Teorijski materijal. §6 Parcijalne derivacije složenih funkcija više varijabli Izračunajte derivacije složenih funkcija više varijabli
Neka je funkcija z - /(x, y) definirana u nekoj domeni D na xOy ravnini. Uzmimo unutarnju točku (x, y) iz područja D i dajmo x inkrement Ax tako da je točka (x + Ax, y) 6 D (slika 9). Nazovimo veličinu djelomičnim prirastom funkcije z u odnosu na x. Napravimo relaciju. Za danu točku (x, y), ova relacija je funkcija definicije. Ako za Ax -* 0 relacija ^ ima konačnu granicu, tada se ta granica naziva parcijalna derivacija funkcije z = /(x, y) u odnosu na nezavisnu varijablu x u točki (x, y) i je označeno simbolom jfc (ili /i(x, jj ), ili z"x(x, Na isti način, po definiciji, ili, što je ista stvar, Slično, ako je u funkcija od n neovisnih varijabli, zatim Uočivši da se Arz izračunava s konstantnom vrijednošću varijable y, a Atz - s konstantnom vrijednošću varijable x, definicije parcijalnih derivacija mogu se formulirati na sljedeći način: Parcijalne derivacije Geometrijsko značenje parcijalnih derivacija funkcije dviju varijabli Diferencijabilnost funkcije više varijabli Nužni uvjeti za diferencijabilnost funkcije Dovoljni uvjeti za diferencijabilnost funkcije više varijabli Totalni diferencijal Parcijalni diferencijali Derivacije složene funkcije parcijalne derivacije u odnosu na x funkcije z = /(x , y ) je obična derivacija ove funkcije u odnosu na x, izračunata pod pretpostavkom da je y konstanta; parcijalna derivacija u odnosu na y funkcije z - /(x, y) je njena derivacija u odnosu na y , izračunato pod pretpostavkom da je x konstantan. Iz toga slijedi da se pravila za izračunavanje parcijalnih derivacija podudaraju s pravilima dokazanim za funkciju jedne varijable. Primjer. Nađi parcijalne derivacije funkcije 4 Imamo Zamjene*. Postojanje funkcije r = f(x, y) u danoj točki parcijalnih derivacija u odnosu na sve argumente ne implicira kontinuitet funkcije u ovoj točki. Dakle, funkcija nije kontinuirana u točki 0(0,0). Međutim, u ovom trenutku navedena funkcija ima parcijalne derivacije u odnosu na x i y. To slijedi iz činjenice da je /(x, 0) = 0 i /(0, y) = 0 i stoga Geometrijsko značenje parcijalnih derivacija funkcije dviju varijabli. Neka je površina S u trodimenzionalnom prostoru definirana s jednadžba gdje je f(x, y) funkcija kontinuirana u nekoj domeni D i ima parcijalne derivacije u odnosu na x i y. Doznajmo geometrijsko značenje ovih izvodnica u točki Mo(xo,yo) 6 D, koja odgovara točki f(x0)yo) na površini z = f(x)y). Pri pronalaženju parcijalne derivacije točke M0 pretpostavljamo da je z samo funkcija argumenta x, dok argument y zadržava konstantnu vrijednost y = y0, tj. funkcija fi(x) je geometrijski predstavljena krivuljom L duž kojoj plohu S siječe ravnina y = u o. Zbog geometrijskog značenja derivacije funkcije jedne varijable, f\(xo) = tan a, gdje je a kut koji tvori tangenta na pravac L u točki JV0 s osi Ox (slika 10.) . Ali dakle, parcijalna derivacija ($|) jednaka je tangensu kuta a između osi Ox i tangente u točki N0 na krivulju dobivenu u presjeku površine z = /(x, y) pomoću ravnina y. Slično dobivamo da je §6. Diferencijabilnost funkcije više varijabli Neka je funkcija z = /(x, y) definirana u nekoj domeni D na xOy ravnini. Uzmimo točku (x, y) € D i dajmo odabranim vrijednostima x i y bilo koje povećanje Ax i Dy, ali tako da točka. Definicija. Funkcija r = /(x, y) naziva se diferencijabilnom * točkom (x, y) € 2E ako se potpuni prirast te funkcije, koji odgovara priraštajima Dx, Dy argumenata, može prikazati u obliku gdje su A i B ne ovise o Dx i Dy (ali općenito ovise o x i y), a a(Dx, Dy) i /?(Dx, Dy) teže nuli kao što Dx i Dy teže nuli. . Ako je funkcija z = /(x, y) diferencijabilna u točki (x, y), tada se dio A Dx 4- VDy prirasta funkcije, linearan u odnosu na Dx i Dy, naziva totalni diferencijal ove funkcije u točki (x, y) i označava se simbolom dz: Na taj način, Primjer. Neka je r = x2 + y2. U bilo kojoj točki (r,y) i za bilo koje Dx i Du imamo Ovdje. sada kada a i /3 teže nuli kao što Dx i Dy teže nuli. Prema definiciji, ova je funkcija diferencijabilna u bilo kojoj točki xOy ravnine. Istodobno, napominjemo da u našem obrazloženju nismo formalno isključili slučaj kada su priraštaji Dx, Du zasebno, ili čak oba jednaki nuli odjednom. Formulu (1) možemo napisati kompaktnije ako uvedemo izraz (razmak između točaka (Njime možemo pisati Označavajući izraz u zagradama s e, imamo gdje c ovisi o J, Du i teži nuli ako je J 0 i DN 0, ili, ukratko, ako je p 0. Formula (1), koja izražava uvjet diferencijabilnosti funkcije z = f(xt y) u točki (x, y), sada se može napisati u obliku Dakle, u gornjem primjeru 6.1 Nužni uvjeti diferencijabilni™ funkcije Teorem 4. Ako je funkcija r = f(x, y) diferencijabilna u nekoj točki, tada je kontinuirana u toj točki.4 Ako je u točki (x, y) ) je funkcija r = f(x, y) diferencijabilna, tada se potpuni priraštaj funkcije i u ovoj točki, koji odgovara priraštajima J i Dy argumenata, može prikazati u obliku (veličine A, B za danu točku su konstantne; , iz čega slijedi da potonje znači da je u točki (x, y) funkcija r /(x, y) neprekidna. Teorem! b. Ako je funkcija r = /(x, y) je diferencijabilna u danoj točki, mo o s.je u ovoj točki parcijalne derivacije $§ u. Neka je funkcija z = /(x, y) diferencijabilna u točki (x, y). Tada se prirast Dg ove funkcije, koji odgovara priraštajima Dx, Ay argumenata, može prikazati u obliku (1). Uzimajući u jednakost (1) Dx Φ 0, Dy = 0, dobivamo odakle Budući da na desnoj strani posljednje jednakosti vrijednost A ne ovisi o, To znači da u točki (x, y) postoji parcijalna derivacija funkcije r = /(x, y) u x, a sličnim razmišljanjem smo uvjereni (x, postoji parcijalna derivacija funkcije zy, a iz teorema slijedi da Naglašavamo da teorem 5 navodi postojanje parcijalne derivacije samo u točki (x, y), ali ne govori ništa o njihovom kontinuitetu u ovoj točki, kao ni o njihovom ponašanju u okolini točke (x, y). derivacija /"(x) u točki x0. U slučaju kada funkcija ovisi o više varijabli, situacija je puno složenija: ne postoje nužni i dovoljni uvjeti za diferencijabilnost funkcije z = /(x, y) dviju neovisnih varijabli x, y; postoje samo odvojeno potrebne uvjete (vidi gore) i zasebno – dovoljan. Ovi dovoljni uvjeti za diferencijabilnost funkcija više varijabli izraženi su sljedećim teoremom. Teorem c. Ako funkcija ima parcijalne derivacije /ε i f"v u nekoj blizini tanke (xo, V0) i ako su te derivacije kontinuirane u točki (xo, V0), tada je funkcija z = f(x, y) diferencijabilna u točki (x- Primjer: Promotrimo funkciju Parcijalne derivacije Geometrijsko značenje parcijalnih derivacija funkcije dviju varijabli Diferencijabilnost funkcije više varijabli Potrebni uvjeti za diferencijabilnost funkcije Dovoljni uvjeti za diferencijabilnost funkcije više varijabli Ukupni diferencijal Parcijalni diferencijali Derivacije složene funkcije Svugdje je definirana Na temelju definicije parcijalnih derivacija imamo ™ ove funkcije u točki 0(0,0) nalazimo i prirast te točke Za diferencijabilnost funkcije /( x,y) = u točki 0(0,0) potrebno je da funkcija e(Dx, Dy) bude potpuno mala pri Dx 0 i Du 0. Postavimo D0. Tada ćemo iz formule (1) imati Stoga funkcija /(x,y) = nije diferencijabilna u točki 0(0,0), iako ima fa i f"r u ovoj točki. Dobiveni rezultat objašnjava se činjenicom da su derivacije f"z i f "t su diskontinuirani u točki §7. Puni diferencijal. Parcijalni diferencijali Ako je funkcija z - f(z> y) diferencijabilna, tada je njezin ukupni diferencijal dz jednak Uzimajući u obzir da je A = B = u, formulu (1) pišemo u sljedećem obliku. Proširujemo koncept diferencijala funkcije na nezavisne varijable, postavljajući diferencijale nezavisnih varijabli jednake njihovim priraštajima: Nakon toga, formula za ukupni diferencijal funkcije uzima se kao primjer. Neka je i - 1l(x + y2). Tada Slično, ako je u =) diferencijabilna funkcija od n nezavisnih varijabli, tada se izraz naziva postdiferencijalom funkcije z = f(x, y) u odnosu na varijablu x; izraz se naziva parcijalni diferencijal funkcije z = /(x, y) varijable y. Iz formula (3), (4) i (5) slijedi da je ukupni diferencijal funkcije zbroj njezinih parcijalnih diferencijala: Općenito govoreći, ukupni prirast Az funkcije z = /(x, y) , nije jednak zbroju parcijalnih inkremenata. Ako je u točki (i, y) funkcija z = /(x, y) diferencijabilna i diferencijal dz Φ u toj točki 0, tada se njezin ukupni prirast razlikuje od linearnog dijela samo za zbroj zadnjih članova aAx 4 - /?DE, koji su kod Ax 0 i Au -» O infinitezimali višeg reda od članova linearnog dijela. Stoga, kada je dz F 0, linearni dio prirasta diferencijabilne funkcije naziva se glavnim dijelom prirasta funkcije i koristi se približna formula koja će biti točnija što su priraštaji funkcije manji po apsolutnoj vrijednosti. argumenti su. §8. Derivacije složene funkcije 1. Neka je funkcija definirana u nekoj domeni D na xOy ravnini, a svaka od varijabli x, y redom je funkcija argumenta t: Pretpostavit ćemo da kada se t mijenja u intervalu ( odgovarajuće točke (x, y) ne izlaze izvan područja D. Ako zamijenimo vrijednosti u funkciju z = / (x, y), dobivamo složenu funkciju jedne varijable t. i za odgovarajuće vrijednosti funkcija / (x, y) je diferencijabilna, tada složena funkcija u točki t ima derivaciju i M Dajmo t inkrement Dt. Tada će x i y dobiti neke inkremente Ax i Dy. Kao rezultat toga, za ( J)2 + (Dy)2 F 0, funkcija z će također dobiti neki prirast Dt, koji se zbog diferencijabilnosti funkcije z = /(x , y) u točki (x, y) može prikazati u oblik gdje a) teže nuli kao što Ax i Du teže nuli. Definirajmo a i /3 za Ax = Ay = 0 postavljanjem a Tada će a( biti kontinuiran za J = Dn = 0. Razmotrimo relaciju Imamo. U svakom članu^ na desnoj strani (2) oba faktora imaju granice doista, parcijalne derivacije i ^ za danu su konstantne, prema uvjetu postoje granice postojanja derivacija ^ i u točki £ funkcije x = y(t) i y = su kontinuirane u ovoj točki; stoga, kao Na 0, i J i Dy teže nuli, što za sobom povlači tendenciju nuli a(Dx, Dy) i P(Ax, Ay). Dakle, desna strana jednakosti (2) na 0 ima granica jednaka Dakle, na At 0 također postoji granica lijeve strane (2), tj. e. postoji jednaka. Prelazeći u jednakosti (2) do granice kao At -» 0, dobivamo traženu formulu. U posebnom slučaju, kada je, dakle, z složena funkcija od x, dobivamo In formulu (5) postoji parcijalna derivacija funadiig = /(x , y) po x, pri izračunu koje se u izrazu /(x, y) argument y uzima kao konstanta. Postoji i potpuna derivacija funkcije z u odnosu na nezavisnu varijablu x, pri izračunavanju koje se y u izrazu /(x, y) više ne uzima kao konstanta, već se zauzvrat smatra funkcijom od x: y = tp(x)t i stoga je ovisnost z o potpuno uzeta u obzir. Primjer. Nađi i jg ako je 2. Razmotrimo sada diferenciranje složene funkcije više varijabli. Neka je pak gdje tako da Pretpostavimo da u točki (() postoje kontinuirane parcijalne derivacije u, 3? iu odgovarajućoj točki (x, y), gdje je funkcija f(x, y) diferencijabilna. Pokažimo da pod tim uvjetima kompleksna funkcija z = z(() y) u točki t7) ima derivacije i π, a mi ćemo pronaći izraze za te derivacije. Imajte na umu da se ovaj slučaj ne razlikuje bitno od onog koji je već proučavan. Doista, pri diferenciranju z u odnosu na £, druga nezavisna varijabla rj uzima se kao konstanta, uslijed čega x i y u ovoj operaciji postaju funkcije jedne varijable x" = c), y = c) i postavlja se pitanje derivacije ζ rješava se na točno isti način kao i pitanje derivacije pri izvođenju formule (3). Koristeći formulu (3) i formalno zamjenjujući derivacije § i ^ u njoj s derivacijama u odnosno, dobivamo. Slično, dobivamo nađi Primjer: Nađi parcijalne derivacije ^ i ^ funkcije r = x2 y - husli x - y = Ako je složena funkcija " zadana formulama tako da tada, kada su ispunjeni odgovarajući uvjeti, imamo U posebnom slučaju kada je And = gdje su Parcijalne derivacije Geometrijsko značenje parcijalnih derivacija funkcije dviju varijabli Diferencijabilnost funkcije više varijabli Potrebni uvjeti za diferencijabilnost funkcije Dovoljni uvjeti za diferencijabilnost funkcija više varijabli Totalni diferencijal Parcijalni diferencijali Derivacije kompleksa funkcije imamo. Ovdje je m ukupna parcijalna derivacija funkcije i s obzirom na nezavisnu varijablu x, uzimajući u obzir potpunu ovisnost o i o x, uključujući kroz z = z(x,y),a ^ -parcijalnu derivaciju od funkcija u = /(r, y, d) po x, pri izračunavanju k
1°. Slučaj jedne nezavisne varijable. Ako je z=f(x,y) diferencijabilna funkcija argumenata x i y, koji su pak diferencijabilne funkcije nezavisne varijable t: , zatim izvod kompleksne funkcije 
može se izračunati pomoću formule
Primjer. Pronađite ako, gdje.
Riješenje. Prema formuli (1) imamo:
Primjer. Nađite parcijalnu derivaciju i ukupnu derivaciju if 
.
Riješenje. .
Na temelju formule (2) dobivamo 
.
2°. Slučaj nekoliko nezavisnih varijabli.
Neka z =f (x ;y) - funkcija dviju varijabli x I y, od kojih je svaki funkcija nezavisne varijable t : x =x (t), y =y (t). U ovom slučaju funkcija z =f (x (t);y (t )) je složena funkcija jedne nezavisne varijable t; varijable x i y su međuvarijable.
Teorema. Ako z == f(x ; y) - diferencijabilan u točki M(x;y)D funkcija i x =x (t) I na =y (t) - diferencijabilne funkcije nezavisne varijable t, zatim izvod složene funkcije z (t) == f(x (t);y (t )) izračunati po formuli
|
|
Poseban slučaj:z = f (x ; y), gdje je y = y(x), oni. z = f (x ;y (x )) - složena funkcija jedne nezavisne varijable X. Ovaj slučaj svodi se na prethodni i ulogu varijable t igra X. Prema formuli (3) imamo:
.
Posljednja formula je tzv formule ukupne derivacije.
Opći slučaj:z = f (x ;y ), Gdje x =x (u ;v ),y =y (u ;v). Tada je z = f (x (u ;v);y (u ;v)) - složena funkcija nezavisnih varijabli I I v. Njegove parcijalne derivacije mogu se pronaći pomoću formule (3) kako slijedi. Nakon što je popravio v, zamjenjujemo u njemu odgovarajuće parcijalne derivacije
Dakle, derivacija složene funkcije (z) u odnosu na svaku nezavisnu varijablu (I I v) jednaka je zbroju umnožaka parcijalnih derivacija ove funkcije (z) s obzirom na njezine međuvarijable (x i y) njihovim derivatima u odnosu na odgovarajuću nezavisnu varijablu (u i v).
U svim razmatranim slučajevima formula vrijedi
(svojstvo invarijantnosti totalnog diferencijala).
Primjer. Nađi i ako je z = f(x ,y ), gdje je x =uv , .
Riješenje. Primjenom formula (4) i (5) dobivamo:
Primjer. Pokažite da funkcija zadovoljava jednadžbu 
.
Riješenje. Funkcija ovisi o x i y preko posrednog argumenta, dakle
Zamjenom parcijalnih derivacija u lijevu stranu jednadžbe, imamo:
To jest, funkcija z zadovoljava ovu jednadžbu.
Derivacija u zadanom smjeru i gradijent funkcije
1°. Derivacija funkcije u zadanom smjeru. Izvedenica funkcije z= f(x,y) u ovom smjeru nazvao 
, gdje su i vrijednosti funkcije u točkama i . Ako je funkcija z diferencijabilna, tada je formula valjana
gdje su kutovi između pravaca l i pripadajuće koordinatne osi. Derivacija u određenom smjeru karakterizira brzinu promjene funkcije u tom smjeru.
Primjer. Odredite derivaciju funkcije z = 2x 2 - 3 2 u točki P (1; 0) u pravcu koji s osi OX zatvara kut od 120°.
Riješenje. Nađimo parcijalne derivacije ove funkcije i njihove vrijednosti u točki P.
Teorema.Neka u = f (x, y) je dana u domeni D i neka x = x(t) I y = y(t) identificiran u tom području , i kada , tada x i y pripadaju regiji D . Neka je funkcija u diferencijabilna u točki M 0 (x 0 , g 0 , z 0), i funkcije x(t) i kod(t) diferencijabilna u odgovarajućoj točki t 0 , tada je kompleksna funkcija u = f [x(t), g(t)]=F (t) diferencijabilan u točki t 0 a jednakost vrijedi:
.
Dokaz. Budući da je u diferencijabilan uvjetom u točki ( x 0 , g 0), tada je njegov ukupni prirast predstavljen kao
Podijelimo li ovaj omjer s , dobivamo:
Idemo do granice na i dobijemo formulu
.
Napomena 1. Ako u= u(x, y) I x= x, g= g(x), zatim ukupni izvod funkcije u po varijabli x
ili 
.
Posljednja jednakost može se koristiti za dokazivanje pravila za diferenciranje funkcije jedne varijable, zadane implicitno u obliku F(x, g) = 0, gdje je g= g(x) (vidi temu br. 3 i primjer 14).
Imamo: 
. Odavde 
.
(6.1)
Vratimo se na primjer 14 teme br. 3:
;
.
Kao što vidite, odgovori su se poklopili.
Napomena 2. Neka u = f (x, y), Gdje x= x(t ,v), na= na(t ,v). Tada je u konačno složena funkcija dviju varijabli t I v . Ako je sada funkcija u diferencijabilna u točki M 0 (x 0 , g 0), i funkcije x I na diferencijabilni u odgovarajućoj točki ( t 0 , v 0), tada možemo govoriti o parcijalnim izvodnicama u odnosu na t I v iz složene funkcije u točki ( t 0 , v 0). Ali ako govorimo o parcijalnoj derivaciji u odnosu na t u određenoj točki, tada se druga varijabla v smatra konstantnom i jednakom v 0 . Prema tome, govorimo samo o izvodu složene funkcije u odnosu na t i stoga možemo koristiti izvedenu formulu. Dakle, dobivamo:
I 
.
Primjer 13. Pronađite potpunu derivaciju funkcije u = x g, Gdje x = grijeh t, y = cos t .
41. Ekstremumi funkcije više varijabli.
Ekstrem funkcije više varijabli. Nužni i dovoljni uvjeti za postojanje ekstrema
Definicija 7. Točka se naziva minimalna (maksimalna) točka funkcije ako postoji okolina točke takva da nejednakost () vrijedi za sve točke u toj okolini.
Točke minimuma i maksimuma funkcije nazivaju se točkama ekstrema, a vrijednosti funkcije u tim točkama nazivaju se ekstremima funkcije (minimum i maksimum).
Imajte na umu da su minimum i maksimum funkcije lokalne prirode, budući da se vrijednost funkcije u točki uspoređuje s njezinim vrijednostima u točkama dovoljno blizu.
Teorem 1 (nužni uvjeti za ekstrem). Ako je točka ekstrema diferencijabilne funkcije, tada su njezine parcijalne derivacije u toj točki jednake nuli: .
Točke u kojima su parcijalne derivacije prvog reda jednake nuli nazivaju se kritične ili stacionarne. U kritičnim točkama funkcija može, ali i ne mora imati ekstrem.
Teorem 2 (dovoljan uvjet za ekstrem). Neka je funkcija: a) definirana u nekoj okolini kritične točke, u kojoj je i; b) ima neprekidne parcijalne izvodnice drugog reda. Tada, ako, tada funkcija u točki ima ekstrem: maksimum, ako je A<0; минимум, если А>0; ako, tada funkcija nema ekstrem. U ovom slučaju, pitanje prisutnosti ekstrema ostaje otvoreno.
Kada proučavate funkciju dviju varijabli za ekstrem, preporuča se koristiti sljedeću shemu:
1. Odredi parcijalne derivacije prvog reda: i.
2. Riješite sustav jednadžbi i pronađite kritične točke funkcije.
3. Nađite parcijalne derivacije drugog reda: , .
4. Izračunajte vrijednosti parcijalnih derivata drugog reda u svakoj kritičnoj točki i, koristeći dovoljne uvjete, izvedite zaključak o prisutnosti ekstremuma.
5. Pronađite ekstreme funkcije.
Primjer 6. Pronađite ekstreme funkcije.
Riješenje. 1. Nađite parcijalne derivacije i:
2. Za određivanje kritičnih točaka rješavamo sustav jednadžbi
Iz prve jednadžbe sustava nalazimo: . Zamjenom pronađene vrijednosti y u drugu jednadžbu, dobivamo
Pronađite y vrijednosti koje odgovaraju vrijednostima. Zamjenom vrijednosti u jednadžbu dobivamo: .
Dakle, imamo dvije kritične točke: i.
3. Pronađite parcijalne derivacije drugog reda:
4. Izračunavamo vrijednosti parcijalnih derivacija drugog reda u svakoj kritičnoj točki. Za točku imamo:
tada u točki nema ekstrema.
i stoga
To znači da, zbog dovoljnog uvjeta za ekstrem, funkcija ima minimum u točki, jer u toj točki i.
§ 5. Parcijalne derivacije složenih funkcija. diferencijali složenih funkcija
1. Parcijalne derivacije složene funkcije.
Neka je funkcija dviju varijabli čiji su argumenti 
I 
, same su funkcije dviju ili više varijabli. Na primjer, neka 
, 
.
Zatim 
htjeti složena funkcija
nezavisne varijable 
I 
, varijable će biti za nju srednje varijable.
U ovom slučaju, kako pronaći parcijalne derivacije funkcije u odnosu na 
i ?
Možete ga, naravno, izraziti izravno u smislu i:
te tražiti parcijalne derivacije rezultirajuće funkcije. Ali izraz može biti vrlo složen, i pronalaženje parcijalnih izvedenica 
, 
tada će to zahtijevati mnogo truda.
Ako funkcije 
, 
, 
su diferencijabilne, a zatim pronađite 
a moguće je bez pribjegavanja izravnom izražavanju kroz i . U ovom slučaju formule će biti valjane
(5.1)
Doista, dajmo argument 
prirast 
, 
– konst. Zatim funkcije 
I 
dobit će povećanja
a funkcija će se povećati
Gdje 
, 
– infinitezimalno pri 
, 
. Podijelimo sve članove posljednje jednakosti s . Dobivamo:
Budući da su po uvjetu funkcije i diferencijabilne, one su kontinuirane. Stoga, ako 
, zatim i . To znači da prelaskom na granicu na u zadnjoj jednakosti dobivamo:
(jer su , infinitezimalni za , ).
Druga jednakost iz (5.1) dokazuje se na sličan način.
PRIMJER. Neka 
, Gdje 
, 
. Tada je kompleksna funkcija nezavisnih varijabli i . Da bismo pronašli njezine parcijalne derivacije, koristimo se formulom (5.1). Imamo
Zamjenom u (5.1) dobivamo
,
Formule (5.1) se prirodno generaliziraju na slučaj funkcije s većim brojem neovisnih i posrednih argumenata. Naime, ako
………………………
i sve funkcije koje se razmatraju su diferencijabilne, onda za bilo koju 
postoji jednakost
Također je moguće da su argumenti funkcije funkcije samo jedne varijable, tj.
, 
.
Tada će to biti složena funkcija samo jedne varijable 
i možemo postaviti pitanje pronalaska izvoda 
. Ako funkcije 
, 
diferencijabilni, onda se može pronaći formulom 
(5.2)
PRIMJER. Neka 
, Gdje 
, 
. Ovdje je složena funkcija jedne nezavisne varijable. Koristeći formulu (5.2) dobivamo
.
I na kraju, moguće je da ulogu nezavisne varijable ima , tj. ,
Gdje 
.
Iz formule (5.2) tada dobivamo
(5.3)
(jer 
). Izvedenica 
, koji stoji u formuli (5.3) desno je parcijalna derivacija funkcije u odnosu na . Izračunava se s fiksnom vrijednošću. Izvedenica 
na lijevoj strani formule (5.3) zove se potpuni izvod funkcije 
. Pri njegovom izračunavanju uzeto je u obzir da ovisi o na dva načina: izravno i preko drugog argumenta.
PRIMJER. Pronađite i za funkciju 
, Gdje 
.
Imamo 
.
Za pronalaženje koristimo formulu (5.3). Dobivamo
.
I na kraju ovog paragrafa, napominjemo da je formule (5.2) i (5.3) lako generalizirati na slučaj funkcija s velikim brojem posrednih argumenata.
2. Diferencijal složene funkcije.
Podsjetimo da ako 
je diferencijabilna funkcija dviju neovisnih varijabli, tada po definiciji
, (5.4)
ili u drugom obliku 
. (5.5)
Prednost formule (5.5) je u tome što ostaje istinita čak i kada je složena funkcija.
Doista, neka , gdje je , . Pretpostavimo da su funkcije , , diferencijabilne. Tada će i kompleksna funkcija biti diferencijabilna i njezin će ukupni diferencijal prema formuli (5.5) biti jednak
.
Primjenom formule (5.1) za izračunavanje parcijalnih derivacija složene funkcije dobivamo
Budući da su potpuni diferencijali funkcija i u zagradama, konačno imamo
Dakle, uvjereni smo da se iu slučaju kada su i nezavisne varijable, kao iu slučaju kada su i zavisne varijable, diferencijal funkcije može napisati u obliku (5.5). U tom smislu, ovaj oblik bilježenja ukupnog diferencijala naziva se nepromjenjiv
. Oblik pisanja diferencijala predložen u (5.4) neće biti nepromjenjiv; može se koristiti samo u slučaju kada su i nezavisne varijable. Oblik zapisa diferencijala također neće biti nepromjenjiv 
-ti red. Prisjetimo se da smo ranije pokazali da diferencijal reda 
funkcija dviju varijabli može se pronaći formulom
. (4.12)
Ali ako nisu nezavisne varijable, tada formula (4.12) s 
prestaje biti istina.
Očito, sva razmišljanja provedena u ovom odjeljku za funkciju dviju varijabli mogu se ponoviti u slučaju funkcije s većim brojem argumenata. Stoga se za funkciju diferencijal također može napisati u dva oblika:
a drugi oblik zapisa bit će nepromjenjiv, tj. pravedno i u slučaju kada 
nisu nezavisne varijable, već posredni argumenti.
§ 6. Diferenciranje implicitnih funkcija
Govoreći o načinima definiranja funkcije jedne ili više varijabli, napomenuli smo da analitička definicija funkcije može biti eksplicitna i implicitna. U prvom slučaju, vrijednost funkcije nalazi se iz poznatih vrijednosti argumenata; u drugom, vrijednost funkcije i njeni argumenti povezani su nekom jednadžbom. Međutim, nismo naveli kada jednadžbe
I
definirati implicitno navedene funkcije i odnosno. Dovoljni uvjeti za postojanje implicitne funkcije jednostavni za korištenje 
varijable ( 
) sadržani su u sljedećem teoremu.
TEOREMA6.1
. (postojanje implicitne funkcije) Neka funkcija 
i njegove parcijalne derivacije 
su definirane i kontinuirane u nekoj okolini točke. Ako 
I 
, onda postoji takvo susjedstvo 
točka u kojoj jednadžba
definira kontinuiranu funkciju i
1) Razmotrimo jednadžbu 
. Uvjeti teorema su zadovoljeni, na primjer, u bilo kojoj okolini točke 
. Prema tome, u nekom susjedstvu točke 
ova jednadžba definira kao implicitnu funkciju dviju varijabli i . Eksplicitni izraz ove funkcije može se lako dobiti rješavanjem jednadžbe za:
2) Razmotrimo jednadžbu 
. Definira dvije funkcije dviju varijabli i . Zaista, uvjeti teorema su zadovoljeni, na primjer, u bilo kojoj okolini točke 
, u kojoj navedena jednadžba definira kontinuiranu funkciju koja poprima vrijednost 
.
S druge strane, uvjeti teoreme su zadovoljeni u bilo kojoj okolini točke 
. Posljedično, u određenom susjedstvu točke jednadžba definira kontinuiranu funkciju koja poprima vrijednost u točki 
.
Budući da funkcija ne može poprimiti dvije vrijednosti u jednom trenutku, to znači da govorimo o dvije različite funkcije 
i shodno tome. Pronađimo njihove eksplicitne izraze. Da bismo to učinili, riješimo izvornu jednadžbu za . Dobivamo
3) Razmotrimo jednadžbu 
. Očito je da su uvjeti teoreme zadovoljeni u bilo kojoj okolini točke 
. Prema tome, postoji takva blizina točke 
, u kojoj jednadžba definira kao implicitnu funkciju varijable . Nemoguće je dobiti eksplicitan izraz za ovu funkciju jer se jednadžba ne može riješiti u odnosu na .
4) Jednadžba 
ne definira nikakvu implicitnu funkciju, jer ne postoje parovi realnih brojeva koji ga zadovoljavaju.
Funkcija 
, dano jednadžbom 
, prema teoremu 6.1, ima kontinuirane parcijalne derivacije u odnosu na sve argumente u blizini točke. Otkrijmo kako ih pronaći bez eksplicitnog navođenja funkcije.
Neka funkcija 
zadovoljava uvjete iz teorema 6.1. Zatim jednadžba 
kontinuirana funkcija 
. Razmotrite složenu funkciju 
, Gdje . Funkcija je složena funkcija jedne varijable, a ako 
, To
(6.1)
S druge strane, prema formuli (5.3) izračunati ukupni derivat 
(6.2)
Iz (6.1) i (6.2) dobivamo da ako je , onda
(6.3)
Komentar. Podijelite po 
je moguće, jer prema teoremu 6.1 
bilo gdje u blizini.
PRIMJER. Pronađite derivaciju implicitne funkcije zadane jednadžbom i izračunajte njezinu vrijednost pri 
.
, 
.
Zamjenom parcijalnih derivacija u formulu (6.3) dobivamo
.
Zatim, zamjenom u izvornu jednadžbu, nalazimo dvije vrijednosti: 
I 
.
Prema tome, u blizini točke jednadžba definira dvije funkcije: 
I 
, Gdje 
, 
. Njihove derivacije u će biti jednake
I 
.
Neka sada jednadžba 
definira u nekoj okolini točke 
funkcija Pronađimo ga. Prisjetimo se da je to zapravo obična derivacija funkcije koja se smatra funkcijom varijable na konstantnoj vrijednosti. Stoga možemo primijeniti formulu (6.3) da ga pronađemo, smatrajući ga funkcijom, argumentom, konstantom. Dobivamo
. (6.4)
Slično, razmatrajući funkciju, argument, konstantu, pomoću formule (6.3) nalazimo
. (6.5)
PRIMJER. Nađite parcijalne derivacije funkcije zadane jednadžbom 
.
, 
, 
.
Koristeći formule (6.4) i (6.5), dobivamo
, 
.
Na kraju, razmotrimo opći slučaj kada je jednadžba
definira funkciju varijabli u određenom susjedstvu točke. Ponavljajući argumente provedene za implicitno zadanu funkciju dviju varijabli, dobivamo
, 
, …, 
.
§ 7. Izvodnica smjera
1. Izvodnica smjera.
Neka je funkcija dviju varijabli definirana u nekoj domeni 
avion 
, – točka regije, 
– vektor bilo kojeg smjera. Krenimo sa teme 
do točke u smjeru vektora. Funkcija će dobiti inkrement
Podijelimo prirast funkcije 
duljinom odmaknutog segmenta 
. Rezultirajući omjer 
daje prosječnu brzinu promjene funkcije u području 
. Tada je granica ovog omjera na 
(ako postoji i konačan je) bit će brzina promjene funkcije u točki 
u smjeru vektora. On je pozvan izvod funkcije u točki u smjeru vektora
i označavaju 
ili 
.
Osim brzine promjene funkcije, također vam omogućuje određivanje prirode promjene funkcije u točki u smjeru vektora 
(povećanje ili smanjenje):
Ove se tvrdnje dokazuju na isti način kao i slične za funkciju jedne varijable.
Imajte na umu da su parcijalne derivacije funkcije poseban slučaj derivacije po smjeru. Naime, 
ovo je derivacija funkcije u smjeru vektora 
(smjer osi 
), je derivacija funkcije u smjeru vektora 
(smjer osi 
).
Pretpostavimo da je funkcija diferencijabilna u točki. Zatim
Gdje 
– infinitezimalno pri 
.
Određivanje
|
kroz 
, imamo
, dobivamo, od točke do točkeDan je dokaz formule za derivaciju složene funkcije. Detaljno su razmotreni slučajevi kada složena funkcija ovisi o jednoj ili dvjema varijablama. Napravljena je generalizacija na slučaj proizvoljnog broja varijabli.
SadržajVidi također: Primjeri korištenja formule za izvod složene funkcije
Osnovne formule
Ovdje donosimo derivaciju sljedećih formula za derivaciju složene funkcije.
Ako tada
.
Ako tada
.
Ako tada
.
Derivacija složene funkcije iz jedne varijable
Neka je funkcija varijable x predstavljena kao složena funkcija u sljedećem obliku:
,
gdje postoje neke funkcije. Funkcija je diferencijabilna za neku vrijednost varijable x. Funkcija je diferencijabilna na vrijednosti varijable.
Tada je kompleksna (kompozitna) funkcija diferencijabilna u točki x i njezina derivacija određena je formulom:
(1)
.
Formula (1) se također može napisati na sljedeći način:
;
.
Dokaz
Uvedimo sljedeću oznaku.
;
.
Ovdje postoji funkcija varijabli i , postoji funkcija varijabli i . No izostavit ćemo argumente ovih funkcija kako ne bismo zatrpali izračune.
Budući da su funkcije i diferencijabilne u točkama x odnosno , tada u tim točkama postoje derivacije tih funkcija, a to su sljedeće granice:
;
.
Razmotrite sljedeću funkciju:
.
Za fiksnu vrijednost varijable u, je funkcija od . Očito je da
.
Zatim
.
Budući da je funkcija diferencijabilna funkcija u točki, ona je kontinuirana u toj točki. Zato
.
Zatim
.
Sada nalazimo izvod.
.
Formula je dokazana.
Posljedica
Ako se funkcija varijable x može prikazati kao složena funkcija složene funkcije
,
onda je njegova derivacija određena formulom
.
Ovdje , i tu su neke diferencijabilne funkcije.
Kako bismo dokazali ovu formulu, sekvencijalno izračunavamo derivaciju pomoću pravila za diferenciranje složene funkcije.
Razmotrite složenu funkciju
.
Njegova izvedenica
.
Razmotrite izvornu funkciju
.
Njegova izvedenica
.
Derivacija složene funkcije iz dvije varijable
Sada neka složena funkcija ovisi o nekoliko varijabli. Prvo pogledajmo slučaju složene funkcije dviju varijabli.
Neka se funkcija koja ovisi o varijabli x predstavi kao složena funkcija dviju varijabli u sljedećem obliku:
,
Gdje
i postoje diferencijabilne funkcije za neku vrijednost varijable x;
- funkcija dviju varijabli, diferencijabilna u točki , . Tada je složena funkcija definirana u određenoj okolini točke i ima derivaciju koja se određuje formulom:
(2)
.
Dokaz
Budući da su funkcije i diferencijabilne u točki, definirane su u određenoj okolini te točke, kontinuirane su u točki i njihove derivacije postoje u točki, a to su sljedeće granice:
;
.
Ovdje
;
.
Zbog kontinuiteta ovih funkcija u točki, imamo:
;
.
Budući da je funkcija diferencijabilna u točki, definirana je u određenoj okolini te točke, kontinuirana je u toj točki, a njezin se prirast može napisati u sljedećem obliku:
(3)
.
Ovdje
- povećanje funkcije kada se njeni argumenti povećavaju za vrijednosti i ;
;
- parcijalne derivacije funkcije po varijablama i .
Za fiksne vrijednosti i , i su funkcije varijabli i . Teže nuli na i:
;
.
Od i , dakle
;
.
Povećanje funkcije:
.
:
.
Zamijenimo (3):
.
Formula je dokazana.
Derivacija složene funkcije iz više varijabli
Gornji zaključak lako se može generalizirati na slučaj kada je broj varijabli složene funkcije veći od dvije.
Na primjer, ako je f funkcija tri varijable, To
,
Gdje
, i postoje diferencijabilne funkcije za neku vrijednost varijable x;
- diferencijabilna funkcija triju varijabli u točki , , .
Tada iz definicije diferencijabilnosti funkcije imamo:
(4)
.
Jer, zbog kontinuiteta,
;
;
,
Da
;
;
.
Dijeleći (4) s i prelazeći na granicu, dobivamo:
.
I na kraju, razmotrimo najopćenitiji slučaj.
Neka je funkcija varijable x predstavljena kao složena funkcija n varijabli u sljedećem obliku:
,
Gdje
postoje diferencijabilne funkcije za neku vrijednost varijable x;
- diferencijabilna funkcija n varijabli u točki
,
,
... , .
Zatim
.
