Fonksiyon değerleri kümesi nasıl belirlenir? USE problemlerindeki fonksiyon aralığı
Bir değişkenin diğerine bağımlılığına denir fonksiyonel bağımlılık. Bağımlılık değişkeni sen değişkenden X isminde işlev, eğer her değer X tek bir değerle eşleşir sen.
Tanım:
Değişken X bağımsız değişken olarak adlandırılır veya argüman ve değişken sen- bağımlı. Bunu söylüyorlar sen bir fonksiyonudur X. Anlam sen, belirtilen değere karşılık gelir X, isminde fonksiyon değeri.
Kabul ettiği tüm değerler X, biçim bir fonksiyonun alanı; aldığı tüm değerler sen, biçim fonksiyon değerleri kümesi.
Tanımlar: 
D(f)- argüman değerleri. E(f)- fonksiyon değerleri. Bir fonksiyon bir formülle veriliyorsa tanım alanının, bu formülün anlamlı olduğu değişkenin tüm değerlerinden oluştuğu kabul edilir.
Fonksiyon grafiği apsisleri argümanın değerlerine eşit olan ve koordinatları fonksiyonun karşılık gelen değerlerine eşit olan koordinat düzlemindeki tüm noktaların kümesidir. Eğer bir değer x=x0 birden fazla değerle eşleşir (yalnızca bir değil) sen o zaman böyle bir yazışma bir fonksiyon değildir. Koordinat düzlemindeki bir dizi noktanın belirli bir fonksiyonun grafiği olabilmesi için Oy eksenine paralel herhangi bir düz çizginin grafikle en fazla bir noktada kesişmesi gerekli ve yeterlidir.
Bir işlevi belirtme yöntemleri
1) Fonksiyon ayarlanabilir analitik olarak bir formül şeklinde. Örneğin, 
2) Fonksiyon birçok çiftten oluşan bir tablo ile belirtilebilir. (x; y).
3) Fonksiyon grafiksel olarak belirtilebilir. Değer çiftleri (x; y) koordinat düzleminde gösterilmektedir.
Fonksiyonun monotonluğu
İşlev f(x) isminde artan belirli bir sayısal aralıkta, argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık geliyorsa. Belirli bir noktanın grafikte soldan sağa doğru hareket ettiğini hayal edin. Daha sonra nokta grafiğin yukarısına “tırmanıyor” gibi görünecek.
İşlev f(x) isminde azalan Belirli bir sayısal aralıkta, eğer argümanın daha büyük bir değeri fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık geliyorsa. Belirli bir noktanın grafikte soldan sağa doğru hareket ettiğini hayal edin. Daha sonra nokta grafikte "yuvarlanıyor" gibi görünecektir.
Belirli bir sayısal aralıkta yalnızca artan veya yalnızca azalan bir fonksiyona ne ad verilir? monoton bu aralıkta.
Fonksiyonun sıfırları ve sabit işaret aralıkları
Değerler X, hangi y=0, isminde fonksiyon sıfırları. Bunlar fonksiyon grafiğinin Ox ekseni ile kesişme noktalarının apsisleridir.
Bu tür değer aralıkları X, burada fonksiyon değerleri sen ya yalnızca olumlu ya da yalnızca olumsuz denir fonksiyonun sabit işaretli aralıkları.
Çift ve tek fonksiyonlar
Eşit işlev
1) Tanım alanı (0; 0) noktasına göre simetriktir; yani eğer nokta A tanım alanına aitse, o zaman nokta -A aynı zamanda tanım alanına da aittir.
2) Herhangi bir değer için X f(-x)=f(x)
3) Çift fonksiyonun grafiği Oy eksenine göre simetriktir.
Tek işlev aşağıdaki özelliklere sahiptir:
1) Tanım alanı (0; 0) noktasına göre simetriktir.
2) herhangi bir değer için X tanım alanına ait olan eşitlik f(-x)=-f(x)
3) Tek bir fonksiyonun grafiği orijine (0; 0) göre simetriktir.
Her fonksiyon çift veya tek değildir. Fonksiyonlar Genel görünüm ne çift ne de tektir.
Periyodik fonksiyonlar
İşlev F herhangi biri için öyle bir sayı varsa periyodik olarak adlandırılır. X tanım alanından eşitlik f(x)=f(x-T)=f(x+T). T fonksiyonun periyodudur.
Her periyodik fonksiyonun sonsuz sayıda periyodu vardır. Pratikte genellikle en küçük pozitif periyot dikkate alınır.
Periyodik bir fonksiyonun değerleri, periyoda eşit bir aralıktan sonra tekrarlanır. Bu, grafikler oluşturulurken kullanılır.
Çoğu zaman, problem çözmenin bir parçası olarak, bir tanım kümesinde veya bir segmentte bir fonksiyonun birçok değerini aramamız gerekir. Örneğin, çözerken bu yapılmalıdır. farklı şekiller eşitsizlikler, ifadelerin değerlendirilmesi vb.
Bu materyalin bir parçası olarak size bir fonksiyonun değer aralığının ne olduğunu anlatacağız, hesaplanabileceği ana yöntemleri vereceğiz ve sorunları analiz edeceğiz. değişen dereceler zorluklar. Açıklık sağlamak amacıyla, bireysel hükümler grafiklerle gösterilmiştir. Bu makaleyi okuduktan sonra bir fonksiyonun kapsamı hakkında kapsamlı bir anlayışa sahip olacaksınız.
Temel tanımlarla başlayalım.
Tanım 1
Belirli bir x aralığındaki bir y = f (x) fonksiyonunun değer kümesi, bu fonksiyonun tüm x ∈ X değerleri üzerinde yineleme yaparken aldığı tüm değerlerin kümesidir.
Tanım 2
Bir y = f (x) fonksiyonunun değer aralığı, x ∈ (f) aralığından x değerleri arasında arama yaparken alabileceği tüm değerlerin kümesidir.
Belirli bir fonksiyonun değer aralığı genellikle E (f) ile gösterilir.
Bir fonksiyonun değer kümesi kavramının her zaman değer aralığıyla aynı olmadığını lütfen unutmayın. Bu kavramlar, yalnızca bir değerler kümesi bulurken x'in değer aralığı, fonksiyonun tanım alanıyla çakışıyorsa eşdeğer olacaktır.
Sağ taraftaki y = f(x) ifadesi için x değişkeninin değer aralığı ile kabul edilebilir değer aralığı arasında ayrım yapmak da önemlidir. F(x) ifadesi için izin verilen x değerleri aralığı, bu fonksiyonun tanım alanı olacaktır.
Aşağıda bazı örnekleri gösteren bir çizim bulunmaktadır. Mavi çizgiler fonksiyon grafikleridir, kırmızı çizgiler asimptotlardır, kırmızı noktalar ve ordinat eksenindeki çizgiler fonksiyon aralıklarıdır.
Açıkçası, bir fonksiyonun değer aralığı, fonksiyonun grafiğinin O y eksenine yansıtılmasıyla elde edilebilir. Dahası, tek bir sayıyı veya bir dizi sayıyı, bir parçayı, bir aralığı, bir açık ışını, sayısal aralıkların bir birleşimini vb. temsil edebilir.
Bir fonksiyonun değer aralığını bulmanın ana yollarına bakalım.
[ a ; B ] . Belirli bir doğru parçası üzerinde sürekli olan bir fonksiyonun minimum ve maksimumuna, yani en büyük m a x x ∈ a'ya ulaştığını biliyoruz; b f(x) ve en küçük değeri m ben n x ∈ a ; bf(x) . Bu, m i n x ∈ a parçasını elde ettiğimiz anlamına gelir; bf(x); m a x x ∈ a ; b f (x) , orijinal fonksiyonun değer kümelerini içerecektir. Daha sonra tek yapmamız gereken bu segmentte belirtilen minimum ve maksimum noktaları bulmaktır.
Arsinüs değerlerinin aralığını belirlememiz gereken bir problemi ele alalım.
örnek 1
Durum: y = a r c sin x değerlerinin aralığını bulun.
Çözüm
Genel durumda, arksinüsün tanım alanı [-1; 1 ] . Üzerinde belirtilen fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini belirlememiz gerekiyor.
y " = a r c sin x " = 1 1 - x 2
Fonksiyonun türevinin, [ - 1 ; 1 ], yani tüm tanım alanı boyunca ark sinüs fonksiyonu artacaktır. Bu, x -1'e eşit olduğunda en küçük değeri, x 1'e eşit olduğunda en büyük değeri alacağı anlamına gelir.
m ben n x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2
Böylece, ark sinüs fonksiyonunun değer aralığı E (a r c sin x) = - π 2'ye eşit olacaktır; π 2.
Cevap: E (a r c sin x) = - π 2 ; π2
Örnek 2
Durum: verilen aralıkta y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 değerlerinin aralığını hesaplayın [ 1 ; 4 ] .
Çözüm
Yapmamız gereken tek şey, fonksiyonun belirli bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerini hesaplamak.
Ekstrem noktaları belirlemek için aşağıdaki hesaplamaların yapılması gerekir:
y " = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 " = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1;4 ve l ve 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ; 4 ;x3 = 15 + 33 8 ≈ 2 , 59 ∈ 1 ; 4
Şimdi verilen fonksiyonun doğru parçasının uçlarındaki ve x 2 = 15 – 33 8 noktalarındaki değerlerini bulalım; x 3 = 15 + 33 8:
y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 ≈ 2. 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 · 15 + 33 8 3 + 6 · 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62y (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32
Bu, fonksiyon değerleri kümesinin 117 - 165 33 512 segmenti tarafından belirleneceği anlamına gelir; 32.
Cevap: 117 - 165 33 512 ; 32 .
(a ; b) ve a ; aralıklarında sürekli y = f (x) fonksiyonunun değer kümesini bulmaya geçelim. + ∞ , - ∞ ; b , - ∞ ; + ∞ .
Belirli bir aralıkta en büyük ve en küçük noktaların yanı sıra artış ve azalış aralıklarını belirleyerek başlayalım. Bundan sonra aralığın sonlarında tek taraflı limitleri ve/veya sonsuzda limitleri hesaplamamız gerekecek. Başka bir deyişle fonksiyonun verilen koşullar altındaki davranışını belirlememiz gerekiyor. Bunun için gerekli tüm verilere sahibiz.
Örnek 3
Durum: y = 1 x 2 - 4 fonksiyonunun aralığını (- 2 ; 2) aralığında hesaplayın.
Çözüm
Belirli bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini belirleme
y " = 1 x 2 - 4 " = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)
Maksimum değeri 0'a eşitledik, çünkü bu noktada fonksiyonun işareti değişiyor ve grafik azalmaya başlıyor. Resme bakınız:
Yani, y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 olacaktır maksimum değerler işlevler.
Şimdi sağ tarafta -2 ve sol tarafta +2 eğiliminde olan bir x için fonksiyonun davranışını belirleyelim. Başka bir deyişle tek taraflı limitler buluyoruz:
lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 · 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = - ∞
Argüman -2'den 0'a değiştiğinde fonksiyon değerlerinin eksi sonsuzdan -1 4'e artacağı ortaya çıktı. Ve argüman 0'dan 2'ye değiştiğinde fonksiyon değerleri eksi sonsuza doğru azalır. Sonuç olarak, belirli bir fonksiyonun ihtiyaç duyduğumuz aralıktaki değer kümesi (- ∞ ; - 1 4 ] olacaktır.
Cevap: (- ∞ ; - 1 4 ] .
Örnek 4
Durum: belirli bir aralıkta y = t g x değer kümesini belirtin - π 2; π 2.
Çözüm
Genel durumda tanjantın türevinin - π 2 olduğunu biliyoruz; π 2 pozitif olacak yani fonksiyon artacaktır. Şimdi fonksiyonun verilen sınırlar içerisinde nasıl davrandığını belirleyelim:
lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞
Argüman -π 2'den π 2'ye değiştiğinde fonksiyonun değerlerinde eksi sonsuzdan artı sonsuza doğru bir artış elde ettik ve bu fonksiyonun çözüm kümesinin tüm gerçek sayılar kümesi olacağını söyleyebiliriz. .
Cevap: - ∞ ; + ∞ .
Örnek 5
Durum: y = ln x doğal logaritma fonksiyonunun aralığını belirleyin.
Çözüm
Bu fonksiyonun D(y)=0 argümanının pozitif değerleri için tanımlandığını biliyoruz; + ∞ . Belirli bir aralıktaki türev pozitif olacaktır: y " = ln x " = 1 x . Bu, fonksiyonun üzerinde arttığı anlamına gelir. Daha sonra, argümanın 0'a (sağ tarafta) eğilimli olduğu ve x'in sonsuza gittiği durum için tek taraflı bir limit tanımlamamız gerekir:
lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞
X'in değerleri sıfırdan artı sonsuza değiştikçe fonksiyonun değerlerinin eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar artacağını bulduk. Bu, tüm gerçek sayılar kümesinin doğal logaritma fonksiyonunun değer aralığı olduğu anlamına gelir.
Cevap: tüm gerçek sayılar kümesi, doğal logaritma fonksiyonunun değer aralığıdır.
Örnek 6
Durum: y = 9 x 2 + 1 fonksiyonunun aralığını belirleyin.
Çözüm
Bu fonksiyon x'in bir gerçel sayı olması koşuluyla tanımlanır. Fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerinin yanı sıra artış ve azalma aralıklarını da hesaplayalım:
y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0
Sonuç olarak x ≥ 0 ise bu fonksiyonun azalacağını; x ≤ 0 ise artar; 0'a eşit bir değişkenle maksimum noktası y (0) = 9 0 2 + 1 = 9'dur.
Fonksiyonun sonsuzda nasıl davrandığını görelim:
lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0
Bu durumda fonksiyon değerlerinin asimptotik olarak 0'a yaklaşacağı kayıtlardan açıkça görülmektedir.
Özetlemek gerekirse: argüman eksi sonsuzdan sıfıra değiştiğinde fonksiyon değerleri 0'dan 9'a yükselir. Argüman değerleri 0'dan artı sonsuza değiştiğinde karşılık gelen fonksiyon değerleri 9'dan 0'a düşecektir. Bunu şekilde gösterdik:
Fonksiyonun değer aralığının E (y) = (0 ; 9 ] aralığı olacağını gösterir.
Cevap: E(y) = (0 ; 9 ]
y = f(x) fonksiyonunun [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , o zaman tamamen aynı çalışmaları yapmamız gerekecek.Bu durumları şimdilik analiz etmeyeceğiz: bunlarla daha sonra karşılaşacağız. sorunlar.
Peki ya belirli bir fonksiyonun tanım alanı birkaç aralığın birleşimi ise? Daha sonra bu aralıkların her birindeki değer kümelerini hesaplamamız ve bunları birleştirmemiz gerekiyor.
Örnek 7
Durum: değer aralığının ne olacağını belirleyin y = x x - 2 .
Çözüm
Fonksiyonun paydasının 0'a çevrilmemesi gerektiğine göre D(y) = - ∞; 2 ∪ 2; + ∞ .
İlk segmentteki fonksiyon değerleri kümesini tanımlayarak başlayalım - ∞; 2, açık bir ışındır. Üzerindeki fonksiyonun azalacağını yani bu fonksiyonun türevinin negatif olacağını biliyoruz.
lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0
Daha sonra argümanın eksi sonsuza doğru değiştiği durumlarda fonksiyon değerleri asimptotik olarak 1'e yaklaşacaktır. X'in değerleri eksi sonsuzdan 2'ye değişirse değerler 1'den eksi sonsuza düşecektir yani. bu segmentteki fonksiyon - ∞ aralığındaki değerleri alacaktır; 1. Fonksiyonun değerleri ona ulaşmadığı, ancak yalnızca asimptotik olarak yaklaştığı için birliği düşüncelerimizin dışında tutuyoruz.
Açık kiriş 2 için; + ∞ tamamen aynı eylemleri gerçekleştiriyoruz. Üzerindeki fonksiyon da azalıyor:
lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0
Belirli bir segmentteki fonksiyonun değerleri set 1 tarafından belirlenir; + ∞ . Bu, koşulda belirtilen fonksiyon için ihtiyacımız olan değer aralığının - ∞ kümelerinin birleşimi olacağı anlamına gelir; 1 ve 1; + ∞ .
Cevap: E(y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; + ∞ .
Bu grafikte görülebilir:
Özel bir durum periyodik fonksiyonlardır. Değer aralıkları, bu fonksiyonun periyoduna karşılık gelen aralıktaki değerler kümesiyle çakışmaktadır.
Örnek 8
Durum: sinüs y = sin x'in değer aralığını belirleyin.
Çözüm
Sinüs periyodik bir fonksiyondur ve periyodu 2 pi'dir. 0 segmentini alın; 2 π ve bunun üzerindeki değerler kümesinin ne olacağını görün.
y " = (sin x) " = çünkü x y " = 0 ⇔ çünkü x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z
0 dahilinde; 2 π fonksiyonun uç noktaları π 2 ve x = 3 π 2 olacaktır. Fonksiyon değerlerinin içlerinde ve segment sınırlarında neye eşit olacağını hesaplayalım ve ardından en büyük ve en küçük değeri seçelim.
y (0) = günah 0 = 0 y π 2 = günah π 2 = 1 y 3 π 2 = günah 3 π 2 = - 1 y (2 π) = günah (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1, maksimum x ∈ 0; 2 π günah x = günah π 2 = 1
Cevap: E (sin x) = - 1; 1.
Güç, üstel, logaritmik, trigonometrik, ters trigonometrik gibi fonksiyon aralıklarını bilmeniz gerekiyorsa temel temel fonksiyonlarla ilgili makaleyi tekrar okumanızı tavsiye ederiz. Burada sunduğumuz teori, orada belirtilen değerleri doğrulamamızı sağlıyor. Sorunları çözerken sıklıkla gerekli oldukları için bunları öğrenmeniz tavsiye edilir. Temel fonksiyonların aralıklarını biliyorsanız, temel fonksiyonlardan elde edilen fonksiyonların aralıklarını geometrik dönüşüm kullanarak kolayca bulabilirsiniz.
Örnek 9
Durum: y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 değerlerinin aralığını belirleyin.
Çözüm
0'dan pi'ye kadar olan bölümün ark kosinüs aralığı olduğunu biliyoruz. Başka bir deyişle, E (a r c cos x) = 0; π veya 0 ≤ a r c çünkü x ≤ π . Yay kosinüsünden a r c cos x 3 + 5 π 7 fonksiyonunu O x ekseni boyunca kaydırıp uzatarak elde edebiliriz, ancak bu tür dönüşümler bize hiçbir şey vermez. Bu, 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π anlamına gelir.
3 a r c cos x 3 + 5 π 7 fonksiyonu, ordinat ekseni boyunca uzatılarak ark kosinüs a r c cos x 3 + 5 π 7'den elde edilebilir, yani. 0 ≤ 3 a r c çünkü x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Son dönüşüm, O y ekseni boyunca 4 değerlik bir kaymadır. Sonuç olarak çifte eşitsizlik elde ederiz:
0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4
İhtiyacımız olan değer aralığının E (y) = - 4'e eşit olacağını; 3π-4 .
Cevap: E(y) = -4; 3π-4 .
Açıklama yapmadan başka bir örnek yazacağız çünkü bir öncekine tamamen benzer.
Örnek 10
Durum: y = 2 2 x - 1 + 3 fonksiyonunun aralığının ne olacağını hesaplayın.
Çözüm
Koşulda belirtilen fonksiyonu y = 2 · (2 x - 1) - 1 2 + 3 olarak yeniden yazalım. Bir güç fonksiyonu için y = x - 1 2 değerlerinin aralığı 0 aralığında tanımlanacaktır; + ∞, yani x - 1 2 > 0 . Bu durumda:
2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3
Yani E(y) = 3; + ∞ .
Cevap: E(y) = 3; + ∞ .
Şimdi sürekli olmayan bir fonksiyonun değer aralığını nasıl bulacağımıza bakalım. Bunu yapmak için tüm alanı aralıklara bölüp her birinde değer kümeleri bulmamız ve sonra elde ettiğimiz değerleri birleştirmemiz gerekiyor. Bunu daha iyi anlamak için ana işlev kesme noktası türlerini incelemenizi öneririz.
Örnek 11
Durum: y = 2 sin x 2 - 4, x ≤ - 3 - 1, - 3 fonksiyonu verildiğinde< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3. Değer aralığını hesaplayın.
Çözüm
Bu fonksiyon x'in tüm değerleri için tanımlanmıştır. Argümanın değerleri -3 ve 3'e eşit olacak şekilde süreklilik açısından analiz edelim:
lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)
Argümanın değeri -3 olduğunda birinci türden kaldırılamaz bir süreksizliğimiz olur. Yaklaştıkça fonksiyonun değerleri - 2 sin 3 2 - 4'e doğru yönelir ve sağ tarafta x -3'e doğru yöneldikçe değerler -1'e doğru yönelir.
lim x → 3 - 0 f (x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f (x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞
3. noktada ikinci türden giderilemez bir süreksizliğimiz var. Bir fonksiyon ona doğru yöneldiğinde değerleri -1'e, sağda aynı noktaya doğru yöneldiğinde - eksi sonsuza yaklaşır.
Bu, bu fonksiyonun tüm tanım alanının 3 aralığa bölündüğü anlamına gelir (- ∞ ; - 3 ], (- 3 ; 3 ], (3 ; + ∞).
Bunlardan ilkinde y = 2 sin x 2 - 4 fonksiyonunu elde ettik. - 1 ≤ sin x ≤ 1 olduğundan şunu elde ederiz:
1 ≤ günah x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2
Bu, belirli bir aralıkta (- ∞ ; - 3 ] fonksiyon değerleri kümesinin [ - 6 ; 2 ] olduğu anlamına gelir.
Yarı aralıkta (- 3; 3 ], sonuç sabit bir y = - 1 fonksiyonudur. Sonuç olarak, bu durumda tüm değer kümesi bir sayı - 1'e indirgenecektir.
İkinci aralıkta 3; + ∞ y = 1 x - 3 fonksiyonuna sahibiz. Azalan çünkü y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:
lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0
Bu, x > 3 için orijinal fonksiyonun değer kümesinin 0 kümesi olduğu anlamına gelir; + ∞ . Şimdi sonuçları birleştirelim: E (y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; + ∞ .
Cevap: E(y) = -6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; + ∞ .
Çözüm grafikte gösterilmektedir:
Örnek 12
Koşul: y = x 2 - 3 e x fonksiyonu vardır. Değerlerinin kümesini belirleyin.
Çözüm
Reel sayı olan tüm argüman değerleri için tanımlanır. Bu fonksiyonun hangi aralıklarla artacağını, hangi aralıklarda azalacağını belirleyelim:
y " = x 2 - 3 e x " = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x
Eğer x = - 1 ve x = 3 ise türevinin 0 olacağını biliyoruz. Bu iki noktayı eksene yerleştirelim ve ortaya çıkan aralıklarda türevin hangi işaretlere sahip olacağını bulalım.
Fonksiyon (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) kadar azalacak ve [ - 1 ; 3]. Minimum puan -1, maksimum -3 olacaktır.
Şimdi karşılık gelen fonksiyon değerlerini bulalım:
y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3
Fonksiyonun sonsuzdaki davranışına bakalım:
lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 " e x " = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x " (e x) " = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0
İkinci limitin hesaplanmasında L'Hopital kuralı kullanıldı. Çözümümüzün ilerlemesini bir grafik üzerinde gösterelim.
Argüman eksi sonsuzdan -1'e değiştiğinde fonksiyon değerlerinin artı sonsuzdan -2 e'ye düşeceğini gösterir. 3'ten artı sonsuza değişirse değerler 6 e - 3'ten 0'a düşecek ancak 0'a ulaşılamayacaktır.
Böylece E(y) = [ - 2 e ; + ∞) .
Cevap: E(y) = [ - 2 e ; + ∞)
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Pek çok sorun bizi belirli bir segmentte veya tüm tanım alanı boyunca bir dizi fonksiyon değeri aramaya yönlendirir. Bu tür görevler, ifadelerin çeşitli değerlendirmelerini ve eşitsizliklerin çözülmesini içerir.
Bu makalede, bir fonksiyonun değer aralığını tanımlayacağız, onu bulma yöntemlerini ele alacağız ve basitten karmaşığa doğru örneklerin çözümünü ayrıntılı olarak analiz edeceğiz. Tüm materyaller netlik sağlamak amacıyla grafik resimlerle sağlanacaktır. Yani bu makale, bir fonksiyonun aralığının nasıl bulunacağı sorusuna ayrıntılı bir cevaptır.
Tanım.
y = f(x) fonksiyonunun X aralığındaki değerleri kümesi bir fonksiyonun tümü üzerinde yineleme yaparken aldığı tüm değerlerin kümesidir.
Tanım.
Fonksiyon aralığı y = f(x) tanım alanından tüm x'i yinelerken bir fonksiyonun aldığı tüm değerlerin kümesidir.
Fonksiyonun aralığı E(f) olarak gösterilir.
Bir fonksiyonun aralığı ile bir fonksiyonun değer kümesi aynı şey değildir. Y = f(x) fonksiyonunun değer kümesini bulurken X aralığı, fonksiyonun tanım alanıyla çakışıyorsa, bu kavramları eşdeğer kabul edeceğiz.
Ayrıca, y=f(x) eşitliğinin sağ tarafındaki ifade için fonksiyonun aralığını x değişkeniyle karıştırmayın. f(x) ifadesi için x değişkeninin izin verilen değerleri aralığı, y=f(x) fonksiyonunun tanım alanıdır.
Şekilde birkaç örnek gösterilmektedir.
Fonksiyonların grafikleri kalın mavi çizgilerle, ince kırmızı çizgiler asimptotlarla, Oy eksenindeki kırmızı noktalar ve çizgiler ise ilgili fonksiyonun değer aralığını gösterir.
Gördüğünüz gibi bir fonksiyonun değer aralığı, fonksiyonun grafiğinin y eksenine yansıtılmasıyla elde edilir. Tek bir sayı (ilk durum), bir dizi sayı (ikinci durum), bir parça (üçüncü durum), bir aralık (dördüncü durum), bir açık ışın (beşinci durum), bir birleşim (altıncı durum) vb. olabilir. .
Peki bir fonksiyonun değer aralığını bulmak için ne yapmanız gerekiyor?
En basit durumla başlayalım: sürekli bir y = f(x) fonksiyonunun segment üzerindeki değer kümesinin nasıl belirleneceğini göstereceğiz.
Bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerine bu aralıkta ulaştığı bilinmektedir. Böylece, orijinal fonksiyonun segment üzerindeki değer kümesi segment olacaktır. 
. Sonuç olarak görevimiz, fonksiyonun segment üzerindeki en büyük ve en küçük değerlerini bulmaktır.
Örneğin arksinüs fonksiyonunun değer aralığını bulalım.
Örnek.
y = arcsinx fonksiyonunun aralığını belirtin.
Çözüm.
Arsinüsün tanım alanı [-1; 1] . Bu segmentteki fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulalım. 
Türev (-1; 1) aralığındaki tüm x'ler için pozitiftir, yani arksinüs fonksiyonu tüm tanım alanı boyunca artar. Sonuç olarak en küçük değeri x = -1'de, en büyük değeri ise x = 1'de alır. 
Arcsinüs fonksiyonunun aralığını elde ettik 
.
Örnek.
Fonksiyon değerleri kümesini bulun 
segmentte.
Çözüm.
Belirli bir segmentteki fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulalım.
Doğru parçasına ait ekstremum noktaları belirleyelim: 
Orijinal fonksiyonun değerlerini segmentin uçlarında ve noktalarda hesaplıyoruz 
:
Bu nedenle, bir fonksiyonun bir aralıktaki değerleri kümesi aralıktır 
.
Şimdi (a; b) , aralıklarında sürekli bir y = f(x) fonksiyonunun değer kümesini nasıl bulacağımızı göstereceğiz.
Öncelikle fonksiyonun ekstrem noktalarını, ekstremumlarını, fonksiyonun belirli bir aralıktaki artış ve azalış aralıklarını belirliyoruz. Daha sonra, aralığın uçlarını ve/veya sonsuzluktaki limitleri hesaplarız (yani, fonksiyonun aralığın sınırlarındaki veya sonsuzdaki davranışını inceleriz). Bu bilgi, bu aralıklardaki fonksiyon değerleri kümesini bulmak için yeterlidir.
Örnek.
(-2; 2) aralığındaki fonksiyon değerleri kümesini tanımlayın.
Çözüm.
Fonksiyonun (-2; 2) aralığına düşen ekstremum noktalarını bulalım: 
Nokta x = 0 bir maksimum noktadır, çünkü türev buradan geçerken işareti artıdan eksiye değişir ve fonksiyonun grafiği artandan azalana doğru gider. 
fonksiyonun buna karşılık gelen bir maksimumu vardır.
Sağda x -2'ye ve solda x 2'ye doğru giderken fonksiyonun davranışını bulalım, yani tek taraflı limitler bulalım: 
Elde ettiğimiz şey: argüman -2'den sıfıra değiştiğinde, fonksiyon değerleri eksi sonsuzdan eksi dörtte birine (x = 0'da fonksiyonun maksimumu) artar, argüman sıfırdan 2'ye değiştiğinde, fonksiyon değerleri eksi sonsuza kadar azalır. Böylece (-2; 2) aralığındaki fonksiyon değerleri kümesi .
Örnek.
Aralıkta y = tgx teğet fonksiyonunun değer kümesini belirtin.
Çözüm.
Teğet fonksiyonunun aralıktaki türevi pozitiftir 
Bu, fonksiyonda bir artışı gösterir. Fonksiyonun davranışını aralığın sınırlarında inceleyelim: 
Böylece argüman 'den 'ye değiştiğinde fonksiyon değerleri eksi sonsuzdan artı sonsuza doğru artar, yani bu aralıktaki teğet değerler kümesi tüm reel sayılar kümesidir.
Örnek.
Doğal logaritma fonksiyonunun y = lnx aralığını bulun.
Çözüm.
Doğal logaritma fonksiyonu şu şekilde tanımlanır: pozitif değerler argüman 
. Bu aralıkta türev pozitiftir 
Bu, üzerindeki fonksiyonun arttığını gösterir. Argüman sağda sıfıra doğru giderken fonksiyonun tek taraflı limitini ve x artı sonsuza doğru giderken limiti bulalım: 
X sıfırdan artı sonsuza doğru değiştikçe fonksiyonun değerlerinin eksi sonsuzdan artı sonsuza doğru arttığını görüyoruz. Bu nedenle doğal logaritma fonksiyonunun aralığı gerçek sayılar kümesinin tamamıdır.
Örnek.
Çözüm.
Bu işlev herkes için tanımlanmıştır gerçek değerler X. Fonksiyonun ekstrem noktalarını, artış ve azalış aralıklarını belirleyelim. 
Sonuç olarak fonksiyon 'de azalır, 'de artar, x = 0 maksimum noktadır, 
fonksiyonun karşılık gelen maksimumu.
Fonksiyonun sonsuzdaki davranışına bakalım: 
Böylece sonsuzda fonksiyonun değerleri asimptotik olarak sıfıra yaklaşır.
Argüman eksi sonsuzdan sıfıra (maksimum nokta) değiştiğinde, fonksiyon değerlerinin sıfırdan dokuza (fonksiyonun maksimumuna) arttığını ve x sıfırdan artı sonsuza değiştiğinde fonksiyonun değerler dokuzdan sıfıra düşer.
Şematik çizime bakın.
Artık fonksiyonun değer aralığının olduğu açıkça görülüyor.
Y = f(x) fonksiyonunun aralıklardaki değer kümesini bulmak benzer araştırmaları gerektirir. Şimdi bu vakalar üzerinde ayrıntılı olarak durmayacağız. Aşağıdaki örneklerde onlarla tekrar buluşacağız.
y = f(x) fonksiyonunun tanım tanım kümesi birkaç aralığın birleşimi olsun. Böyle bir fonksiyonun değer aralığını bulurken her aralıktaki değer kümeleri belirlenir ve bunların birleşimi alınır.
Örnek.
Fonksiyonun aralığını bulun.
Çözüm.
Fonksiyonumuzun paydasının sıfıra gitmemesi yani .
Öncelikle açık ışın üzerindeki fonksiyon değerleri kümesini bulalım.
Bir fonksiyonun türevi 
bu aralıkta negatiftir, yani fonksiyon bu aralıkta azalır. 
Argüman eksi sonsuza doğru yöneldikçe fonksiyon değerlerinin asimptotik olarak birliğe yaklaştığını bulduk. X eksi sonsuzdan ikiye değiştiğinde, fonksiyonun değerleri birden eksi sonsuza düşer, yani söz konusu aralıkta fonksiyon bir değerler kümesi alır. Fonksiyonun değerleri ona ulaşmadığı için birliği dahil etmiyoruz, ancak yalnızca asimptotik olarak eksi sonsuzda ona yöneliyor.
Açık ışın için de benzer şekilde ilerliyoruz.
Bu aralıkta fonksiyon da azalır. 
Bu aralıktaki fonksiyon değerlerinin kümesi settir.
Dolayısıyla fonksiyonun istenen değer aralığı, ve kümelerinin birleşimidir.
Grafik illüstrasyon.
Periyodik işlevlere özel dikkat gösterilmelidir. Periyodik fonksiyonların değer aralığı, bu fonksiyonun periyoduna karşılık gelen aralıktaki değerler kümesiyle çakışmaktadır.
Örnek.
Y = sinx sinüs fonksiyonunun aralığını bulun.
Çözüm.
Bu fonksiyon periyodu iki pi olan periyodiktir. Bir segment alalım ve onun üzerindeki değerler kümesini tanımlayalım. 
Segment iki uç nokta içerir ve .
Fonksiyonun değerlerini bu noktalarda ve segmentin sınırlarında hesaplıyoruz, en küçük ve en büyük değerleri seçiyoruz: 
Buradan, 
.
Örnek.
Bir fonksiyonun aralığını bulun 
.
Çözüm.
Ark kosinüs aralığının sıfırdan pi'ye kadar olan segment olduğunu biliyoruz; 
veya başka bir gönderide. İşlev 
apsis ekseni boyunca kaydırılarak ve gerilerek arccosx'ten elde edilebilir. Bu tür dönüşümler değer aralığını etkilemez, bu nedenle 
. İşlev 
şuradan alındı Oy ekseni boyunca üç kez uzanan, yani 
. Ve dönüşümün son aşaması ordinat boyunca dört birim aşağıya doğru kaymadır. Bu bizi çifte eşitsizliğe götürüyor 
Böylece gerekli değer aralığı 
.
Çözümü başka bir örnekle verelim ama açıklama yapmadan (tamamen benzer oldukları için gerekli değildir).
Örnek.
Fonksiyon Aralığını Tanımlayın 
.
Çözüm.
Orijinal fonksiyonu formda yazalım. 
. Güç fonksiyonunun değer aralığı aralıktır. Yani, . Daha sonra 
Buradan, 
.
Resmi tamamlamak için tanım kümesinde sürekli olmayan bir fonksiyonun değer aralığını bulmaktan bahsetmeliyiz. Bu durumda tanım alanını kırılma noktalarına göre aralıklara bölüyoruz ve her birinde değer kümeleri buluyoruz. Ortaya çıkan değer kümelerini birleştirerek orijinal fonksiyonun değer aralığını elde ederiz. Soldaki 3'ü hatırlamanızı öneririz, fonksiyonun değerleri eksi bire doğru yönelir, sağda x 3'e doğru giderken fonksiyonun değerleri de artı sonsuza doğru yönelir.
Böylece fonksiyonun tanım tanım kümesini üç aralığa bölüyoruz.
Aralıkta fonksiyona sahibiz 
. O zamandan beri 
Böylece orijinal fonksiyonun aralıktaki değer kümesi [-6;2] olur.
Yarım aralıkta sabit bir y = -1 fonksiyonumuz var. Yani orijinal fonksiyonun aralıktaki değer kümesi tek bir elemandan oluşur.
İşlev, tüm geçerli bağımsız değişken değerleri için tanımlanır. Fonksiyonun artış ve azalma aralıklarını bulalım.
Türev x=-1 ve x=3'te sıfırdır. Bu noktaları sayı doğrusunda işaretleyelim ve elde edilen aralıklarda türevin işaretlerini belirleyelim. 
Fonksiyon şu kadar azalır: 
, [-1 oranında artar; 3] , x=-1 minimum puan, x=3 maksimum puan.
Fonksiyonun karşılık gelen minimum ve maksimumunu hesaplayalım: 
Fonksiyonun sonsuzdaki davranışını kontrol edelim: 
İkinci limit kullanılarak hesaplandı.
Şematik bir çizim yapalım.
Argüman eksi sonsuzdan -1'e değiştiğinde fonksiyon değerleri artı sonsuzdan -2e'ye düşer, argüman -1'den 3'e değiştiğinde fonksiyon değerleri -2e'den artar, argüman 3'ten artı sonsuza kadar fonksiyon değerleri sıfırdan azalır ancak sıfıra ulaşmaz.
Fonksiyon matematiksel kavramların en önemlilerinden biridir.
Tanım: Belirli bir x kümesindeki her sayı, tek bir y sayısıyla ilişkiliyse, bu kümede bir y(x) fonksiyonunun tanımlı olduğunu söylerler. Bu durumda x'e bağımsız değişken veya argüman denir ve y'ye bağımlı değişken veya bir fonksiyonun değeri veya basitçe bir fonksiyon denir.
Y değişkenine aynı zamanda x değişkeninin bir fonksiyonu olduğu da söylenir.
Eşleşmeyi bir harfle (örneğin f) belirttikten sonra şunu yazmak uygundur: y=f (x), yani y değeri, f eşleşmesi kullanılarak x argümanından elde edilir. (Oku: y eşittir f/x.) f(x) sembolü, x'e eşit argümanın değerine karşılık gelen fonksiyonun değerini belirtir.
Örnek 1 Fonksiyon y=2x 2 –6 formülüyle verilsin. O halde f(x)=2x 2 –6 şeklinde yazabiliriz. Örneğin 1'e eşit olan x değerleri için fonksiyonun değerlerini bulalım; 2,5;–3; yani f(1), f(2.5), f(–3)'ü buluruz:
f(1)=2 1 2 –6=–4;
f(2,5)=2 2,5 2 –6=6,5;
f(–3)=2 (–3) 2 –6= 12.
y=f (x) biçimindeki gösterimde f: g vb. yerine başka harflerin kullanıldığına dikkat edin.
Tanım: Bir fonksiyonun tanım kümesi, fonksiyonun var olduğu tüm x değerleridir.
Bir fonksiyon bir formülle belirtilmişse ve tanım alanı belirtilmemişse, fonksiyonun tanım alanı, formülün anlamlı olduğu argümanın tüm değerlerinden oluştuğu kabul edilir.
Başka bir deyişle, bir formül tarafından verilen bir fonksiyonun alanı, gerçekleştiremeyeceğimiz eylemlerle sonuçlananlar dışındaki argümanın tüm değerleridir. Açık şu an bu türden yalnızca iki eylemi biliyoruz. Sıfıra bölemeyiz ve negatif bir sayının karekökünü alamayız.
Tanım: Bağımlı değişkenin aldığı tüm değerler fonksiyonun aralığını oluşturur.
Gerçek bir süreci tanımlayan bir işlevin tanım alanı, onun ortaya çıkışının belirli koşullarına bağlıdır. Örneğin, bir demir çubuğun uzunluğunun l ısıtma sıcaklığına t bağımlılığı, l0'ın çubuğun başlangıç uzunluğu ve doğrusal genleşme katsayısı olduğu formülle ifade edilir. Bu formül t'nin herhangi bir değeri için anlamlıdır. Bununla birlikte, l=g(t) fonksiyonunun tanım alanı, doğrusal genişleme yasasının geçerli olduğu onlarca derecelik bir aralıktır.
Örnek.
İşlev aralığını belirtin y = yaysinx.
Çözüm.
Ark sinüs tanımının alanı segmenttir [-1; 1]
. Bu segmentteki fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulalım.
Türev herkes için pozitiftir X aralıktan (-1; 1)
yani arksinüs fonksiyonu tüm tanım alanı boyunca artar. Bu nedenle en küçük değeri alır x = -1 ve en büyüğü x = 1.
Arcsinüs fonksiyonunun aralığını elde ettik 
.
Fonksiyon değerleri kümesini bulun 
segmentte
.
Çözüm.
Belirli bir segmentteki fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulalım.
Doğru parçasına ait ekstrem noktaları belirleyelim.
:
D(f)- argümanın alabileceği değerler, yani. bir fonksiyonun alanı.
E(f)- fonksiyonun alabileceği değerler, yani. fonksiyon değerleri kümesi.
Fonksiyon aralıklarını bulma yöntemleri.
değerleri sırayla bulma karmaşık argümanlar işlevler;
tahmin/sınır yöntemi;
bir fonksiyonun süreklilik ve monotonluk özelliklerinin kullanılması;
türev kullanımı;
bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini kullanma;
grafik yöntemi;
parametre giriş yöntemi;
ters fonksiyon yöntemi.
Bunlardan bazılarına bakalım.
Türev kullanma
Genel yaklaşım sürekli bir f(x) fonksiyonunun değer kümesini bulmak, f(x) fonksiyonunun kendi tanım kümesindeki en büyük ve en küçük değerlerini bulmaktan (veya bunlardan birinin veya her ikisinin de var olmadığını kanıtlamaktan) oluşur.
İşlev değerleri kümelerini bulmanız gerekirse segmentte:
verilen f "(x) fonksiyonunun türevini bulun;
f(x) fonksiyonunun kritik noktalarını bulun ve bu doğru parçasına ait olanları seçin;
segmentin uçlarındaki ve seçilen kritik noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplayın;
bulunan değerler arasından en küçük ve en büyük değerleri seçin;
Fonksiyon değerleri kümesi bu değerlerin arasına alınır.
Bir fonksiyonun etki alanı ise aralık, o zaman aynı şema kullanılır, ancak argüman aralığın sonuna doğru gittiği için uçlardaki değerler yerine fonksiyonun sınırları kullanılır. Sınır değerleri değer setine dahil değildir.
Sınırlar/Skorlar Yöntemi
Fonksiyon değerleri kümesini bulmak için önce bağımsız değişken değerleri kümesini bulun, ardından işlev fonksiyonunun karşılık gelen en küçük ve en büyük değerlerini bulun. Eşitsizlikler kullanılarak sınırlar belirlenir.
Esas olan sürekli bir fonksiyonu aşağıdan ve yukarıdan tahmin etmek ve fonksiyonun tahminlerin alt ve üst sınırlarına ulaştığını kanıtlamaktır. Bu durumda, fonksiyon değerleri kümesinin tahminin alt sınırından üst sınırına kadar olan aralıkla çakışması, fonksiyonun sürekliliği ve bunun için başka değerlerin bulunmaması ile belirlenir.
Sürekli bir fonksiyonun özellikleri
Diğer bir seçenek ise fonksiyonu sürekli monoton bir fonksiyona dönüştürmek, ardından eşitsizliklerin özelliklerini kullanarak yeni elde edilen fonksiyonun değer kümesini tahmin etmektir.
Karmaşık fonksiyon argümanlarının değerlerini sırayla bulma
Fonksiyonun oluşturulduğu ara fonksiyonların bir dizi değeri için sıralı aramaya dayanarak
Temel temel fonksiyonların değer aralıkları
| İşlev | Çoklu anlamlar |
|---|---|
| $y = kx+ b$ | E(y) = (-∞;+∞) |
| $y = x^(2n)$ | E(y) = |
| $y = \cos(x)$ | E(y) = [-1;1] |
| $y = (\rm tg)\, x$ | E(y) = (-∞;+∞) |
| $y = (\rm ctg)\, x$ | E(y) = (-∞;+∞) |
| $y = \arcsin(x)$ | E(y) = [-π/2; π/2] |
| $y = \arccos(x)$ | E(y) = |
| $y = (\rm arktan)\, x$ | E(y) = (-π/2; π/2) |
| $y = (\rm arcctg)\, x$ | E(y) = (0; π) |
Örnekler
Fonksiyon değerleri kümesini bulun:
Türev kullanma
Tanımın tanım kümesini buluyoruz: D(f)=[-3;3], çünkü $9-x^(2)\geq 0$
Türevi bulun: $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2)))$
x = 0 ise f"(x) = 0. $\sqrt(9-x^(2))=0$ ise f"(x) mevcut değildir, yani x = ±3 için. Üç kritik nokta elde ederiz: x 1 = –3, x 2 = 0, x 3 = 3, bunlardan ikisi doğru parçasının uçlarıyla çakışır. Hesaplayalım: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Yani f(x)'in en küçük değeri 0, en büyük değeri 3 olur.
Cevap: E(f) = .
Türev kullanılmaz
Fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun:
$'dan beri
f(x) = 1-\cos^(2)(x)+\cos(x)-\frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $ , o zaman:
$f(x)\leq \frac(3)(4)$ tüm x'ler için;
$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ tüm x(çünkü $|\cos) (x)|\leq 1$);
$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;
$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;
Cevap: $\frac(3)(4)$ ve $-\frac(3)(2)$
Bu problemi türev kullanarak çözerseniz, f(x) fonksiyonunun bir parça üzerinde değil, tüm sayı doğrusu üzerinde tanımlı olmasından kaynaklanan engelleri aşmanız gerekecektir.
Sınırlar/tahminler yöntemini kullanma
Sinüs tanımından şu sonuç çıkar: $-1\leq\sin(x)\leq 1$. Daha sonra sayısal eşitsizliklerin özelliklerini kullanacağız.
$-4\leq - 4\sin(x)\leq 4$, (çift eşitsizliğin üç kısmı da -4 ile çarpılır);
$1\leq 5 - 4\sin(x)\leq 9$ (çift eşitsizlik 5'in üç kısmına eklenir);
Bu fonksiyon tüm tanım alanı boyunca sürekli olduğundan, değerleri kümesi, eğer varsa, tüm tanım alanı boyunca en küçük ve en büyük değerleri arasında yer alır.
Bu durumda $y = 5 - 4\sin(x)$ fonksiyonunun değerler kümesi set olur.
$$ \\ -1\leq\cos(7x)\leq 1 \\ -5\leq 5\cos(x)\leq 5 $$ eşitsizliklerinden $$\\ -6\leq y\ tahminini elde ederiz leq 6$ $
x = p ve x = 0'da fonksiyon -6 ve 6 değerlerini alır, yani. tahminin alt ve üst sınırlarına ulaşır. Sürekli fonksiyonların cos(7x) ve cos(x) doğrusal bir kombinasyonu olarak, y fonksiyonu tüm sayı doğrusunda süreklidir, bu nedenle, sürekli bir fonksiyonun özelliği gereği, -6'dan 6'ya kadar tüm değerleri alır. , ve yalnızca onlar, çünkü $- 6\leq y\leq 6$ eşitsizlikleri nedeniyle diğer değerleri imkansızdır.
Bu nedenle E(y) = [-6;6].
$$ \\ -1\leq\sin(x)\leq 1 \\ 0\leq\sin^(2)(x)\leq 1 \\ 0\leq2\sin^(2)(x)\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ Cevap: E(f) = .
$$ \\ -\infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].
$$ \\ -\infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .
$$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\left ( ifadesini dönüştürelim (\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \right)\cos\left ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)(2 )) \right) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac(\ pi) (4)) $$.
Kosinüs tanımından şu şekilde çıkar: $$ \\ -1\leq\cos(x)\leq 1; \\ -1\leq \cos((x + \frac(\pi)(4)))\leq 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); $$
Bu fonksiyon tüm tanım alanı boyunca sürekli olduğundan, değerleri kümesi en küçük ve en büyük değerleri arasında, varsa fonksiyon değerleri kümesi $y =\sqrt(2)\cos((x) bulunur. +\frac(\pi)(4 )))$ $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$ kümesidir.
$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \\ E(3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x) )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$
$t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$'yi gösterelim, burada -∞≤t≤4. Böylece sorun, ışın (-∞;4) üzerindeki $y = \log_(0,5)(t)$ fonksiyonunun değer kümesini bulmaya indirgenir. $y = \log_(0,5)(t)$ fonksiyonu yalnızca t > 0 için tanımlandığından, bu durumda onun ışın (-∞;4) üzerindeki değerler kümesi, fonksiyon değerleri kümesiyle çakışır (0;4) aralığında, logaritmik fonksiyonun tanım bölgesi (0;+∞) ile ışının (-∞;4) kesişimini temsil eder. (0;4) aralığında bu fonksiyon süreklidir ve azalmaktadır. t > 0'da +∞'a yönelir ve t = 4'te -2 değerini alır, yani E(y) = (-2, +∞).
Bir fonksiyonun grafiksel temsiline dayanan bir teknik kullanıyoruz.
Fonksiyonu dönüştürdükten sonra şunu elde ederiz: y 2 + x 2 = 25 ve y ≥ 0, |x| ≤ 5.
$x^(2)+y^(2)=r^(2)$ ifadesinin r yarıçaplı bir dairenin denklemi olduğu unutulmamalıdır.
Bu kısıtlamalar altında, bu denklemin grafiği, merkezi orijinde olan ve yarıçapı 5'e eşit olan üst yarım dairedir. Açıkçası, E(y) = .
Cevap: E(y) = .
Referanslar
Birleşik Devlet Sınavı problemlerinde fonksiyonların önem alanı, Irina Borisovna Minyuk
Bir fonksiyonun değer kümesini bulmak için ipuçları, Belyaeva I., Fedorova S.
Fonksiyon değerleri kümesini bulma
Giriş sınavlarında matematik problemleri nasıl çözülür, I.I.Melnikov, I.N.Sergeev
