection considérée est sa facilité de calcul.

Dans la projection spécifiée, la carte peut être dessinée avec une grille de coordonnées rectangulaires (en fonction des valeurs de longitude et de latitude).
Le référencement cartographique (comparaison des coordonnées rectangulaires sur la carte et des coordonnées géographiques au sol) peut se faire à partir de points $N$ aux coordonnées connues. Pour ce faire, il faut résoudre un système d'équations $2 N$ de la forme
$X = \rho_(\lambda) \lambda - X_0$ , $Y = arcsinh (\tan (\phi)) \cdot \rho_(\phi) - Y_0 $ .
Pour résoudre un système d'équations et déterminer les valeurs des paramètres $X_0$ , $Y_0$ , $\rho_(\lambda)$ , $\rho_(\phi)$ vous pouvez utiliser, par exemple, un package mathématique Mathcad.
Pour vérifier l'exactitude de la liaison cartographique, vous pouvez déterminer le rapport des longueurs des côtés du rectangle de la grille construite. Si les côtés horizontaux et verticaux d'un rectangle correspondent à la même longueur angulaire en longitude et en latitude, alors le rapport de la longueur du côté horizontal (arc parallèle - petit cercle) à la longueur du côté vertical (arc méridien - grand cercle ) doit être égal à $\cos \phi$ , où $ \phi$ est la latitude géographique du lieu.

Projection elliptique de Mercator

Projection elliptique de Mercator ( EPSG:3395 — WGS 84/Monde Mercator) est utilisé par exemple par les services Cartes Yandex,Photographies spatiales.
Pour une projection elliptique, les formules suivantes s'appliquent pour convertir la latitude $\phi$ et la longitude $\lambda$ d'un point de la surface de la sphère terrestre (en radians) en coordonnées rectangulaires $x$ et $y$ sur la carte (en mètres) :
$x = (\lambda - (\lambda)_0) \cdot a$ ;
$y = a \ln (\tan ((\pi \over 4) + (\phi \over 2)) (((1 - e \sin (\phi)) \over (1 + e \sin (\phi ))))^(e \plus de 2)) $ ,
où $a$ est la longueur du demi-grand axe de l'ellipsoïde, $e$ est l'excentricité de l'ellipsoïde, $(\lambda)_0$ est la longitude du premier méridien.
Le facteur d'échelle $k$ est donné par :
$k = ((\sqrt ((1 - (e^2) (((\sin \phi))^2)))) \over (\cos \phi)) $ .
La traduction inverse est mise en œuvre à l'aide des formules suivantes :
$\lambda = (x \over a) + (\lambda)_0 $ ;
$ \phi = (\pi \over 2) — 2 \arctan(e^(-y \over a) (((1 — e \sin (\phi)) \over (1 + e \sin (\phi) )))^(e \over 2)) $ .
La latitude est calculée à l'aide d'une formule itérative ; en première approximation, il convient d'utiliser la valeur de latitude calculée à l'aide de la formule de la projection sphérique de Mercator.

Projection de Mercator cylindrique transversale

Les deux types de projection transversale de Mercator les plus couramment utilisés sont la projection de Gauss-Kruger. Gauss-Krüger) (s'est répandu sur le territoire de l'ex-URSS) et la projection transversale universelle de Mercator (eng. Mercator Transversal Universel (UTM)).
Pour les deux projections, le cylindre sur lequel se produit la projection couvre l'ellipsoïde terrestre le long d'un méridien appelé méridien central (axial) ( Anglais méridien central, longitude origine) zones. Zone(Anglais) zone) est une partie de la surface terrestre délimitée par deux méridiens ayant une différence de longitude de 6°. Il y a 60 zones au total. Les zones couvrent entièrement la surface de la Terre entre les latitudes 80°S et 84°N.
La différence entre les deux projections est que la projection de Gauss-Kruger est une projection sur un cylindre tangent, et la projection transversale universelle de Mercator est une projection sur un cylindre sécant (pour éviter les distorsions sur les méridiens extrêmes) :

Projection Gauss-Kruger

La projection Gauss-Kruger a été développée par les scientifiques allemands Carl Gauss et Louis Kruger.
Dans cette projection, les zones sont numérotées d'ouest en est, en partant du méridien 0°. Par exemple, la zone 1 s'étend du méridien 0° au méridien 6°, son méridien central est 3°.
Dans le système soviétique de tracé et de nomenclature des cartes topographiques, les zones sont appelées colonnes et sont numérotées d'ouest en est, en partant du méridien 180°.
Par exemple, Gomel et ses environs appartiennent à la zone 6 (colonne 36 ) avec un méridien central de 33°.
Les zones/colonnes sont divisées par des parallèles en lignes (tous les 4°), indiquées par des lettres majuscules. avec des lettres latines depuis UN avant V, en partant de l'équateur jusqu'aux pôles.
Par exemple, Gomel et ses environs appartiennent à la série N. Ainsi, le nom complet d'une feuille de carte à l'échelle 1:1 000 000 (10 km sur 1 cm), représentant Gomel, ressemble à N-36. Cette feuille est divisée en feuilles de cartes à plus grande échelle :


Pour la Biélorussie et les pays voisins, le calendrier est le suivant :

Pour déterminer la position d'un point à l'aide d'une carte topographique, une grille de coordonnées rectangulaires est appliquée à la carte X Et Oui, exprimé en kilomètres. Elle est formée d'un système de lignes parallèles à l'image du méridien axial de la zone (traits de quadrillage verticaux, axes X) et perpendiculaires à celui-ci (lignes de quadrillage horizontales, axes Oui).
Sur une carte à l'échelle 1/200 000, la distance entre les lignes du quadrillage est de 4 km ; sur une carte à l'échelle 1:100 000 - 2 km.
Coordonner X est signé sur les bords verticaux de la feuille de carte et exprime la distance à l'équateur et les coordonnées Oui est signé sur les bords horizontaux de la feuille de carte et est constitué du numéro de zone (le ou les deux premiers chiffres de la valeur) et de la position du point par rapport au méridien central de la zone (les trois derniers chiffres de la valeur, le méridien central de la zone étant attribué une valeur de 500 km).


fragment de feuille N36-123 soviétique Carte topographiqueéchelle 1:100 000

Par exemple, sur le fragment de carte ci-dessus, l'inscription 6366 près de la ligne de quadrillage verticale signifie : 6 — 6ème zone, 366 est la distance en kilomètres du méridien axial, classiquement déplacé vers l'ouest de 500 km, et l'inscription 5804 près de la ligne de grille horizontale indique la distance de l'équateur en kilomètres.

Projection Mercator transversale universelle

Mercator Transversal Universel ( UTM) a été développé par le US Army Corps of Engineers ( Corps des ingénieurs de l'armée des États-Unis) dans les années 1940.

Construire des cartes en projection UTM auparavant, un ellipsoïde était utilisé Internationale 1924— filet UTM (International), et actuellement - un ellipsoïde WGS84— filet UTM (WGS84).
Dans cette projection, les zones sont numérotées d'ouest en est, en partant du méridien 180°.
Ce système est utilisé par les forces armées américaines et de l'OTAN. Forces armées des États-Unis et de l'OTAN):

Chaque zone est divisée en bandes horizontales tous les 8° de latitude. Ces rayures sont désignées par des lettres, du sud vers le nord, en commençant par la lettre C pour une latitude de 80° S et se terminant par une lettre X pour la latitude 84° N. Des lettres je Et Ô omis pour éviter toute confusion avec les chiffres 1 et 0. La barre marquée de la lettre X, occupe 12° de latitude.
La zone dans cette projection est désignée par un numéro. zone de longitude) et une lettre (chaîne latitude, anglais. zone de latitude):


Cette figure montre deux zones de longitude non standard - la zone 32Vélargie pour couvrir tout le sud de la Norvège et la zone 31V raccourcie pour couvrir uniquement l'eau.
Pour Gomel et ses environs, la zone est désignée comme 36U avec un méridien central de 33° :

La zone est recouverte d'une grille rectangulaire (kilométrique) (grille selon la Projection Transverse Universelle de Mercator, UPPM) :


La longueur du côté du carré de la grille dans le fragment de carte ci-dessus est de 10 km.

L'origine du système de coordonnées de chaque zone est déterminée par l'intersection de l'équateur et du méridien central de la zone.
Coordonner E (Est) sur une telle grille représente la distance sur la carte du méridien central en mètres (à l'est - positif, à l'ouest - négatif), à laquelle s'ajoutent + 500 000 mètres (eng. Fausse abscisse
Coordonner N (Nord) sur une telle grille représente la distance sur la carte de l'équateur en mètres (au nord - positif, au sud - négatif), et en hémisphère sud cette distance est soustraite de 10 000 000 de mètres. Fausse nord) pour éviter l’apparition de valeurs négatives.
Par exemple, pour le coin inférieur gauche du carré de la grille sur la carte ci-dessus, les coordonnées sont écrites sous la forme
36U(ou 36+ ) 380000 5810000 ,
Où 36 — zone de longitude, U — zone de latitude, 380000 — est, 5810000 — direction nord.

Convertir la latitude et la longitude en coordonnées UTM illustré par la figure :

P.— point à l'étude
F- le point d'intersection de la perpendiculaire descendue au méridien central à partir du point P., avec le méridien central (un point du méridien central de même direction nord, comme le point à l'étude P.) . Latitude des points F(Anglais) latitude de l'empreinte) est noté $\phi ‘ $ .
Ô- équateur
once- méridien central
LP- point parallèle P.
ZP— méridien d'un point P.
OL = k 0 S- arc méridien depuis l'équateur
DE = N — direction nord
FP = E — est
GN— direction vers le nord de la grille cartographique (eng. grille nord)
C- angle de convergence des méridiens (eng. convergence des méridiens) - l'angle entre la direction du nord vrai (eng. le vrai Nord) et au nord de la grille cartographique

Lors de la transformation de coordonnées rectangulaires ( X, Oui) pour la projection de Gauss-Kruger sur un ellipsoïde WGS84 aux coordonnées rectangulaires ( N, E) pour la projection transversale universelle de Mercator sur le même ellipsoïde WGS84 il faut prendre en compte le facteur d'échelle facteur d'échelle) $k_0 = 0,9996 $ :
$ N = X \cdot k_0 $ ;
$ E = Y_0 + Y \cdot k_0 $ ,
où $Y_0 = 500 000 $ mètres.

Le facteur d'échelle spécifié $k_0 = 0,9996 $ n'est valable que pour le méridien central de la zone. À mesure que vous vous éloignez du méridien axial, le facteur d'échelle change.

Note. Erreur de lecture des coordonnées sur la carte ( précision du géoréférencement) est généralement considéré comme étant de ±0,2 mm. C'est précisément la précision des appareils utilisés pour créer une carte analogique.

Géoïde

Il convient de noter qu'une approximation plus précise de la surface de notre planète est géoïde(Anglais) géoïde) est la surface équipotentielle du champ de gravité terrestre, c'est-à-dire que la surface du géoïde est partout perpendiculaire au fil à plomb. Mais la gravité est déterminée par la somme vectorielle de la force gravitationnelle de la Terre et de la force centrifuge associée à la rotation de la Terre, donc le potentiel gravitationnel ne coïncide pas avec le potentiel purement gravitationnel..
Le géoïde coïncide avec le niveau moyen de l'océan mondial, par rapport auquel il est mesuré altitudes au-dessus du niveau de la mer.
Le géoïde a une forme complexe qui reflète la répartition des masses à l'intérieur de la Terre, et donc, pour résoudre les problèmes géodésiques, le géoïde est remplacé par un ellipsoïde de révolution. Le modèle mathématique le plus moderne du géoïde est AGE2008, qui a remplacé le modèle populaire EGM96.

À suivre.

Regardez cette carte et dites-moi quel territoire est le plus grand : le Groenland, marqué en blanc, ou l'Australie, marqué en orange ? Il semble que le Groenland soit au moins trois fois plus grand que l’Australie.

Mais, en regardant l'ouvrage de référence, on est surpris de lire que la superficie de l'Australie est de 7,7 millions de km 2, et celle du Groenland de seulement 2,1 millions de km 2. Le Groenland semble donc si grand seulement sur notre carte, mais en réalité il est moins que l'Australie environ trois fois et demie. En comparant cette carte avec un globe, on constate que plus un territoire est éloigné de l’équateur, plus il s’étend.

La carte que nous regardons a été construite en utilisant projection cartographique, inventé au XVIe siècle par le scientifique flamand Gerardus Mercator. Il a vécu à une époque où de nouvelles routes commerciales se construisaient à travers les océans. Colomb a découvert l'Amérique en 1492 et le premier tour du monde sous la direction de Magellan a eu lieu en 1519-1522 - lorsque Mercator avait 10 ans. Les terres ouvertes devaient être tracées sur des cartes, et pour cela il fallait apprendre à représenter une Terre ronde sur une carte plate. Et les cartes devaient être réalisées de manière à ce qu'elles soient pratiques pour les capitaines.

Comment le capitaine utilise-t-il la carte ? Il trace un parcours le long de celle-ci. Les marins des XIIIe et XVIe siècles utilisaient des portulans - des cartes représentant un bassin mer Méditerranée, ainsi que les côtes d'Europe et d'Afrique au-delà de Gibraltar. Ces cartes étaient marquées d'une grille de rhumbs - des lignes de direction constante. Laissez le capitaine avoir besoin de naviguer en pleine mer d'une île à l'autre. Il applique une règle sur la carte, détermine le cap (par exemple « au sud-sud-est ») et donne au timonier l'ordre de garder ce cap selon la boussole.

L'idée de Mercator était de conserver le principe du tracé d'un parcours à l'aide d'une règle et sur une carte du monde. Autrement dit, si vous gardez une direction constante sur la boussole, le chemin sur la carte sera droit. Mais comment faire ça ? Et ici les mathématiques viennent en aide au cartographe. Découpez mentalement le globe en bandes étroites le long des méridiens, comme indiqué sur la figure. Chacune de ces bandes peut être dépliée sur un plan sans trop de distorsion, après quoi elle se transformera en une figure triangulaire - un «coin» aux côtés incurvés.

Cependant, le globe s'avère disséqué et la carte doit être continue, sans coupures. Pour y parvenir, nous divisons chaque coin en « presque carrés ». Pour ce faire, à partir du point inférieur gauche du coin, tracez un segment faisant un angle de 45° par rapport au côté droit du coin, à partir de là, nous dessinons une coupe horizontale sur le côté gauche du coin - coupez le premier carré. . À partir du point où se termine la coupe, nous dessinons à nouveau un segment faisant un angle de 45° vers la droite, puis un segment horizontal vers la gauche, en coupant le prochain « presque carré », et ainsi de suite. Si le coin original était très étroit, les « presque carrés » ne différeront que légèrement des vrais carrés, puisque leurs côtés seront presque verticaux.

Terminons les dernières étapes. Redressons les « presque carrés » en vrais forme carree. Comme nous le comprenons, les distorsions peuvent être rendues aussi petites que souhaité en réduisant la largeur des coins dans lesquels nous découpons le globe. Mettons dans une rangée les carrés adjacents à l'équateur sur le globe. Nous y placerons tous les autres carrés dans l'ordre, en les étirant d'abord à la taille des carrés équatoriaux. Le résultat est une grille de carrés de même taille. Certes, dans ce cas, les parallèles équidistants sur la carte ne le seront plus également sur le globe. Après tout, plus le carré d’origine du globe était éloigné de l’équateur, plus il subissait un grossissement lorsqu’il était transféré sur la carte.

Cependant, les angles entre les directions avec cette construction resteront inchangés, car chaque carré n'a pratiquement changé qu'en échelle, et les directions ne changent pas lorsque l'image est simplement agrandie. Et c’est exactement ce que Mercator souhaitait lorsqu’il a imaginé sa projection ! Le capitaine peut tracer sa route sur la carte à l'aide d'une règle et guider son navire le long de cette route. Dans ce cas, le navire naviguera le long d’une ligne faisant le même angle par rapport à tous les méridiens. Cette ligne s'appelle rhoxodrome .

Nager le long d'un loxodrome est très pratique car cela ne nécessite aucun calcul particulier. Certes, un rhoxodrome n'est pas la ligne la plus courte entre deux points de la surface terrestre. Une telle ligne la plus courte peut être déterminée en tirant un fil sur un globe entre ces points.

Artiste Evgueni Panenko

Projection de Mercator

La projection cylindrique conforme a été proposée et utilisée pour la première fois en 1569 par le cartographe néerlandais Mercator.

Pour dériver les formules de cette projection, nous déterminons d’abord l’échelle par des parallèles dans la plus simple des projections cylindriques dans la projection dite carrée. Dans cette projection, les méridiens et les parallèles tracés sur le même nombre de degrés de longitude et de latitude forment une grille de carrés sur la carte, et les longueurs le long de tous les méridiens et de l'équateur sont conservées (projection équidistante).

Soient PC0A0 et PD0B0 (Fig. 1) les méridiens d'un globe de rayon R avec une différence de longitude infinitésimale, et que les lignes droites

Riz. 1. Deux méridiens et deux parallèles sur le globe et sur la carte en projection cylindrique

CA et DB sont les méridiens correspondants sur la carte dans une projection carrée.

Alors à un segment infinitésimal C0D0 d'un parallèle arbitraire de latitude et de rayon r sur le globe correspondra un segment infinitésimal CD sur la carte, et une échelle le long du parallèle

CD = UN B = UN0 B0 ,

Où A0B0 est l’arc de l’équateur.

Puisque le rapport des arcs de cercle est égal au rapport de leurs rayons, alors

Depuis Système d'exploitation 0AVEC", Où Système d'exploitation 0AVEC"= Nous avons

Ainsi,

Il ressort clairement de la formule que l'échelle parallèle dans une projection carrée varie de l'unité à l'infini, et qu'elle est égale à l'unité à l'équateur (à = 0°) et à l'infini au point polaire (à = 90°). Le pôle dans une projection carrée est représenté par un segment de droite égale à la longueur de l’équateur.

Or, pour rendre l'échelle le long des méridiens égale à l'échelle le long des parallèles (m=n), c'est-à-dire pour passer d'une projection carrée à une projection conforme (des ellipses de distorsion aux cercles), il faut étirer les méridiens. de la projection carrée en chaque point autant de fois que les parallèles de cette projection sont augmentés par rapport aux parallèles correspondants du globe, c'est-à-dire de fois. Par conséquent, pour transformer, en première approximation, un quadrillage cartographique carré en un quadrillage cartographique de projection conforme, il faut multiplier les segments méridiens OA, AB, BC, etc. (Fig. 2) en conséquence

Riz. 2. Transformation d'une projection carrée en une projection cylindrique conforme

par 1, 2, 3, etc., où 1,2, 3 sont respectivement les latitudes des milieux de ces segments. Alors le segment méridien OS1 en projection conforme, correspondant au segment OS en projection carrée, sera représenté par l'expression

OS1 = OUN1 + UN1 B1, + B1C1 = OUN 1 + UN B 2 + AVANT JC. 3 ,

Et puisque les segments

OA = AB = BC,

Système d'exploitation 1 =OA (1 +2 +3).

Segment méridien Système d'exploitation 1 sera déterminé d'autant plus précisément que les segments qui le composent seront petits, puisque l'étirement des méridiens doit être continu depuis l'équateur jusqu'à un parallèle donné.

Le résultat le plus précis sera obtenu lorsque le segment méridien D dans la projection Mercator sera constitué de la somme infinie grande quantité quantités infinitésimales

,

Où Dx- un segment infinitésimal du méridien en projection carrée,

DD- le segment infinitésimal correspondant du méridien dans la projection conforme de Mercator. Mais en raison de la constance de l'échelle le long des méridiens dans une projection carrée, le segment

La somme de quantités infinitésimales en mathématiques supérieures est appelée une intégrale. Prendre l'intégrale des deux côtés d'une égalité signifie prendre la somme des valeurs infinitésimales de ces parties de l'égalité dans certaines limites.

Intégrale d'expression dans la valeur de latitude de 0 à Écrivons-le comme ceci

Par intégration du côté gauche de l'égalité, on obtient le segment méridien D ; le membre de droite de l’égalité est une intégrale de table égale à

Ainsi, le segment méridien

,

où C est la constante d'intégration.

La valeur C doit être constante pour toutes les latitudes, elle peut donc être facilement déterminée en prenant = 0°. A = 0°, le parallèle correspond à l'équateur, pour lequel D = 0, soit

Ainsi,

En passant du logarithme naturel au logarithme décimal et en exprimant D sur l'échelle principale de la carte et en centimètres, nous aurons la formule de travail finale pour calculer le segment méridien D dans une projection cylindrique conforme pour une boule

(29)

Où Mod=0,4343.

La formule montre que le segment méridien D du pôle ( = 90°) est égal à l'infini, c'est-à-dire que le pôle ne sera pas représenté sur la carte dans cette projection.

En prenant la Terre comme un ellipsoïde, nous aurons la formule

(30)

Où a est le rayon de l'équateur de l'ellipsoïde terrestre (exprimé en mètres),

U est la même valeur que dans la formule (22) de la projection conique équiangulaire.

Les distances entre les méridiens dans une projection conforme, ainsi que dans une projection carrée, sont déterminées par la formule

Où est exprimé en mesure de radian. En prenant la Terre comme un ellipsoïde et en l'exprimant à l'échelle principale de la carte et en centimètres, nous aurons

Cette formule s'écrit souvent sous la forme

(31)

Où U- distance du méridien médian de la carte à celui en cours de détermination,

°-différence entre les longitudes des méridiens moyen et déterminés, exprimée en degrés, °=57°,3.

Évidemment, les distorsions dans une projection cylindrique conforme sur un cylindre tangent seront exprimées par les formules

(32)

Pour calculer les segments méridiens D, les ordonnées y et les échelles dans une projection cylindrique conforme sur un cylindre sécant, les formules de travail auront la forme

(34)

(35)

(37)

Où r0 est le rayon de la section parallèle de latitude 0 sur l’ellipsoïde terrestre,

r-rayon parallèle à la latitude sur l'ellipsoïde terrestre, par lequel l'échelle est déterminée,

Échelle de la carte principale,

° - la différence de longitude des méridiens moyen et déterminé, exprimée en degrés.

Grille de carte en projection Mercator

Pour construire une grille cartographique en projection Mercator et tracer des points de référence sur la carte en cours d'élaboration, il est nécessaire de connaître les coordonnées rectangulaires (segment méridien D et ordonnée y) des points d'intersection des méridiens et des parallèles et points de référence.

La valeur moyenne de D pour l'argument de latitude est sélectionnée à partir de tableaux spéciaux compilés par la Direction hydrographique de la Marine, et la valeur de y est calculée à l'aide de la formule (35).

L'origine des coordonnées sur les cartes marines est prise comme le point d'intersection du méridien moyen et du parallèle principal du bassin maritime pour lequel les cartes sont établies. Ce parallèle est un parallèle de section et son échelle est égale à un.

Connaissant les coordonnées rectangulaires des sommets des coins du cadre de la feuille de carte, trouver les dimensions des côtés de ce cadre comme la différence des segments méridiens D pour les parallèles sud et nord et la différence des valeurs de y pour les méridiens ouest et est. Sur la base des dimensions trouvées des côtés, un rectangle est construit (le cadre intérieur de la feuille), qui servira de base à la construction des méridiens intermédiaires et des parallèles de la carte, ainsi qu'au dessin des points de référence.

Les méridiens et les parallèles dans la projection Mercator sont représentés comme des lignes droites parallèles et perpendiculaires entre elles, il suffit donc pour les construire de déterminer les segments méridiens D. Pour les points d'intersection des parallèles de la carte avec l'axe X et l'ordonnée y pour les points d'intersection des méridiens de la carte avec l'axe Y. Lorsque ces valeurs sont trouvées, déterminer les différences D - Dyu et y - y3 pour les points indiqués. Ici, Dyu est le segment méridien du parallèle sud, et uz est l'ordonnée du méridien ouest. Ces différences sont tracées à partir du haut du coin sud-ouest du cadre le long des côtés ouest et sud et des lignes sont tracées à travers les points de dépôt, parallèles respectivement aux côtés sud et latéraux, qui seront les parallèles et les méridiens de la carte. .

Fig 3 Grille cartographique en projection cylindrique conforme (Mercator)

En figue. La figure 3 montre une grille cartographique dans une projection cylindrique conforme (sur un cylindre tangent) pour l'image globe. Les valeurs d'échelle dans cette projection sont données dans le tableau 4.

Tableau 4

Échelles dans la projection cylindrique conforme de Mercator.

Étant donné que la projection de Mercator est équiangulaire et que les méridiens y sont représentés par des lignes droites parallèles, elle a un propriété remarquable: Une ligne qui coupe tous les méridiens sous le même angle est représentée comme une ligne droite dans cette projection. Cette ligne est appelée rhoxodrome. Un navire en mouvement, s'il maintient le même cap à l'aide d'un compas, suit en réalité un rhoxodrome. Cette propriété de la projection Mercator a conduit à son utilisation généralisée pour les cartes marines.

Riz. 4. Orthodrome et rhoxodrome sur la carte en projection Mercator

Orthodrome et rhoxodrome

À l'aide d'une carte établie dans la projection Mercator, il est facile et simple de marquer la trajectoire d'un navire et de déterminer sa route constante, c'est-à-dire la direction dans laquelle il doit se déplacer pour se rendre d'un point à un autre. Le cap constant du navire est déterminé en mesurant avec un rapporteur l'angle entre la droite reliant ces points sur la carte et l'un des méridiens.

Cependant, il convient de noter qu'avec une grande distance entre les points A et B (Fig. 4), le loxodrome sur la sphère s'éloigne considérablement de l'orthodrome (la distance la plus courte entre ces points), qui se trouve dans la projection

Riz. 5. Orthodrome et rhoxodrome entre New York et Moscou sur la carte en projection Mercator.

Mercator est représenté par une ligne courbe. Dans ce cas, le navigateur dirige le navire non pas sur un cap, mais sur plusieurs, changeant la direction du mouvement en certains points (a et b). La trajectoire du navire sera représentée sur la carte sous forme de lignes brisées de cordes inscrites dans un orthodrome. Par rapport au dessin, le navire d'un point A à un point UN passera sous l'azimut du point UN au point b - sous azimut, du point b au point final B - sous azimut.

Pour plus de clarté, on peut indiquer (Fig. 5) qu'entre New York et Moscou la longueur de l'orthodrome est de 7507 km, et celle du loxodrome est de 8371 km, c'est-à-dire que la différence entre leurs longueurs est de 864 km. La plus grande distance entre les points du loxodrome et l'orthodrome atteint ici 1650 km.

Le deuxième avantage de la projection Mercator dans son utilisation pour les cartes de navigation maritime est qu'elle permet de déterminer facilement, avec suffisamment de précision pour la pratique, les distances en milles marins à partir de la carte, sans recourir à la construction d'échelles spéciales, mais en utilisant uniquement des divisions (en degrés ou minutes) imprimés sur les côtés du cadre de la carte. Un mille marin équivaut à 1852 m, ce qui correspond approximativement à la longueur moyenne de l'arc méridien d'une minute.

Si, par exemple, à partir d'une carte, il est nécessaire de déterminer la distance AB en milles marins (Fig. 42), alors, après avoir supprimé le segment AB avec une solution de boussole, appliquez la boussole sur le côté le plus proche du cadre cartographique de sorte que le le milieu du segment - le point C - se trouve à la latitude moyenne des points A et B (au point C1). Le nombre de minutes méridiennes calculé dans ce segment exprimera la distance AB en milles marins (sur la figure 6, segment A B = 215 milles).

En conclusion, il convient de noter que lors de l'élaboration de cartes topographiques et topographiques à différentes échelles, diverses cartes marines compilées dans une projection cylindrique conforme sont largement utilisées comme matériel cartographique. Par conséquent, la connaissance des caractéristiques de cette projection revêt une grande importance pratique.

Riz. 6. Détermination de la distance AB en miles à partir d'une carte dans la projection Mercator

Exercice

Calculer le segment méridien D et l'ordonnée « y » dans une projection cylindrique conforme sur le cylindre tangent du point c coordonnées géographiques= 30°, 35° (à partir du méridien moyen pris comme axe X) à = 1:5000000. L'ellipsoïde de Krasovsky.

Projection cylindrique conforme - 5,0 sur 5 basé sur 1 vote

Permet de superposer les contours des pays sur d'autres territoires, en tenant compte de la compensation des distorsions de la projection Mercator. Cette projection a été créée autrefois à des fins de navigation - pour fournir des arrangement mutuel territoires situés le long des axes « nord-sud » et « ouest-est ». Cependant, cela présente son propre inconvénient : plus les pôles sont proches, plus la distorsion est importante. D'autres projections présentent également de graves distorsions. C'est pourquoi notre perception carte géographique est également considérablement déformé - par exemple, le Groenland sur la carte de projection Mercator occupe une superficie trois fois plus grande que l'Australie, bien qu'en réalité elle soit 3,5 fois plus petite (!). Et plus on se rapproche de l’équateur, plus la taille relative des pays est petite.

En général, sur ce site, vous pouvez réaliser toutes sortes de tours intéressants et observer des métamorphoses différents pays en superposition. Il est même surprenant qu’un tel site ne soit pas apparu plus tôt tant l’idée de base est bonne. Parfois, vous obtenez des effets étonnants qui brisent les schémas habituels. Alternativement, le pays peut être tourné en cercle, auquel cas les compensations de projection seront également prises en compte.

Voyons quelques effets.
Voici par exemple la superposition de certains pays européens sur les îles indonésiennes. Regardez à quel point la France apparaît modestement grande à Kalimantan (à droite). La République tchèque se superpose au sud de la Malaisie et à Singapour (au centre), avec la Norvège à Sumatra à gauche. Très longue à l'échelle européenne, elle n'est en fait que légèrement plus longue que l'île de Sumatra.

2. La Chine en Eurasie orientale. Si tu le répares frontière ouest sur la ligne Tallinn - Prague, l'est (Mandchourie) sera à l'est de Novossibirsk et la péninsule du Liaodong sera quelque part dans la région d'Astana. Hainan sera au centre de l’Iran.

3. L'Australie en Eurasie orientale. C'est là que la compensation de la projection de Mercator est le plus clairement visible : elle s'étend de Munich à Tcheliabinsk, et plus encore du sud au nord. Ici, vous pouvez voir quels territoires désertiques colossaux il y a en Australie - pas moins que les étendues gelées de la Sibérie, car elle n'est peuplée plus ou moins que dans le sud-est et dans une étroite bande à l'ouest.

4. Le Mexique sur l'Europe. Du Brest français presque au Nijni Novgorod. Et la Californie mexicaine s'étend de la Normandie à Venise.

5. L'Indonésie en Eurasie orientale. La longueur des îles équivaut à la distance entre l'Irlande du Nord et le Kazakhstan central, et le Kalimantan à lui seul couvre facilement toute la région baltique avec le nord-ouest de la Russie.

6. Les États-Unis en Eurasie orientale. De Tallinn - plus que jusqu'à Krasnoïarsk !

7. Le Kazakhstan sur l'Europe. Aussi, en général, très respectable : de l'ouest de la France presque jusqu'à Kharkov. Couvre la majeure partie de l’Europe continentale.

8. L'Iran en Europe du Nord : des Lofoten norvégiens à Kazan :)

9. Le Vietnam en Russie européenne. Verticalement, cela équivaut à la distance du train n°7 Léningrad - Sébastopol, mais horizontalement, ce n'est rien non plus : de Moscou à Tcheliabinsk, et de manière courbe.

Autres comparaisons intéressantes.

10. Kamtchatka et Grande-Bretagne. C'est assez petit : du cap Lopatka à Palana.

11. L’Estonie est comme un tiers du Libéria, qui est en principe petit.

12. Autriche, Hongrie, Belgique à Madagascar.

Voyons maintenant les équivalents russes.

13. La Russie contre l'Australie. Si Perth se trouve dans la région de Makhatchkala, alors Melbourne se trouve quelque part près de Barnaoul. Solide. Mais la Russie s’étend tout de même presque jusqu’aux Fidji.

14. La Russie sur l'Afrique. Kouban dans la région d'Afrique du Sud (Novorossiysk comme Cape Town) - Kamchatka atteint le sud de l'Anatolie, à peu près là où se trouve Antalya.

15. La Russie sur Amérique du Sud. Si la Terre de Feu se situe à peu près à l'endroit où se trouve la Tchétchénie, alors le Kamtchatka se trouve dans la région de la Colombie et la Tchoukotka se trouve au nord du canal de Panama. Voyez-vous à quel point notre pays est colossal ? Plus qu'un continent entier.

16. La Russie sur Amérique du Nord. San Francisco se trouve dans la région de Crimée - Chukotka est presque proche de l'Irlande. Ici, d'ailleurs, vous pouvez clairement voir la taille des étendues océaniques de l'Atlantique Nord.

17. Luxembourg à Saint-Pétersbourg. Il n'est pas si petit :)))

18. Sur ce territoire (Bangladesh, marqué en bleu) - 168 millions de personnes vivent !!! Pouvez-vous imaginer la densité de population ? Et ce n'est pas confortable climat tempéré, et la jungle tropicale humide et les canaux du Gange et du Brahmapoutre...

19. Et pour le dessert - Chili le long du Transsibérien. Comme vous pouvez le constater, il couvre la distance de Moscou au Baïkal sur une bande étroite.

Ce sont quelques comparaisons intéressantes :)