Konstrukcija Mercatorove projekcije. Misterij Mercatorove karte

Na putovanju pješice ili biciklom, topografska je karta neizostavan suputnik istraživača. Jedan od zadataka kartografija(jedna od disciplina takve znanosti kao geodezija) je slika zakrivljene površine Zemlje (figura Zemlje) na ravnoj karti. Da biste riješili ovaj problem, morate odabrati elipsoid- oblik trodimenzionalnog tijela, približno odgovarajući Zemljina površina, podatak— početna točka koordinatnog sustava (središte elipsoida) i početni meridijan (eng. nulti meridijan) I projekcija- metoda prikazivanja površine ovog tijela na ravnini.

Elipsoidi i datumi

U drugačije vrijeme za konstruiranje karata korištene su različite opcije za prikaz Zemljine površine u obliku sfere ili elipsoida .

Predstavljanje Zemlje kao sfere s polumjerom od 6378137 metara (ili 6367600 metara) omogućuje određivanje koordinata bilo koje točke na zemljinoj površini u obliku dva broja - zemljopisne širine $\phi$ i dužine $\lambda$:

Za zemljinog elipsoida koncept koji se koristi kao (zemljopisna) širina geodetska širina(Engleski) geodetska širina) φ - kut koji čine normala na površinu zemljinog elipsoida u danoj točki i ravnina njegova ekvatora , i normala ne prolazi središtem elipsoida isključujući ekvator i polove:

Vrijednost zemljopisne dužine zemljopisna dužina) λ ovisi o izboru početnog (nultog) meridijana za elipsoid.
Radijus velike (ekvatorijalne) poluosi obično se koristi kao parametar elipsoida a i kompresije f .
Kompresija $f = ((a-b) \preko a)$ određuje spljoštenost elipsoida na polovima.

Jedan od prvih elipsoida bio je Besselov elipsoid(Besselov elipsoid, Bessel 1841), odredio iz mjerenja 1841. Friedrich Bessel ( Friedrich Wilhelm Bessel), s duljinom velike poluosi a= 6377397.155 m i kompresije f = 1:299,152815 . Trenutno se koristi u Njemačkoj, Austriji, Češkoj i nekim azijskim i europskim zemljama.

podatak Potsdam (PD)

Prethodno, za izradu karata u projekciji UTM koristi se međunarodni elipsoid (Međunarodni elipsoid 1924, Hayfordov elipsoid) s duljinom velike (ekvatorijalne) poluosi a= 6378388 m i kompresije f = 1:297,00 , predložio američki geodet John Fillmore Hayford ( 1910. godine.

John Fillmore Hayford

podatak ED 50 (Europski datum 1950)

• elipsoid - Međunarodni elipsoid 1924
• Greenwiški početni meridijan)

Za izvođenje radova na cijelom teritoriju SSSR-a od 1946. (Rezolucija Vijeća ministara SSSR-a od 7. travnja 1946. br. 760) korišten je geodetski koordinatni sustav SK-42 (Pulkovo 1942.), na temelju Elipsoid Krasovskog s duljinom velike (ekvatorijalne) poluosi a= 6378245 m i kompresije f= 1:298,3 . Ovaj referentni elipsoid nazvan je po sovjetskom astronomu-geodetu Feodosiju Nikolajeviču Krasovskom. Središte ovog elipsoida pomaknuto je u odnosu na središte mase Zemlje za otprilike 100 metara kako bi što bolje odgovarao površini Zemlje na europskom teritoriju SSSR-a.

podatak Pulkovo-1942 (Pulkovo 1942)

• elipsoid - Krasovski ( Krassowsky 1940)
• početni meridijan - meridijan u Greenwichu ( Greenwiški početni meridijan)

Trenutno (uključujući u sustavu GPS) elipsoid ima široku primjenu WGS84 (Svjetski geodetski sustav 1984.) s duljinom glavne osovine a= 6378137 m, kompresija f = 1:298,257223563 i ekscentričnost e = 0,081819191 . Središte ovog elipsoida poklapa se sa središtem mase Zemlje.

podatak WGS84 (EPSG:4326)

• elipsoid - WGS84
• Nulti meridijan - referentni meridijan (IERS referentni meridijan (International Reference Meridian)), prolazeći 5,31″ ​​istočno od griničkog meridijana. Od ovog meridijana mjeri se zemljopisna dužina u sustavu GPS(Engleski) GPS zemljopisna dužina)
  

Središte koordinatnog sustava WGS84 poklapa se sa središtem mase Zemlje, osi Z koordinatni sustav je usmjeren na referentni stup (Engleski) IERS referentni stup (IRP) a poklapa se s osi rotacije elipsoida, os x prolazi duž crte sjecišta početnog meridijana i ravnine koja prolazi kroz ishodišnu točku i okomita je na os Z, os Y okomito na os x.

Alternativa elipsoidu WGS84 je elipsoid PZ-90, koji se koristi u sustavu GLONASS, s duljinom velike poluosi a= 6378136 m i kompresije f = 1:298,25784 .

Datumske konverzije

Uz najjednostavniju opciju prijelaza između datuma Pulkovo-1942 I WGS84 potrebno je uzeti u obzir samo pomak središta elipsoida Krasovskog u odnosu na središte elipsoida WGS84:
preporučeno u GOST 51794-2001 —
dX= +00023,92 m; dY= –00141,27 m; dZ= –00080,91 m;
preporučeno u Svjetski geodetski sustav 1984. NIMA, 2000. (enciklopedijska natuknica). —
dX= +00028 m; dY= –00130 m; dZ= –00095 m.
Treba napomenuti da su gore navedene prosječne vrijednosti koeficijenata, koje se za točniju pretvorbu moraju izračunati za svaku točku na zemljinoj površini pojedinačno. Na primjer, za Poljsku, susjednu Bjelorusiju, ovi parametri su sljedeći:
dX= +00023 m; dY= –00124 m; dZ= –00082 m (prema podacima )
Ova transformacija se zove troparametarski.
Točnijom transformacijom ( transformacija Molodenskog) potrebno je uzeti u obzir razliku između oblika elipsoida, koju određuju dva parametra:
da- razlika između duljina velikih poluosi, df— razlika između kompresijskih omjera (razlika u spljoštenosti). Njihove vrijednosti su iste za GOST I NIMA:
da= – 00108 m; df= + 0,00480795 ⋅ 10 -4 m.

Prilikom prijelaza između datuma ED 50 I WGS84 Parametri konverzije su:
da= – 00251 m; df= - 0,14192702 ⋅ 10 -4 m;
za Europu dX= -87 m; dY= –96 m; dZ= –120 m (prema Korisnički priručnik o transformacijama podataka koji uključuju WGS-84, 3. izdanje, 2003. ).

Skup od navedenih pet parametara ( dX, dY, dZ, da, df) može se unijeti u navigator ili navigacijski program kao karakteristika podatka koji koristi korisnik.

Projekcije

Način prikazivanja trodimenzionalne zemljine površine na dvodimenzionalnoj karti određen je odabranim kartografska projekcija.
Najpopularniji ( normalan) cilindrična Mercatorova projekcija i takva sorta kao transverzalna cilindrična Mercatorova projekcija (Poprečni Mercator).

Za razliku od već stoljećima poznate normalne Mercatorove projekcije, koja je posebno dobra za oslikavanje ekvatorijalnih područja, poprečna projekcija razlikuje se po tome što je cilindar na koji se projicira površina planeta zakrenut za 90°:

Cilindrična Mercatorova projekcija

Sferna Mercatorova projekcija

Za sfernu projekciju vrijede sljedeće formule za pretvaranje zemljopisne širine $\phi$ i dužine $\lambda$ točke na površini zemljine sfere (u radijanima) u pravokutne koordinate $x$ i $y$ na karti (u metrima):
$x = (\lambda - (\lambda)_0) \cdot R$ ;
$y = arcsinh (\tan (\phi)) \cdot R =\ln ( (\tan( ((\phi \preko 2) + (\pi \preko 4) )) )) \cdot R$
(formula logaritamskog tangensa) ,
gdje je $R$ radijus sfere, $(\lambda)_0$ je dužina početnog meridijana.
Faktor mjerila $k$ predstavlja omjer udaljenosti duž mreže karte. udaljenost mreže) do lokalne (geodetske) udaljenosti (eng. geodetska udaljenost):
$k = (1 \preko (\cos \phi))$.
Obrnuti prijevod provodi se pomoću sljedećih formula:
$\lambda = (x \preko R) + (\lambda)_0 $ ;
$ \phi = (\pi \preko 2) - 2 \arctan(e^(-y \preko R)) $ .
Važna značajka Mercatorove projekcije za navigaciju je ta linija rumbe(Engleski) loksodroma) ili roxodrome (eng. loksodrom) je prikazan kao ravna linija.
Loksodrom je luk koji siječe meridijane pod istim kutom, tj. put s konstantom ( roksodromski) kut staze.
Kut staze, PU(Engleski) naslov) je kut između sjevernog smjera meridijana na mjestu mjerenja i smjera linije staze, mjeren u smjeru kazaljke na satu od smjera prema geografskom sjeveru (0° se koristi za označavanje smjera kretanja prema sjeveru, 90° do istok).
Loksodromi su spirale koje prave neograničen broj zavoja dok se približavaju polovima.

Treba napomenuti da roksodrom nije najkraći put između dviju točaka − ortodroma, luk veliki krug povezujući ove točke .

Web Mercator

Varijantu Mercatorove sferne projekcije koriste mnogi kartografski servisi, npr. OpenStreetMap, Google Maps, Bing Maps.

U OpenStreetMap karta svijeta je kvadrat s koordinatama točaka duž osi x I g, koji leži između -20,037,508.34 i 20,037,508.34 m. Kao rezultat toga, takva karta ne prikazuje područja koja leže sjeverno od 85.051129° sjeverne zemljopisne širine i južno od 85.051129° južne širine. Ova vrijednost geografske širine $\phi_(max)$ rješenje je jednadžbe:
$\phi_(max) = 2\arctan(e^\pi) — (\pi\preko 2) $ .
Kao i svaka karta sastavljena u Mercatorovoj projekciji, karakteriziraju je iskrivljenja područja, koja se najjasnije očituju usporedbom Grenlanda i Australije prikazanih na karti:

Prilikom crtanja karte u OpenStreetMap koordinate (geografska širina i dužina) na elipsoidu u sustavu WGS84 projiciraju se na ravninu karte kao da su te koordinate definirane na sferi polumjera R = a= 6.378.137 m(reprojekcija) - sferni prikaz elipsoidnih koordinata (" sferni razvoj elipsoidnih koordinata"). Ova projekcija, tzv Web Mercator) odgovara EPSG (European Petroleum Survey Group) šifra 3857 (" WGS 84/Pseudo-Mercator«).
Ponovno projektiranje iz EPSG:4326 V EPSG:3857($\phi ,\lambda \rightarrow x,y $) implementira se prema gornjim formulama za uobičajenu sfernu Mercatorovu projekciju.
Na takvoj karti smjer sjevera uvijek odgovara smjeru na gornju stranu karte, a meridijani su okomite crte na jednakom razmaku jedna od druge.
Ali takva projekcija, za razliku od sferne ili eliptične Mercatorove projekcije, nije str jednokutni ( konforman), linije rumbe u njoj nisu ravne. Rumba linija (loksodrom) je linija koja siječe meridijane pod stalnim kutom.
Prednost projekcije koja se razmatra je jednostavnost izračuna.

U navedenoj projekciji kartu je moguće nacrtati s pravokutnom koordinatnom mrežom (prema vrijednostima zemljopisne dužine i širine).
Referenciranje karte (usporedba pravokutnih koordinata na karti i geografskih koordinata na terenu) može se izvršiti pomoću $N$ točaka s poznatim koordinatama. Za to je potrebno riješiti sustav od $2 N$ jednadžbi oblika
$X = \rho_(\lambda) \lambda - X_0$ , $Y = arcsinh (\tan (\phi)) \cdot \rho_(\phi) - Y_0 $ .
Za rješavanje sustava jednadžbi i određivanje vrijednosti parametara $X_0$ , $Y_0$ , $\rho_(\lambda)$ , $\rho_(\phi)$ možete koristiti, na primjer, matematički paket Mathcad.
Da biste provjerili ispravnost povezivanja karte, možete odrediti omjer duljina stranica pravokutnika izgrađene mreže. Ako vodoravna i okomita stranica pravokutnika odgovaraju istoj kutnoj duljini po dužini i širini, tada je omjer duljine vodoravne stranice (luk paralele - mali krug) i duljine okomite stranice (luk meridijana - veliki krug). ) treba biti jednak $\cos \phi$, gdje je $ \phi$ geografska širina mjesta.

Eliptična Mercatorova projekcija

Eliptična Mercatorova projekcija ( EPSG:3395 — WGS 84/Svjetski Mercator) koriste, na primjer, usluge Yandex karte,Svemirske fotografije.
Za eliptičnu projekciju vrijede sljedeće formule za pretvaranje zemljopisne širine $\phi$ i dužine $\lambda$ točke na površini zemljine sfere (u radijanima) u pravokutne koordinate $x$ i $y$ na karti (u metrima):
$x = (\lambda - (\lambda)_0) \cdot a$ ;
$y = a \ln (\tan ((\pi \preko 4) + (\phi \preko 2)) (((1 - e \sin (\phi)) \preko (1 + e \sin (\phi ))))^(e \preko 2)) $ ,
gdje je $a$ duljina velike poluosi elipsoida, $e$ je ekscentricitet elipsoida, $(\lambda)_0$ je dužina početnog meridijana.
Faktor skale $k$ dan je sa:
$k = ((\sqrt ((1 - (e^2) (((\sin \phi))^2)))) \preko (\cos \phi)) $ .
Obrnuti prijevod provodi se pomoću sljedećih formula:
$\lambda = (x \preko a) + (\lambda)_0 $ ;
$ \phi = (\pi \preko 2) — 2 \arctan(e^(-y \preko a) (((1 — e \sin (\phi)) \preko (1 + e \sin (\phi) )))^(e \preko 2)) $ .
Zemljopisna širina izračunava se iterativnom formulom, a kao prva aproksimacija treba koristiti vrijednost zemljopisne širine izračunatu pomoću formule za sferičnu Mercatorovu projekciju.

Transverzalna cilindrična Mercatorova projekcija

Dvije najčešće korištene vrste poprečne Mercatorove projekcije su Gauss-Krugerova projekcija. Gauss-Krüger) (postala raširena na području bivšeg SSSR-a) i univerzalna transverzalna Mercatorova projekcija (eng. Univerzalni transverzalni Mercator (UTM)).
Za obje projekcije, cilindar na koji se projekcija odvija pokriva Zemljin elipsoid duž meridijana tzv. središnji (aksijalni) meridijan ( Engleski središnji meridijan, ishodište zemljopisne dužine) zonama. Zona(Engleski) zona) je dio zemljine površine omeđen dvama meridijanima s razlikom u dužini od 6°. Ukupno ima 60 zona. Zone u potpunosti pokrivaju Zemljinu površinu između geografskih širina 80°S i 84°N.
Razlika između ove dvije projekcije je u tome što je Gauss-Krugerova projekcija projekcija na tangentni cilindar, a univerzalna transverzalna Mercatorova projekcija je projekcija na sekantni cilindar (kako bi se izbjegle distorzije na krajnjim meridijanima):

Gauss-Krugerova projekcija

Gauss-Krugerovu projekciju razvili su njemački znanstvenici Carl Gauss i Louis Kruger.
U ovoj projekciji zone su numerirane od zapada prema istoku, počevši od meridijana 0°. Na primjer, zona 1 proteže se od meridijana 0° do meridijana 6°, njen središnji meridijan je 3°.
U sovjetskom sustavu rasporeda i nomenklature topografskih karata zone se nazivaju stupcima i numeriraju se od zapada prema istoku, počevši od meridijana od 180°.
Na primjer, Gomel i njegova okolica pripadaju zoni 6 (stupac 36 ) sa središnjim meridijanom od 33°.
Zone/stupci podijeljeni su paralelama u redove (svakih 4°), koji su označeni velikim slovima latiničnim slovima iz A prije V, počevši od ekvatora prema polovima.
Na primjer, Gomel i njegova okolica pripadaju seriji N. Dakle, puni naziv lista karte u mjerilu 1:1.000.000 (10 km u 1 cm), koji prikazuje Gomel, izgleda ovako N-36. Ovaj list je podijeljen na listove karata većeg mjerila:


Za Bjelorusiju i susjedne zemlje raspored je sljedeći:

Za određivanje položaja točke pomoću topografske karte, na kartu se primjenjuje mreža pravokutnih koordinata x I Y, izraženo u kilometrima. Tvori ga sustav linija paralelnih sa slikom aksijalnog meridijana zone (okomite crte mreže, osi x) i okomito na njega (vodoravne crte mreže, osi Y).
Na karti u mjerilu 1:200 000 razmak između linija mreže je 4 km; na karti mjerila 1:100 000 - 2 km.
Koordinirati x označen je na okomitim rubovima lista karte i izražava udaljenost do ekvatora, a koordinata Y potpisuje se na vodoravnim rubovima lista karte i sastoji se od broja zone (prva jedna ili dvije znamenke vrijednosti) i položaja točke u odnosu na središnji meridijan zone (zadnje tri znamenke vrijednosti, pri čemu je središnjem meridijanu zone dodijeljena vrijednost od 500 km).


ulomak lista N36-123 Sovjetski topografska karta mjerilo 1:100 000

Na primjer, na gornjem fragmentu karte natpis 6366 blizu okomite rešetke znači: 6 — 6. zona, 366 je udaljenost u kilometrima od aksijalnog meridijana, konvencionalno pomaknuta prema zapadu za 500 km, a natpis 5804 u blizini vodoravne mrežne crte označava udaljenost od ekvatora u kilometrima.

Univerzalna transverzalna Mercatorova projekcija

Univerzalni poprečni Mercator ( UTM) razvio je Inženjerski zbor američke vojske ( Inženjerski korpus vojske Sjedinjenih Država) 1940-ih.

Konstruirati karte u projekciji UTM prije se koristio elipsoid Međunarodni 1924— neto UTM (međunarodni), a trenutno - elipsoid WGS84— neto UTM (WGS84).
U ovoj projekciji zone su numerirane od zapada prema istoku, počevši od meridijana od 180°.
Ovaj sustav koriste oružane snage SAD-a i NATO-a. oružane snage Sjedinjenih Država i NATO-a):

Svaka je zona podijeljena na vodoravne pruge svakih 8° geografske širine. Ove pruge su označene slovima, od juga prema sjeveru, počevši od slova C za geografsku širinu 80° S a završava slovom x za zemljopisnu širinu 84° N. pisma ja I O izostavljen kako bi se izbjegla zabuna s brojevima 1 i 0. Traka označena slovom x, zauzima 12° geografske širine.
Zona u ovoj projekciji označena je brojem. zona dužine) i slovo (kanal širine, engleski. zona širine):


Ova slika prikazuje dvije nestandardne zone zemljopisne dužine - zonu 32V prošireno da pokrije cijelu južnu Norvešku, a područje 31V skraćeno da pokrije samo vodu.
Za Gomel i njegovu okolicu zona je označena kao 36U sa središnjim meridijanom od 33°:

Zona je pokrivena pravokutnom (kilometarskom) mrežom (mreža prema Universal Transverse Mercator Projection, UPPM):


Duljina stranice mrežnog kvadrata u gornjem fragmentu karte je 10 km.

Ishodište koordinatnog sustava za svaku zonu određeno je sjecištem ekvatora i središnjeg meridijana zone.
Koordinirati E (Plovidba na istok) na takvoj mreži predstavlja udaljenost na karti od središnjeg meridijana u metrima (prema istoku - pozitivno, prema zapadu - negativno), čemu se dodaje + 500 000 metara (eng. Lažni Easting
Koordinirati N (Sjever) na takvoj mreži predstavlja udaljenost na karti od ekvatora u metrima (prema sjeveru - pozitivno, prema jugu - negativno), a u Južna polutka ova se udaljenost oduzima od 10.000.000 metara. False Northing) kako biste izbjegli pojavu negativnih vrijednosti.
Na primjer, za donji lijevi kut mrežnog kvadrata na gornjoj karti, koordinate su napisane kao
36U(ili 36+ ) 380000 5810000 ,
Gdje 36 — zona dužine, U — zona širine, 380000 — plovidba na istok, 5810000 — sjevernjača.

Pretvorite zemljopisnu širinu i dužinu u koordinate UTM ilustrirano slikom:

P— točka koja se razmatra
F- točka sjecišta okomice spuštene na središnji meridijan iz točke P, sa središnjim meridijanom (točka na središnjem meridijanu s istim sjevernjača, kao točku koja se razmatra P) . Širina točke F(Engleski) zemljopisna širina otiska) označava se kao $\phi ‘ $ .
O- ekvator
OZ- središnji meridijan
LP- paralelna točka P
ZP— meridijan točke P
OL = k 0 S- meridijanski luk od ekvatora
OD = N — sjevernjača
FP = E — plovidba na istok
GN— smjer prema sjeveru mreže karte (eng. grid sjever)
C- kut konvergencije meridijana (eng. konvergencija meridijana) - kut između smjera pravog sjevera (eng. pravi sjever) i sjeverno od mreže karte

Prilikom transformacije pravokutnih koordinata ( x, Y) za Gauss-Krugerovu projekciju na elipsoid WGS84 na pravokutne koordinate ( N, E) za univerzalnu transverzalnu Mercatorovu projekciju na isti elipsoid WGS84 potrebno je uzeti u obzir faktor razmjera faktor razmjera) $k_0 = 0,9996 $ :
$ N = X \cdot k_0 $ ;
$ E = Y_0 + Y \cdot k_0 $,
gdje je $Y_0 = 500 000 $ metara.

Navedeni faktor skale $k_0 = 0,9996 $ vrijedi samo za središnji meridijan zone. Kako se udaljavate od aksijalnog meridijana, faktor razmjera se mijenja.

Bilješka. Greška u čitanju koordinata s karte ( točnost georeferenciranja) obično se uzima za ±0,2 mm. Upravo to je točnost uređaja koji se koriste za izradu analogne karte.

Geoid

Treba napomenuti da je točnija aproksimacija površine našeg planeta geoid(Engleski) geoid) je ekvipotencijalna ploha polja zemljine teže, tj. ploha geoida je posvuda okomita na visak. Ali gravitacija je određena vektorskim zbrojem gravitacijske sile sa Zemlje i centrifugalne sile povezane s rotacijom Zemlje, tako da se gravitacijski potencijal ne poklapa s čisto gravitacijskim potencijalom.
Geoid se podudara s prosječnom razinom Svjetskog oceana, u odnosu na koji se mjeri nadmorske visine.
Geoid ima složen oblik koji odražava raspodjelu masa unutar Zemlje, pa se za rješavanje geodetskih problema geoid zamjenjuje elipsoidom revolucije. Najmoderniji matematički model geoida je EGM2008, koji je zamijenio popularni model EGM96.

Nastavit će se.

Pogledajte ovu kartu i recite mi koji je teritorij veći: Grenland, označen bijelom bojom, ili Australija, označen narančastom bojom? Čini se da je Grenland barem tri puta veći od Australije.

No, gledajući referentnu knjigu, iznenađeni smo kada pročitamo da je područje Australije 7,7 milijuna km 2, a područje Grenlanda samo 2,1 milijuna km 2. Tako se Grenland čini tako velik samo na našoj karti, ali u stvarnosti jest manje od Australije otprilike tri i pol puta. Uspoređujući ovu kartu s globusom, možete vidjeti da što je teritorij dalje od ekvatora, to je više razvučen.

Karta koju gledamo napravljena je pomoću kartografska projekcija, koji je u 16. stoljeću izumio flamanski znanstvenik Gerardus Mercator. Živio je u doba kada su se gradili novi trgovački putovi preko oceana. Kolumbo je 1492. otkrio Ameriku, a prvi obilazak svijeta pod vodstvom Magellana odvijala se 1519–1522 - kada je Mercatoru bilo 10 godina. Otvorena zemljišta morala su biti ucrtana na karte, a za to je bilo potrebno naučiti kako prikazati okruglu Zemlju na ravnoj karti. I karte su morale biti izrađene tako da kapetanima budu zgodne za njihovu upotrebu.

Kako kapetan koristi kartu? On iscrtava kurs duž njega. Pomorci 13.–16. stoljeća koristili su se portolanima - kartama koje su prikazivale bazen Sredozemno more, kao i obale Europe i Afrike izvan Gibraltara. Takve karte bile su označene mrežom loksmoda – linija stalnog smjera. Neka kapetan mora ploviti pučinom od jednog otoka do drugog. On prisloni ravnalo na kartu, odredi kurs (na primjer, "na jug-jugoistok") i daje kormilaru nalog da drži ovaj kurs prema kompasu.

Mercatorova ideja bila je sačuvati princip ucrtavanja kursa pomoću ravnala i na karti svijeta. To jest, ako držite konstantan smjer na kompasu, tada će put na karti biti ravan. Ali kako to učiniti? I tu matematika dolazi u pomoć kartografu. Mentalno izrežite globus na uske trake duž meridijana, kao što je prikazano na slici. Svaka takva traka može se razviti na ravnini bez puno izobličenja, nakon čega će se pretvoriti u trokutastu figuru - "klin" sa zakrivljenim stranama.

Međutim, ispada da je globus seciran, a karta bi trebala biti kontinuirana, bez rezova. Da bismo to postigli, svaki klin podijelimo na "gotovo kvadrate". Da biste to učinili, iz donje lijeve točke klina nacrtajte segment pod kutom od 45° na desnu stranu klina, odatle nacrtajte vodoravni rez na lijevu stranu klina - odrežite prvi kvadrat . Od točke gdje rez završava, ponovno nacrtamo segment pod kutom od 45° na desnu stranu, zatim vodoravni segment nalijevo, odsijecajući sljedeći "skoro kvadrat" i tako dalje. Ako je izvorni klin bio vrlo uzak, "gotovo kvadrati" će se samo malo razlikovati od pravih kvadrata, budući da će njihove stranice biti gotovo okomite.

Dovršimo posljednje korake. Poravnajmo “gotovo kvadrate” u prave kvadratni oblik. Kao što razumijemo, izobličenja se mogu učiniti koliko god malima smanjenjem širine klinova na koje režemo globus. Postavimo u jedan red kvadratiće koji su uz ekvator na globusu. Na njih ćemo redom postaviti sve ostale kvadrate, prvo ih razvući na veličinu ekvatorskih kvadrata. Rezultat je mreža kvadrata iste veličine. Istina, u ovom slučaju paralele koje su jednako razmaknute na karti više neće biti jednako razmaknute na globusu. Uostalom, što je izvorni kvadrat na globusu bio dalje od ekvatora, većem je povećanju doživio kada je prebačen na kartu.

Međutim, kutovi između pravaca ovakvom konstrukcijom ostat će neiskrivljeni, jer je svaki kvadrat praktički promijenio samo mjerilo, a pravci se ne mijenjaju ni kad se slika jednostavno poveća. A upravo to je želio Mercator kad je smislio svoju projekciju! Kapetan može ucrtati svoj kurs na karti pomoću ravnala i voditi svoj brod tim kursom. U tom slučaju, brod će ploviti duž linije koja ide pod istim kutom prema svim meridijanima. Ova linija se zove roksodrom .

Plivanje duž loksodroma vrlo je zgodno jer ne zahtijeva nikakve posebne izračune. Istina, roksodrom nije najkraća linija između dviju točaka na zemljinoj površini. Takva najkraća crta može se odrediti povlačenjem konca na globusu između tih točaka.

Umjetnik Evgeniy Panenko

Mercatorova projekcija

Konformnu cilindričnu projekciju prvi je predložio i upotrijebio 1569. nizozemski kartograf Mercator.

Da bismo izveli formule za ovu projekciju, najprije odredimo mjerilo pomoću paralela u najjednostavnijoj cilindričnoj projekciji u takozvanoj kvadratnoj projekciji. U ovoj projekciji meridijani i paralele povučeni kroz isti broj stupnjeva zemljopisne dužine i širine čine mrežu kvadrata na karti, a duljine duž svih meridijana i ekvatora su sačuvane (ekvidistantna projekcija).

Neka su PC0A0 i PD0B0 (sl. 1) meridijani na globusu radijusa R s infinitezimalnom razlikom u dužini, a ravne linije

Riža. 1. Dva meridijana i dvije paralele na globusu i na karti u cilindričnoj projekciji

CA i DB su odgovarajući meridijani na karti u kvadratnoj projekciji.

Tada će infinitezimalni segment C0D0 proizvoljne paralele s zemljopisnom širinom i radijusom r na globusu odgovarati infinitezimalnom segmentu CD na karti, a mjerilo duž paralele

CD = AB = A0 B0 ,

Gdje je A0B0 luk ekvatora.

Kako je omjer lukova kružnica jednak omjeru njihovih polumjera, tada

Iz OS 0S", Gdje OS 0S"= Imamo

Stoga,

Iz formule je jasno da paralelno mjerilo u kvadratnoj projekciji varira od jedinice do beskonačnosti, a jednako je jedinici na ekvatoru (at = 0°), a beskonačno u polarnoj točki (at = 90°). Pol u kvadratnoj projekciji predstavljen je ravnim segmentom koji je jednak duljini ekvatoru.

E sad, da bi se mjerilo duž meridijana izjednačilo s mjerilom duž paralela (m=n), tj. da bi se prešlo iz kvadratne projekcije u konformnu (od distorzijskih elipsa do kružnica), potrebno je rastegnuti meridijane. kvadratne projekcije u svakoj točki onoliko puta koliko su puta paralele te projekcije uvećane u odnosu na odgovarajuće paralele globusa, tj. puta. Posljedično, za transformaciju, kao prve aproksimacije, kvadratne kartografske mreže u kartografsku mrežu konformne projekcije, potrebno je pomnožiti segmente meridijana OA, AB, BC itd. (Sl. 2) u skladu s tim.

Riža. 2. Transformacija kvadratne projekcije u konformnu cilindričnu

s 1, 2, 3, itd., gdje su 1, 2, 3 zemljopisne širine središta ovih segmenata, redom. Tada će meridijanski segment OS1 u konformnoj projekciji, koji odgovara segmentu OS u kvadratnoj projekciji, biti prikazan izrazom

OS1 = OA1 + A1 B1, + B1C1 = OA 1 + AB 2 + prije Krista 3 ,

A budući da segmenti

OA = AB = BC,

OS 1 =OA (1 +2 +3).

Segment meridijana OS 1 bit će točnije određen što su manji segmenti koji ga sačinjavaju, budući da protezanje meridijana mora biti neprekidno od ekvatora do dane paralele.

Najtočniji rezultat dobit će se kada se segment meridijana D u Mercatorovoj projekciji sastoji od zbroja beskonačno velika količina infinitezimalne količine

,

Gdje Dx- infinitezimalni segment meridijana u kvadratnoj projekciji,

dd- odgovarajući infinitezimalni segment meridijana u Mercatorovoj konformnoj projekciji. Ali zbog postojanosti mjerila duž meridijana u kvadratnoj projekciji, segment

Zbroj infinitezimalnih veličina u višoj matematici naziva se integral. Uzimanje integrala obiju strana jednakosti znači uzimanje zbroja infinitezimalnih vrijednosti tih dijelova jednakosti unutar određenih granica.

Integral izraza unutar vrijednosti zemljopisne širine od 0 do Zapišimo to ovako

Kao rezultat integracije na lijevoj strani jednakosti, dobivamo segment meridijana D; desna strana jednakosti je tablični integral jednak

Dakle, segment meridijana

,

gdje je C konstanta integracije.

Vrijednost C mora biti konstantna za sve geografske širine, pa se može lako odrediti uzimajući = 0°. Na = 0°, paralela odgovara ekvatoru, za koji je D = 0, tj.

Stoga,

Prelazeći s prirodnog logaritma na decimalni i izražavajući D u mjerilu glavne karte iu centimetrima, imat ćemo konačnu radnu formulu za izračunavanje segmenta meridijana D u konformnoj cilindričnoj projekciji za loptu

(29)

Gdje Mod=0,4343.

Formula pokazuje da je segment meridijana D za pol ( = 90°) jednak beskonačnosti, odnosno da pol neće biti prikazan na karti u ovoj projekciji.

Uzimajući Zemlju kao elipsoid, imat ćemo formulu

(30)

Gdje je a radijus ekvatora Zemljinog elipsoida (izražen u metrima),

U je ista vrijednost kao u formuli (22) jednakokutne koničke projekcije.

Udaljenosti između meridijana u konformnoj projekciji, kao iu kvadratnoj projekciji, određuju se formulom

Gdje je izraženo u radijanima. Uzimajući Zemlju kao elipsoid i izražavajući to u mjerilu glavne karte iu centimetrima, imat ćemo

Ova se formula često piše u obliku

(31)

Gdje U- udaljenost od srednjeg meridijana karte do onog koji se određuje,

°-razlika između dužina prosječnog i utvrđenog meridijana, izražena u stupnjevima, °=57°,3.

Očito, distorzije u konformnoj cilindričnoj projekciji na tangentni cilindar bit će izražene formulama

(32)

Za izračunavanje odsječaka meridijana D, ordinata y i mjerila u konformnoj cilindričnoj projekciji na sekantni cilindar, radne formule će imati oblik

(34)

(35)

(37)

Gdje je r0 radijus paralelnog odsječka s geografskom širinom 0 na Zemljinom elipsoidu,

r-radijus paralele sa zemljopisnom širinom na Zemljinom elipsoidu, prema kojem se određuje mjerilo,

Glavno mjerilo karte,

° - razlika u dužini srednjeg i određenog meridijana, izražena u stupnjevima.

Mreža karte u Mercatorovoj projekciji

Za konstruiranje kartografske mreže u Mercatorovoj projekciji i ucrtavanje referentnih točaka na karti koja se sastavlja potrebno je poznavati pravokutne koordinate (odsjek meridijana D i ordinata y) sjecišta meridijana i paralela i referentnih točaka.

Prosječna vrijednost D za argument zemljopisne širine odabire se iz posebnih tablica koje je sastavila Hidrografska uprava mornarice, a vrijednost y izračunava se pomoću formule (35).

Ishodište koordinata na pomorskim kartama uzima se kao točka sjecišta srednjeg meridijana i glavne paralele morskog bazena za koji se karte izrađuju. Ova paralela je paralelna dionica, a njezino mjerilo je jednako jedinici.

Poznavajući pravokutne koordinate vrhova uglova okvira lista karte, pronađite dimenzije stranica ovog okvira kao razliku u segmentima meridijana D za južne i sjeverne paralele i razliku u vrijednostima y za zapadni i istočni meridijan. Na temelju pronađenih dimenzija stranica gradi se pravokutnik (unutarnji okvir lista), koji će biti osnova za konstruiranje međumeridijana i paralela karte, kao i za crtanje referentnih točaka.

Meridijani i paralele u Mercatorovoj projekciji prikazuju se kao paralelne i međusobno okomite ravne linije, pa je za njihovu konstrukciju dovoljno odrediti odsječke meridijana D. Za točke presjeka paralela karte s osi X i ordinatom y za točke sjecišta meridijana karte s osi Y. Kada se pronađu ove vrijednosti, odredite razlike D - Dyu i y - y3 za navedene točke. Ovdje je Dyu meridijanski segment južnog paralela, a uz je ordinata zapadnog meridijana. Te se razlike polažu od vrha jugozapadnog kuta okvira duž zapadne i južne strane, a linije se povlače kroz točke taloženja, paralelno s južnom odnosno bočnom stranom, što će biti paralele i meridijani karte. .

Slika 3 Mreža karte u konformnoj cilindričnoj projekciji (Mercator)

Na sl. Slika 3 prikazuje mrežu karte u konformnoj cilindričnoj projekciji (na tangentni cilindar) za sliku Globus. Vrijednosti ljestvice u ovoj projekciji dane su u tablici 4.

Tablica 4

Vage u konformnoj cilindričnoj Mercatorovoj projekciji.

Zbog činjenice da je Mercatorova projekcija jednakokutna, a meridijani su u njoj prikazani kao paralelne ravne linije, ona ima jedan izvanredna imovina: Linija koja siječe sve meridijane pod istim kutom prikazana je kao ravna crta u ovoj projekciji. Ova se linija naziva roksodrom. Brod u kretanju, ako uz pomoć kompasa drži isti kurs, zapravo prati roksodrom. Ovo svojstvo Mercatorove projekcije dovelo je do njene široke upotrebe za pomorske karte.

Riža. 4. Ortodroma i roksodroma na karti u Mercatorovoj projekciji

Ortodroma i roksodroma

Pomoću karte izrađene u Mercatorovoj projekciji lako je i jednostavno označiti putanju broda i odrediti njegov stalni kurs, odnosno smjer u kojem se mora kretati da bi stigao s jedne točke na drugu. Stalni kurs broda određuje se tako da se kutomjerom izmjeri kut između pravca koji povezuje te točke na karti i jednog od meridijana.

Međutim, treba napomenuti da se s velikim razmakom između točaka A i B (sl. 4.) loksodroma na sferi značajno udaljava od ortodrome (najkraće udaljenosti između tih točaka), koja je u projekciji

Riža. 5. Ortodroma i roksodrom između New Yorka i Moskve na karti u Mercatorovoj projekciji.

Mercator je predstavljen zakrivljenom linijom. U ovom slučaju, navigator upravlja brodom ne duž jednog kursa, već duž nekoliko, mijenjajući smjer kretanja u određenim točkama (a i b). Putanja broda bit će prikazana na karti u obliku isprekidanih linija tetiva upisanih u ortodromu. U odnosu na crtež, brod od točke A do točke Aće ići ispod azimuta od točke A do točke b - pod azimutom, od točke b do krajnje točke B - pod azimutom.

Radi jasnoće, možemo naznačiti (slika 5) da je između New Yorka i Moskve duljina ortodrome 7507 km, a loksodroma 8371 km, tj. razlika između njihovih duljina je 864 km. Najveća udaljenost između točaka loksodroma i ortodrome ovdje doseže 1650 km.

Druga pogodnost Mercatorove projekcije u njezinoj uporabi za pomorske navigacijske karte je ta što vam omogućuje jednostavno, s dovoljnom točnošću za praksu, određivanje udaljenosti u nautičkim miljama s karte, bez pribjegavanja konstrukciji posebnih mjerila, već koristeći samo podjele (u stupnjevi ili minute) ispisani na stranama okvira kartice. Nautička milja jednaka je 1852 m, što približno odgovara prosječnoj dužini luka meridijana od jedne minute.

Ako je, na primjer, s karte potrebno odrediti udaljenost AB u nautičkim miljama (sl. 42), tada, nakon uklanjanja segmenta AB otopinom kompasa, prislonite kompas na najbližu stranu okvira karte tako da sredina segmenta - točka C - nalazi se na prosječnoj geografskoj širini točaka A i B (u točki C1). Broj meridijanskih minuta izračunat unutar ovog segmenta će izraziti udaljenost AB u nautičkim miljama (na slici 6, segment A B = 215 milja).

Zaključno, treba napomenuti da se pri izradi topografskih i geodetsko-topografskih karata različitih mjerila kao kartografski materijal široko koriste razne pomorske karte sastavljene u konformnoj cilindričnoj projekciji. Stoga je poznavanje značajki ove projekcije od velike praktične važnosti.

Riža. 6. Određivanje udaljenosti AB u miljama s karte u Mercatorovoj projekciji

Vježbajte

Izračunajte odsjek meridijana D i ordinatu "y" u konformnoj cilindričnoj projekciji na tangentni cilindar za točku c zemljopisne koordinate= 30°, 35° (od prosječnog meridijana uzetog kao X os) na = 1:5000000. elipsoid Krasovskog.

Konformna cilindrična projekcija - 5.0 od 5 na temelju 1 glasa

Omogućuje vam prekrivanje obrisa zemalja na drugim teritorijima, uzimajući u obzir kompenzaciju za izobličenja Mercatorove projekcije. Ova je projekcija nekoć stvorena za navigacijske svrhe - da bi bila točna međusobni dogovor teritorije duž osi “sjever-jug” i “zapad-istok”. Međutim, to ima svoj nedostatak - što je bliže polovima, veća je distorzija. Druge projekcije također imaju ozbiljne distorzije. Zbog toga naša percepcija geografska karta je također značajno iskrivljen - recimo, Grenland na karti Mercatorove projekcije zauzima površinu tri puta veću od Australije, iako je u stvarnosti 3,5 puta manja (!). I što je bliže ekvatoru, to je manja relativna veličina zemalja.

Općenito, na ovoj stranici možete izvoditi sve vrste zanimljivih trikova i gledati metamorfoze različite zemlje u prekrivanju. Čak je iznenađujuće da se takva stranica nije pojavila ranije - osnovna ideja je tako dobra. Ponekad dobijete nevjerojatne efekte koji razbijaju uobičajene obrasce. Alternativno, zemlja se može rotirati u krug, u kojem slučaju će se također uzeti u obzir kompenzacije projekcije.

Da vidimo neke efekte.
Evo, na primjer, sloja nekih europskih zemalja na indonezijskim otocima. Pogledajte kako skromno velika Francuska izgleda na Kalimantanu (desno). Češka je superponirana na južnu Maleziju i Singapur (u sredini), s Norveškom na Sumatri s lijeve strane. Vrlo dugačak u europskim razmjerima, zapravo je tek nešto duži od otoka Sumatre.

2. Kina u istočnoj Euroaziji. Ako to popraviš zapadna granica na liniji Tallinn - Prag, zatim će istok (Mandžurija) biti istočno od Novosibirska, a poluotok Liaodong bit će negdje u regiji Astana. Hainan će biti u središnjem Iranu.

3. Australija u istočnoj Euroaziji. Tu je najjasnije vidljiva kompenzacija Mercatorove projekcije: ona se proteže od Münchena do Čeljabinska, a još više od juga prema sjeveru. Ovdje možete vidjeti kakvih kolosalnih pustinjskih teritorija ima u Australiji - ne manje od zaleđenih prostranstava Sibira, jer je naseljen više-manje samo na jugoistoku i uskim pojasom na zapadu.

4. Meksiko o Europi. Od francuskog Bresta skoro do Nižnji Novgorod. A meksička Kalifornija proteže se od Normandije do Venecije.

5. Indonezija u istočnoj Euroaziji. Duljina otoka jednaka je udaljenosti od Sjeverne Irske do središnjeg Kazahstana, a sam Kalimantan lako pokriva cijelu baltičku regiju s ruskim sjeverozapadom.

6. Sjedinjene Države u istočnoj Euroaziji. Iz Tallinna - više nego u Krasnoyarsk!

7. Kazahstan o Europi. Također, općenito, vrlo respektabilno: od zapadne Francuske gotovo do Harkova. Pokriva veći dio kontinentalne Europe.

8. Iran u sjevernoj Europi: od norveških Lofota do Kazana :)

9. Vijetnam u europskoj Rusiji. Okomito je jednaka udaljenosti vlaka br. 7 Lenjingrad - Sevastopolj, ali vodoravno također ništa: od Moskve do Čeljabinska, i to zakrivljeno.

Druge zanimljive usporedbe.

10. Kamčatka i Velika Britanija. Prilično je mala: od rta Lopatka do Palane.

11. Estonija je kao trećina Liberije, koja je u principu mala.

12. Austrija, Mađarska, Belgija na Madagaskaru.

Pogledajmo sada ruske ekvivalente.

13. Rusija na Australiju. Ako je Perth u regiji Makhachkala, onda je Melbourne negdje blizu Barnaula. Čvrsto. Ali svejedno, Rusija se proteže gotovo do Fidžija.

14. Rusija o Africi. Kuban u regiji Južne Afrike (Novorossiysk kao Cape Town) - Kamčatka dopire do juga Anatolije, otprilike gdje je Antalija.

15. Rusija na Južna Amerika. Ako je Tierra del Fuego otprilike tamo gdje je Čečenija, onda je Kamčatka u regiji Kolumbije, a Čukotka sjeverno od Panamskog kanala. Vidite li kolika je naša država? Više od cijelog kontinenta.

16. Rusija na Sjeverna Amerika. San Francisco je u regiji Krim - Chukotka je gotovo blizu Irske. Ovdje se, inače, jasno vidi veličina oceanskih prostranstava sjevernog Atlantika.

17. Luksemburg na St. Nije on tako mali :)))

18. Na ovom teritoriju (Bangladeš, označeno plavom bojom) – živi 168 milijuna ljudi!!! Možete li zamisliti gustoću naseljenosti? I nije ugodno umjerena klima, i vlažna tropska džungla i kanali Gangesa i Brahmaputre...

19. I za desert - čili uz Transsibirsku željeznicu. Kao što vidite, pokriva udaljenost od Moskve do Bajkala u uskom pojasu.

Ovo su neke zanimljive usporedbe :)