Çoklu fonksiyon değerleri ne anlama geliyor? Fonksiyon aralığı (fonksiyon değerleri seti)

sen = X 3

y =| X|

y =

e( sen) = [- 1, 1]

e( sen) = (– ∞, + ∞)

e( sen) = (– ∞, + ∞)

e( sen) = (– ∞, + ∞)

e( sen) = (0, + ∞)

Trigonometrik fonksiyonların bir dizi değerini bulma problemlerini çözmek için bir algoritmanın tanıtılması.

Mevcut deneyimimizi Birleşik Sınav seçeneklerinde yer alan çeşitli görevlere nasıl uygulayabileceğimizi görelim.

1. Belirli bir argüman değeri için fonksiyonların değerlerini bulma.

Örnek. y = 2 fonksiyonunun değerini bulun çünkü(π/2+ π/4 ) – 1, Eğer x = -π/2.

Çözüm.

= –
– 1.

2. Trigonometrik fonksiyonların değer aralığını bulma


Çözüm.

1≤ günahX≤ 1

2 ≤ 2 günahX≤ 2

9 ≤ 11+2günahX≤ 13

3 ≤
+2∙ günah x ≤
yani E(y) = .

Fonksiyonun tamsayı değerlerini aralık üzerine yazalım. Bu 3 numara.

Cevap: 3.

• 
  Fonksiyon değerleri kümesini bulun en= günah 2 X+6sin X + 10.

• 
  Fonksiyon değerleri kümesini bulun: en = günah 2 X - 6 günah x + 8 . (kendi başına)

en= günah 2 X- 2×3 günahx + 3 2 - 3 2 + 8,

en= (günahX- 3) 2 -1.

E ( günahX) = [-1;1];

E ( günahX -3) = [-4;-2];

E ( günahX -3) 2 = ;

E ( en) = .

Cevap: .

• 
  Fonksiyonun en küçük değerini bulun en= çünkü 2 X+ 2sin X – 2.

Bu fonksiyonun değer kümesini bulabilir miyiz? (HAYIR.)

Ne yapılmalı? (Tek fonksiyona azaltın.)

Nasıl yapılır? (cos 2 formülünü kullanın X= 1-günah 2 X.)

Bu yüzden, en= 1-günah 2 X+ 2sin X –2,

sen= -sin 2 X+ 2sin X –1,

en= -(günah X –1) 2 .

Artık bir dizi değer bulabilir ve en küçüğünü seçebiliriz.

1 ≤ günah X ≤ 1,

2 ≤ günah X – 1 ≤ 0,

0 ≤ (günah X – 1) 2 ≤ 4,

4 ≤ -(günah X -1) 2 ≤ 0.

Bu, fonksiyonun en küçük değerinin olduğu anlamına gelir. en isim= –4. Cevap: -4.

• 
  Fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerinin çarpımını bulun

Çözüm.

en= 1-cos 2 X+çünkü X + 1,5,

en= -cos 2 X+ 2∙0,5∙cos X - 0,25 + 2,75,

en= -(çünkü X- 0,5) 2 + 2,75.

E(çünkü X) = [-1;1],

E(çünkü X – 0,5) = [-1,5;0,5],

E(çünkü X – 0,5) 2 = ,

E(-(çünkü X-0,5) 2) = [-2,25;0],

e( en) = .

En büyük fonksiyon değeri en naib= 2,75; en küçük değer en isim= 0,5. Fonksiyonun en büyük ve en küçük değerinin çarpımını bulalım:

en naib ∙en isim = 0,5∙2,75 = 1,375.

Cevap: 1.375.

Fonksiyonu formda yeniden yazalım. en =,

en =
,

Şimdi fonksiyonun değer kümesini bulalım.

E(günah X) = [-1, 1],

E(6sin X) = [-6, 6],

E(6sin X + 1) = [-5, 7],

E((6sin X + 1) 2) = ,

E(– (6sin X + 1) 2) = [-49, 0],

E(– (6sin X + 1) 2 + 64) = ,

e( sen) = [
, 8].

Fonksiyonun tamsayı değerlerinin toplamını bulalım: 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30.

Cevap: 30.

1)
yani X ilk çeyreğe aittir.

2)

Bu nedenle 2 X ikinci çeyreğe aittir.

3) İkinci çeyrekte sinüs fonksiyonu azalır ve sürekli olur. Bu şu anlama gelir: bu fonksiyon
tüm değerleri alır
önce

4) Bu değerleri hesaplayalım:

Cevap :
.

1) Sinüs -1'den 1'e kadar değerler aldığından, fark değerleri kümesi
. ile çarpıldığında
bu segment segmente girecek
.

2) Ark kosinüs monoton olarak azalan ve sürekli bir fonksiyondur. Bu, ifadenin değer kümesinin bir segment olduğu anlamına gelir
.

3) Bu segmenti ile çarparken aldık
.

Cevap:
.

Arktanjant artan bir fonksiyon olduğundan, o zaman
.

2) Artırırken X itibaren
önce argüman 2 X itibaren artar
önce . Böyle bir aralıkta sinüs arttığı için fonksiyon
değerleri alır
1'e.

3) Arttırıldığında önce
argüman 2 X itibaren artar önce
. Böyle bir aralıkta sinüs azaldığı için fonksiyon
değerleri alır
1'e.

4) Yarım açının tanjantından geçen sinüsü ifade eden formülü kullanarak şunu buluruz:

.

Bu, istenen değer kümesinin segmentlerin birleşimi olduğu anlamına gelir
Ve
yani segment
.

Cevap:
.
Bu teknik (Yardımcı açının tanıtılması), formun fonksiyonlarının bir dizi değerini bulmak için kullanılır.

en= a günah x + b çünkü x veya en= bir günah (Rx) + b çünkü (RX).

• 
  Fonksiyon değerleri kümesini bulun

Çözüm.

Değeri bulalım
=
= 25.

İfadeyi dönüştürelim

15 günah 2x + 20 çünkü 2x = 25 (
) = 25 () =

25 günah (2x + ), çünkü nerede = günah =.

Fonksiyon değerleri kümesi y = sin (2x + ): -1 günah (2x + ) 1.

O halde orijinal fonksiyonun değer kümesi -25'tir 25 günah (2x + ) 25.

Cevap: [-25; 25].
3. Bir fonksiyonun bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerini bulma görevleri.

• 
  Fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulun en= сtg X[π/4; π/2].

İşlev en= сtg X[π/4; π/2], dolayısıyla fonksiyon aşağıdaki durumlarda en küçük değeri alacaktır: x =π/2, yani en(π/2) = сtg π/2 = 0; ve en büyük değer x=π/4, yani en(π/4) = сtg π/4 = 1.

Cevap: 1, 0.

Eşitlik içinde seçim yapalım
Bütün parça: .

Bundan, f(x) fonksiyonunun grafiğinin ya bir hiperbol (a≠ 0) ya da noktası olmayan bir düz çizgi olduğu sonucu çıkar.

Ayrıca eğer a; 2a) ve (2a;
) ve eğer a > 0 ise bu ışınlar üzerinde monoton olarak artar.

Eğer a = 0 ise, x ≠ 0 tanım kümesinin tamamı boyunca f(x) = -2 olur. Bu nedenle parametrenin gerekli değerlerinin sıfıra eşit olmadığı açıktır.

Fonksiyon değerleriyle yalnızca [-1; 1], o zaman durumların sınıflandırılması, hiperbolün (a≠0) asimptotu x = 2a'nın bu segmente göre konumlandırılması gerçeğiyle belirlenir.

Durum 1. [-1; aralığındaki tüm noktalar; 1] dikey asimptot x = 2a'nın sağındadır, yani 2a olduğunda

Durum 2. Dikey asimptot [-1; 1] ve fonksiyon azalır (durum 1'deki gibi), yani

Durum 3. Dikey asimptot [-1; 1] ve fonksiyon artar, yani -1

.

Durum 4. [-1; aralığındaki tüm noktalar; 1] dikey asimptotun solundadır, yani 1 a > . ve ikinci
Teknik 4 . X'ten y'ye kadar ifade etme. (Ters fonksiyonun tanım kümesi aranıyor)

Resepsiyon 5. Kesirli-rasyonel bir fonksiyonu tanımlayan formülün basitleştirilmesi

Resepsiyon 6. Birden fazla değer bulma ikinci dereceden fonksiyonlar(parabolün tepe noktasını bularak ve dallarının davranışını belirleyerek).

Resepsiyon 7. Bazı trigonometrik fonksiyonların değer kümesini bulmak için yardımcı açının tanıtılması.

Sayfa 1

Bir değişkenin diğerine bağımlılığına denir fonksiyonel bağımlılık. Bağımlılık değişkeni sen değişkenden X isminde işlev, eğer her değer X tek bir değerle eşleşiyor sen.

Tanım:

Değişken X bağımsız değişken olarak adlandırılır veya argüman ve değişken sen- bağımlı. Bunu söylüyorlar sen bir fonksiyonudur X. Anlam sen, belirtilen değere karşılık gelir X, isminde fonksiyon değeri.

Kabul ettiği tüm değerler X, biçim bir fonksiyonun alanı; aldığı tüm değerler sen, biçim fonksiyon değerleri kümesi.

Tanımlar:

D(f)- argüman değerleri. E(f)- fonksiyon değerleri. Bir fonksiyon bir formülle veriliyorsa tanım alanının, bu formülün anlamlı olduğu değişkenin tüm değerlerinden oluştuğu kabul edilir.

Fonksiyon grafiği apsisleri argümanın değerlerine eşit olan ve koordinatları fonksiyonun karşılık gelen değerlerine eşit olan koordinat düzlemindeki tüm noktaların kümesidir. Eğer bir değer x=x0 birden fazla değerle eşleşir (yalnızca bir değil) sen o zaman böyle bir yazışma bir fonksiyon değildir. Koordinat düzlemindeki bir dizi noktanın belirli bir fonksiyonun grafiği olabilmesi için Oy eksenine paralel herhangi bir düz çizginin grafikle en fazla bir noktada kesişmesi gerekli ve yeterlidir.

Bir işlevi belirtme yöntemleri

1) Fonksiyon ayarlanabilir analitik olarak bir formül şeklinde. Örneğin,

2) Fonksiyon birçok çiftten oluşan bir tablo ile belirtilebilir. (x; y).

3) Fonksiyon grafiksel olarak belirtilebilir. Değer çiftleri (x; y) koordinat düzleminde gösterilmektedir.

Fonksiyonun monotonluğu

İşlev f(x) isminde artan belirli bir sayısal aralıkta, argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık geliyorsa. Belirli bir noktanın grafikte soldan sağa doğru hareket ettiğini hayal edin. Daha sonra nokta grafiğin yukarısına “tırmanıyor” gibi görünecek.

İşlev f(x) isminde azalan Belirli bir sayısal aralıkta, eğer argümanın daha büyük bir değeri fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık geliyorsa. Belirli bir noktanın grafikte soldan sağa doğru hareket ettiğini hayal edin. Daha sonra nokta grafikte "yuvarlanıyor" gibi görünecektir.

Belirli bir sayısal aralıkta yalnızca artan veya yalnızca azalan bir fonksiyona ne ad verilir? monoton bu aralıkta.

Fonksiyonun sıfırları ve sabit işaret aralıkları

Değerler X, hangi y=0, isminde fonksiyon sıfırları. Bunlar fonksiyon grafiğinin Ox ekseni ile kesişme noktalarının apsisleridir.

Bu tür değer aralıkları X, burada fonksiyon değerleri sen ya yalnızca olumlu ya da yalnızca olumsuz denir fonksiyonun sabit işaretli aralıkları.

Çift ve tek fonksiyonlar

Eşit işlev
1) Tanım alanı (0; 0) noktasına göre simetriktir; yani eğer nokta A tanım alanına aitse, o zaman nokta -A aynı zamanda tanım alanına da aittir.
2) Herhangi bir değer için X f(-x)=f(x)
3) Çift fonksiyonun grafiği Oy eksenine göre simetriktir.

Tek işlev aşağıdaki özelliklere sahiptir:
1) Tanım alanı (0; 0) noktasına göre simetriktir.
2) herhangi bir değer için X tanım alanına ait olan eşitlik f(-x)=-f(x)
3) Tek bir fonksiyonun grafiği orijine (0; 0) göre simetriktir.

Her fonksiyon çift veya tek değildir. Fonksiyonlar Genel görünüm ne çift ne de tektir.

Periyodik fonksiyonlar

İşlev F herhangi biri için öyle bir sayı varsa periyodik olarak adlandırılır. X tanım alanından eşitlik f(x)=f(x-T)=f(x+T). T fonksiyonun periyodudur.

Her periyodik fonksiyonun sonsuz sayıda periyodu vardır. Pratikte genellikle en küçük pozitif periyot dikkate alınır.

Periyodik bir fonksiyonun değerleri, periyoda eşit bir aralıktan sonra tekrarlanır. Bu, grafikler oluşturulurken kullanılır.

D(f)- argümanın alabileceği değerler, yani. bir fonksiyonun alanı.

E(f)- fonksiyonun alabileceği değerler, yani. fonksiyon değerleri kümesi.

Fonksiyon aralıklarını bulma yöntemleri.

karmaşık fonksiyon argümanlarının değerlerini sırayla bulma;

tahmin/sınır yöntemi;

bir fonksiyonun süreklilik ve monotonluk özelliklerinin kullanılması;

türev kullanımı;

bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini kullanma;

grafik yöntemi;

parametre giriş yöntemi;

ters fonksiyon yöntemi.

Bunlardan bazılarına bakalım.

Türev kullanma

Genel yaklaşım Sürekli bir f(x) fonksiyonunun değer kümesini bulmak, f(x) fonksiyonunun kendi tanım kümesindeki en büyük ve en küçük değerlerini bulmaktan (veya bunlardan birinin veya her ikisinin de var olmadığını kanıtlamaktan) oluşur.

İşlev değerleri kümelerini bulmanız gerekirse segmentte:

verilen f "(x) fonksiyonunun türevini bulun;

f(x) fonksiyonunun kritik noktalarını bulun ve bu doğru parçasına ait olanları seçin;

segmentin uçlarındaki ve seçilen kritik noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplayın;

bulunan değerler arasından en küçük ve en büyük değerleri seçin;

Fonksiyon değerleri kümesi bu değerlerin arasına alınır.

Bir fonksiyonun etki alanı ise aralık, o zaman aynı şema kullanılır, ancak argüman aralığın sonuna doğru gittiği için uçlardaki değerler yerine fonksiyonun sınırları kullanılır. Sınır değerleri değer setine dahil değildir.

Sınırlar/Skorlar Yöntemi

Fonksiyon değerleri kümesini bulmak için önce bağımsız değişken değerleri kümesini bulun, ardından işlev fonksiyonunun karşılık gelen en küçük ve en büyük değerlerini bulun. Eşitsizlikler kullanılarak sınırlar belirlenir.

Esas olan, sürekli bir fonksiyonu aşağıdan ve yukarıdan tahmin etmek ve fonksiyonun tahminlerin alt ve üst sınırlarına ulaştığını kanıtlamaktır. Bu durumda, fonksiyon değerleri kümesinin tahminin alt sınırından üst sınırına kadar olan aralıkla çakışması, fonksiyonun sürekliliği ve bunun için başka değerlerin bulunmaması ile belirlenir.

Sürekli bir fonksiyonun özellikleri

Diğer bir seçenek ise fonksiyonu sürekli monoton bir fonksiyona dönüştürmek, ardından eşitsizliklerin özelliklerini kullanarak yeni elde edilen fonksiyonun değer kümesini tahmin etmektir.

Karmaşık fonksiyon argümanlarının değerlerini sırayla bulma

Fonksiyonun oluşturulduğu ara fonksiyonların bir dizi değeri için sıralı aramaya dayanarak

Temel temel fonksiyonların değer aralıkları

Örnekler

Fonksiyon değerleri kümesini bulun:

Türev kullanma

Tanımın tanım kümesini buluyoruz: D(f)=[-3;3], çünkü $9-x^(2)\geq 0$

Türevi bulun: $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2)))$

x = 0 ise f"(x) = 0. $\sqrt(9-x^(2))=0$ ise f"(x) mevcut değildir, yani x = ±3 için. Üç kritik nokta elde ederiz: x 1 = –3, x 2 = 0, x 3 = 3, bunlardan ikisi doğru parçasının uçlarıyla çakışır. Hesaplayalım: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Yani f(x)'in en küçük değeri 0, en büyük değeri 3 olur.

Cevap: E(f) = .

Türev kullanılmaz

Fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun:

$'dan beri
f(x) = 1-\cos^(2)(x)+\cos(x)-\frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $ , o zaman:

$f(x)\leq \frac(3)(4)$ tüm x'ler için;

$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ tüm x(çünkü $|\cos) (x)|\leq 1$);

$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;

$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;

Cevap: $\frac(3)(4)$ ve $-\frac(3)(2)$

Bu problemi türev kullanarak çözerseniz, f(x) fonksiyonunun bir parça üzerinde değil, sayı doğrusunun tamamı üzerinde tanımlı olmasından kaynaklanan engelleri aşmanız gerekecektir.

Sınırlar/tahminler yöntemini kullanma

Sinüs tanımından şu sonuç çıkar: $-1\leq\sin(x)\leq 1$. Daha sonra sayısal eşitsizliklerin özelliklerini kullanacağız.

$-4\leq - 4\sin(x)\leq 4$, (çift eşitsizliğin üç kısmı da -4 ile çarpılır);

$1\leq 5 - 4\sin(x)\leq 9$ (çift eşitsizlik 5'in üç kısmına eklenir);

Bu fonksiyon tüm tanım alanı boyunca sürekli olduğundan, değerleri kümesi, eğer varsa, tüm tanım alanı boyunca en küçük ve en büyük değerleri arasında yer alır.

Bu durumda $y = 5 - 4\sin(x)$ fonksiyonunun değerler kümesi set olur.

$$ \\ -1\leq\cos(7x)\leq 1 \\ -5\leq 5\cos(x)\leq 5 $$ eşitsizliklerinden $$\\ -6\leq y\ tahminini elde ederiz leq 6$ $

x = p ve x = 0'da fonksiyon -6 ve 6 değerlerini alır, yani. tahminin alt ve üst sınırlarına ulaşır. Sürekli fonksiyonların cos(7x) ve cos(x) doğrusal bir kombinasyonu olarak, y fonksiyonu tüm sayı doğrusunda süreklidir, bu nedenle, sürekli bir fonksiyonun özelliği gereği, -6'dan 6'ya kadar tüm değerleri alır. , ve yalnızca onlar, çünkü $- 6\leq y\leq 6$ eşitsizlikleri nedeniyle diğer değerleri imkansızdır.

Bu nedenle E(y) = [-6;6].

$$ \\ -1\leq\sin(x)\leq 1 \\ 0\leq\sin^(2)(x)\leq 1 \\ 0\leq2\sin^(2)(x)\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ Cevap: E(f) = .

$$ \\ -\infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].

$$ \\ -\infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .

$$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\left ( ifadesini dönüştürelim (\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \right)\cos\left ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)(2 )) \right) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac(\ pi) (4)) $$.

Kosinüs tanımından şu şekilde çıkar: $$ \\ -1\leq\cos(x)\leq 1; \\ -1\leq \cos((x + \frac(\pi)(4)))\leq 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); $$

Bu fonksiyon tüm tanım alanı boyunca sürekli olduğundan, değerleri kümesi en küçük ve en büyük değerleri arasında, varsa fonksiyon değerleri kümesi $y =\sqrt(2)\cos((x) bulunur. +\frac(\pi)(4 )))$ $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$ kümesidir.

$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \\ E(3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x) )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$

$t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$'yi gösterelim, burada -∞≤t≤4. Böylece sorun, ışın (-∞;4) üzerindeki $y = \log_(0,5)(t)$ fonksiyonunun değer kümesini bulmaya indirgenir. $y = \log_(0,5)(t)$ fonksiyonu yalnızca t > 0 için tanımlandığından, bu durumda onun ışın (-∞;4) üzerindeki değerler kümesi, fonksiyon değerleri kümesiyle çakışır (0;4) aralığında, logaritmik fonksiyonun tanım bölgesi (0;+∞) ile ışının (-∞;4) kesişimini temsil eder. (0;4) aralığında bu fonksiyon süreklidir ve azalmaktadır. t > 0'da +∞'a yönelir ve t = 4'te -2 değerini alır, yani E(y) = (-2, +∞).

Bir fonksiyonun grafiksel temsiline dayanan bir teknik kullanıyoruz.

Fonksiyonu dönüştürdükten sonra şunu elde ederiz: y 2 + x 2 = 25 ve y ≥ 0, |x| ≤ 5.

$x^(2)+y^(2)=r^(2)$ ifadesinin r yarıçaplı bir dairenin denklemi olduğu unutulmamalıdır.

Bu kısıtlamalar altında, bu denklemin grafiği, merkezi orijinde olan ve yarıçapı 5'e eşit olan üst yarım dairedir. Açıkçası, E(y) = .

Cevap: E(y) = .

Referanslar

Fonksiyon aralığı Birleşik Devlet Sınavı görevleri, Minyuk Irina Borisovna

Bir fonksiyonun değer kümesini bulmak için ipuçları, Belyaeva I., Fedorova S.

Fonksiyon değerleri kümesini bulma

Giriş sınavlarında matematik problemleri nasıl çözülür, I.I.Melnikov, I.N.Sergeev

Bir fonksiyon bir modeldir. X'i bağımsız bir değişkenin değerleri kümesi olarak tanımlayalım // bağımsız herhangi biri anlamına gelir.

Fonksiyon, X kümesindeki bağımsız bir değişkenin her değeri için bağımlı değişkenin benzersiz bir değerinin bulunabildiği bir kuraldır. // yani her x'e karşılık bir y vardır.

Tanımdan, iki kavramın olduğu sonucu çıkmaktadır: bağımsız bir değişken (x ile gösterdiğimiz ve herhangi bir değeri alabilen) ve bir bağımlı değişken (y veya f(x) ile gösterdiğimiz ve aşağıdaki fonksiyondan hesaplanır) x) yerine koyarız.

ÖRNEK İÇİN y=5+x

1. Bağımsız x'tir, yani herhangi bir değer alırız, x=3 olsun

2. Şimdi y'yi hesaplayalım, yani y=5+x=5+3=8. (y x'e bağlıdır, çünkü yerine ne kadar x koyarsak aynı y'yi elde ederiz)

Y değişkeninin işlevsel olarak x değişkenine bağlı olduğu söylenir ve şu şekilde gösterilir: y = f(x).

ÖRNEĞİN.

1.y=1/x. (abartı denir)

2. y=x^2. (parabol denir)

3.y=3x+7. (doğru çizgi denir)

4. y= √ x. (parabol dalı denir)

Bağımsız değişkene (x ile gösterdiğimiz) fonksiyon argümanı denir.

İşlev Etki Alanı

Bir fonksiyon argümanının aldığı tüm değerlerin kümesine fonksiyonun tanım kümesi denir ve D(f) veya D(y) ile gösterilir.

1.,2.,3.,4 için D(y)'yi düşünün.

1. D (y)= (∞; 0) ve (0;+∞) //sıfır hariç tüm reel sayılar kümesi.

2. D (y)= (∞; +∞)//gerçel sayıların tümü

3. D (y)= (∞; +∞)//gerçel sayıların tümü

4.D(y)= )