أركسين سينكس الرسم البياني. الدوال المثلثية العكسية ورسومها البيانية وصيغها

الدوال المثلثية العكسية(الدوال الدائرية، الدوال القوسية) - الدوال الرياضية التي تكون عكسية للدوال المثلثية.

أركسين(كما تدل أرسين x; أرسين x- هذه هي الزاوية خطيئةيساوي له س).

أركسين (ص = أركسين س) - الدالة المثلثية العكسية ل خطيئة (س = الخطيئة ص)، الذي يحتوي على مجال ومجموعة من القيم . بمعنى آخر، يتم إرجاع الزاوية بقيمتها خطيئة.

وظيفة ص = الخطيئة سمتواصلة ومحدودة على طول خط الأعداد بأكمله. وظيفة ص = أركسين س- يزيد بشكل صارم.

خصائص وظيفة أركسين.

مؤامرة أركسين.

الحصول على وظيفة أركسين.

هناك وظيفة ص = سينكس. في جميع أنحاء مجال تعريفه بأكمله، فهو رتيب متعدد الأجزاء، وبالتالي فإن المراسلات العكسية ص = أركسين سليست وظيفة. ولذلك، فإننا نعتبر المقطع الذي يزداد عليه فقط ويأخذ كل قيمة من نطاق القيم - . لأن للوظيفة ص = سينكسعلى الفاصل يتم الحصول على جميع قيم الدالة بقيمة وسيطة واحدة فقط، مما يعني أنه على هذا الفاصل توجد دالة عكسية ص = أركسين س، الذي يكون رسمه البياني متماثلًا مع الرسم البياني للوظيفة ص = سينكسعلى قطعة مستقيمة نسبيا ص = س.

غالبًا ما يتم طرح المشكلات المتعلقة بالدوال المثلثية العكسية في الامتحانات النهائية المدرسية وفي امتحانات القبول في بعض الجامعات. لا يمكن إجراء دراسة تفصيلية لهذا الموضوع إلا في الفصول الاختيارية أو المقررات الاختيارية. تم تصميم الدورة المقترحة لتطوير قدرات كل طالب على أكمل وجه ممكن وتحسين إعداده الرياضي.

مدة الدورة 10 ساعات:

1. وظائف arcsin x، arccos x، arctg x، arcctg x (4 ساعات).

2. العمليات على الدوال المثلثية العكسية (4 ساعات).

3. العمليات المثلثية العكسية على الدوال المثلثية (ساعتان).

الدرس 1 (ساعتان) الموضوع: الوظائف y = arcsin x، y = arccos x، y = arctan x، y = arcctg x.

الهدف: التغطية الكاملة لهذا الموضوع.

1. الدالة y = أركسين x.

أ) بالنسبة للدالة y = sin x على المقطع توجد دالة معكوسة (ذات قيمة مفردة)، والتي اتفقنا على تسميتها arcsine والإشارة إليها كما يلي: y = arcsin x. الرسم البياني للدالة العكسية متماثل مع الرسم البياني للدالة الرئيسية فيما يتعلق بمنصف زوايا الإحداثيات I - III.

خصائص الدالة y = arcsin x.

1) مجال التعريف: الجزء [-1؛ 1]؛

2) مجال التغيير: المقطع؛

3) الدالة y = arcsin x فردي: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) الدالة y = arcsin x تتزايد بشكل رتيب؛

5) يتقاطع الرسم البياني مع محوري الثور، أوي عند نقطة الأصل.

مثال 1. أوجد a = arcsin. يمكن صياغة هذا المثال بالتفصيل على النحو التالي: ابحث عن وسيطة تقع في النطاق من إلى، والتي يساوي جيبها.

حل. هناك عدد لا يحصى من الحجج التي يساوي جيبها، على سبيل المثال: إلخ. لكننا مهتمون فقط بالحجة الموجودة في هذا المقطع. ستكون هذه الحجة. لذا، .

مثال 2. البحث .حل.يتجادل بنفس الطريقة كما في المثال 1، نحصل على .

ب) التمارين الشفهية. البحث عن: arcsin 1، arcsin (-1)، arcsin، arcsin ()، arcsin، arcsin ()، arcsin، arcsin ()، arcsin 0. نموذج الإجابة: ، لأن . هل التعبيرات منطقية: ; أركسين 1.5؛ ?

ج) رتب بترتيب تصاعدي: أركسين، أركسين (-0.3)، أركسين 0.9.

ثانيا. الوظائف y = arccos x، y = arctg x، y = arcctg x (مشابهة).

الدرس الثاني (ساعتان) الموضوع: الدوال المثلثية العكسية ورسومها البيانية.

الغرض: في هذا الدرس من الضروري تطوير المهارات في تحديد القيم الدوال المثلثية، في إنشاء الرسوم البيانية للدوال المثلثية العكسية باستخدام D (y)، E (y) والتحويلات اللازمة.

في هذا الدرس، تمارين كاملة تتضمن إيجاد مجال التعريف، ومجال قيمة الدوال من النوع: y = arcsin، y = arccos (x-2)، y = arctg (tg x)، y = arccos.

يجب عليك إنشاء رسوم بيانية للوظائف: أ) y = arcsin 2x؛ ب) ص = 2 أركسين 2x؛ ج) ص = أركسين؛

د) ص = أركسين؛ ه) ص = أركسين؛ ه) ص = أركسين؛ ز) ذ = | أرسين | .

مثال.دعونا نرسم y = arccos

يمكنك تضمين التمارين التالية في واجبك المنزلي: إنشاء رسوم بيانية للوظائف: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | س | .

الرسوم البيانية للوظائف العكسية

الدرس رقم 3 (ساعتان) الموضوع:
العمليات على الدوال المثلثية العكسية.

الهدف: توسيع المعرفة الرياضية (وهذا أمر مهم لأولئك الذين يدخلون التخصصات مع زيادة متطلبات التدريب الرياضي) من خلال إدخال العلاقات الأساسية للدوال المثلثية العكسية.

مادة للدرس.

بعض العمليات المثلثية البسيطة على الدوال المثلثية العكسية: الخطيئة (arcsin x) = x , ixi ? 1؛ كوس (arсcos س) = س، أنا الحادي عشر؟ 1؛ tg (arctg x)= x , x I R; ctg (arcctg x) = x , x I R.

تمارين.

أ) tg (1.5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctg x) = ; تيراغرام (arcctg س) = .

ب) cos ( + arcsin 0.6) = - cos (arcsin 0.6). دع arcsin 0.6 = a، sin a = 0.6؛

كوس (أركسين س) =؛ الخطيئة (أركوس س) = .

ملاحظة: نأخذ علامة "+" أمام الجذر لأن a = arcsin x يرضي .

ج) الخطيئة (1.5 + أركسين).الإجابة:؛

د) ctg ( + arctg 3).الإجابة: ;

هـ) tg (- arcctg 4).الإجابة: .

ه) كوس (0.5 + أركوس). إجابة: .

احسب:

أ) الخطيئة (2 أركان 5) .

دع القطب الشمالي 5 = أ، ثم الخطيئة 2 أ = أو الخطيئة (2 أركان 5) = ;

ب) كوس ( + 2 أركسين 0.8) الجواب: 0.28.

ج) أركتج + أركتج.

دع a = arctg، b = arctg،

ثم تيراغرام (أ + ب) = .

د) الخطيئة (أركسين + أركسين).

هـ) إثبات ذلك لجميع x I [-1؛ 1] صحيح أركسين س + أركوس س = .

دليل:

أركسين س = - أركوس س

الخطيئة (أركسين س) = الخطيئة (- أركوس س)

س = كوس (أركوس س)

لحلها بنفسك:الخطيئة (arccos)، cos (arcsin)، cos (arcsin ()))، الخطيئة (arctg (- 3))، tg (arccos)، ctg (arccos).

للحصول على حل منزلي: 1) الخطيئة (arcsin 0.6 + arctan 0)؛ 2) أركسين + أركسين ؛ 3) CTG (- أركوس 0.6)؛ 4) كوس (2 arcctg 5) ؛ 5) الخطيئة (1.5 - أرسين 0.8)؛ 6) أركتج 0.5 – أركتج 3.

الدرس رقم 4 (ساعتان) الموضوع: العمليات على الدوال المثلثية العكسية.

الهدف: في هذا الدرس، قم بتوضيح استخدام النسب في تحويل التعبيرات الأكثر تعقيدًا.

مادة للدرس.

شفويا:

أ) الخطيئة (arccos 0.6)، cos (arcsin 0.8)؛

ب) tg (arcсtg 5)، ctg (arctg 5)؛

ج) الخطيئة (arctg -3)، cos (arcсtg())؛

د) tg (arccos)، ctg (arccos()).

مكتوبة:

1) كوس (أركسين + أركسين + أركسين).

2) cos (arctg 5–arccos 0.8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0.8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0.8) =

3) تيراغرام (- أركسين 0.6) = - تيراغرام (أركسين 0.6) =

سيساعد العمل المستقل في تحديد مستوى إتقان المادة.

1) تيراغرام (arctg 2 – arctg)

2) كوس( - أركانتان2)

3) أركسين + أركوس

1) كوس (أركسين + أركسين)

2) الخطيئة (1.5 - أركانتان 3)

3) أرككتج3 - أركتج 2

ل العمل في المنزليمكننا أن نقترح:

1) ctg (arctg + arctg + arctg)؛ 2) الخطيئة 2 (arctg 2 – arcctg ()); 3) الخطيئة (2 arctg + tan ( arcsin ))؛ 4) الخطيئة(2 arctg); 5) تيراغرام ((أركسين))

الدرس رقم 5 (ساعتان) الموضوع: العمليات المثلثية العكسية على الدوال المثلثية.

الهدف: تكوين فهم الطلاب للعمليات المثلثية العكسية على الدوال المثلثية، مع التركيز على زيادة فهم النظرية قيد الدراسة.

عند دراسة هذا الموضوع، يفترض أن حجم المادة النظرية المراد حفظها محدود.

مادة الدرس:

يمكنك البدء في تعلم مواد جديدة من خلال دراسة الدالة y = arcsin (sin x) ورسم الرسم البياني الخاص بها.

3. كل x I R مرتبط بـ y I، أي.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. الدالة فردية: sin(-x) = - sin x; أركسين(الخطيئة(-x)) = - أركسين(الخطيئة س).

6. الرسم البياني y = arcsin (sin x) على:

أ) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

ب)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

الخطيئة y = الخطيئة ( – x) = الخطيئة x , 0<= - x <= .

لذا،

بعد أن قمنا ببناء y = arcsin (sin x) على، نواصل بشكل متماثل حول الأصل على [-؛ 0] نظرا لغرابة هذه الوظيفة. باستخدام الدورية، نستمر على طول خط الأعداد بأكمله.

ثم اكتب بعض العلاقات: أركسين (الخطيئة أ) = إذا<= a <= ; arccos (cos أ ) = إذا كان 0<= a <= ; arctg (tg a) = a if< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

وقم بالتمارين التالية: أ) arccos(sin 2). الإجابة: 2 - ; ب) أركسين (cos 0.6) الإجابة: - 0.1؛ ج) arctg (tg 2) الإجابة: 2 - ;

د) arcctg(tg 0.6).الإجابة: 0.9؛ هـ) أركوس (cos ( - 2)).الإجابة: 2 - ; ه) أركسين (الخطيئة ( - 0.6)). الجواب: - 0.6؛ ز) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). الجواب: 2 - ; ح) аrcctg (tg 0.6). الجواب: - 0.6؛ - أركانتان س؛ ه) أركوس + أركوس

الدوال sin وcos وtg وctg تكون دائمًا مصحوبة بـ arcsine وarcosine وarcotangent وarccotangent. أحدهما نتيجة للآخر، وأزواج الوظائف لها نفس القدر من الأهمية عند التعامل مع التعبيرات المثلثية.

خذ بعين الاعتبار رسمًا لدائرة الوحدة، والذي يعرض بيانيًا قيم الدوال المثلثية.

إذا قمنا بحساب الأقواس OA، وarcos OC، وarctg DE، وarcctg MK، فستكون جميعها مساوية لقيمة الزاوية α. تعكس الصيغ أدناه العلاقة بين الدوال المثلثية الأساسية والأقواس المقابلة لها.

لفهم المزيد عن خصائص الأركسين، من الضروري النظر في وظيفتها. جدول له شكل منحنى غير متماثل يمر عبر مركز الإحداثيات.

خصائص أركسين:

إذا قارنا الرسوم البيانية خطيئةو أركسين، يمكن أن يكون لوظيفتين مثلثيتين أنماط مشتركة.

جيب التمام القوس

Arccos لرقم ما هي قيمة الزاوية α، التي يساوي جيب تمامها a.

منحنى ص = أركوس سيعكس الرسم البياني arcsin x، مع الاختلاف الوحيد وهو أنه يمر عبر النقطة π/2 على محور OY.

دعونا نلقي نظرة على وظيفة قوس جيب التمام بمزيد من التفاصيل:

يتم تعريف الوظيفة على الفاصل الزمني [-1؛ 1].
ODZ لـ arccos - .
يقع الرسم البياني بالكامل في الربعين الأول والثاني، والدالة نفسها ليست زوجية ولا فردية.
ص = 0 عند س = 1.
يتناقص المنحنى على طوله بالكامل. تتزامن بعض خصائص قوس جيب التمام مع وظيفة جيب التمام.

تتزامن بعض خصائص قوس جيب التمام مع وظيفة جيب التمام.

ربما يجد تلاميذ المدارس أن مثل هذه الدراسة "التفصيلية" لـ "الأقواس" غير ضرورية. ومع ذلك، بخلاف ذلك، يمكن لبعض مهام الامتحانات القياسية الابتدائية أن تقود الطلاب إلى طريق مسدود.

التمرين 1.أشر إلى الوظائف الموضحة في الشكل.

إجابة:أرز. 1 - 4، الشكل 2 - 1.

في هذا المثال، يتم التركيز على الأشياء الصغيرة. عادةً ما يكون الطلاب غير مهتمين جدًا ببناء الرسوم البيانية وظهور الوظائف. في الواقع، لماذا نتذكر نوع المنحنى إذا كان من الممكن دائمًا رسمه باستخدام النقاط المحسوبة. لا تنس أنه في ظل ظروف الاختبار، سيكون الوقت الذي تقضيه في الرسم لمهمة بسيطة مطلوبًا لحل المهام الأكثر تعقيدًا.

ظل قوسي

أركتجالأرقام a هي قيمة الزاوية α بحيث يكون ظلها يساوي a.

إذا نظرنا إلى الرسم البياني القوسي، فيمكننا تسليط الضوء على الخصائص التالية:

الرسم البياني لا نهائي ومحدد على الفاصل الزمني (- ∞; + ∞).
ظل القطب الشمالي هو دالة فردية، وبالتالي فإن القطب الشمالي (- x) = - القطب الشمالي x.
ص = 0 عند س = 0.
يزداد المنحنى خلال نطاق التعريف بأكمله.

دعونا نقدم تحليلًا مقارنًا مختصرًا لـ tg x وarctg x في شكل جدول.

ظل تمام التمام

Arcctg لرقم - يأخذ القيمة α من الفاصل الزمني (0; π) بحيث يكون ظل التمام الخاص بها مساويًا لـ a.

خصائص دالة ظل التمام القوسية:

الفاصل الزمني لتعريف الدالة هو اللانهاية.
نطاق القيم المقبولة هو الفاصل الزمني (0؛ π).
F(x) ليست زوجية ولا فردية.
طوال طوله، يتناقص الرسم البياني للدالة.

من السهل جدًا مقارنة ctg x وarctg x، كل ما عليك فعله هو رسم رسمين ووصف سلوك المنحنيات.

المهمة 2.تطابق الرسم البياني وشكل تدوين الدالة.

إذا فكرنا بشكل منطقي، فمن الواضح من الرسوم البيانية أن كلا الدالتين في ازدياد. لذلك، يعرض كلا الشكلين دالة قطبية معينة. من خواص ظل القطب الشمالي يعرف أن y=0 عند x = 0،

إجابة:أرز. 1 - 1، الشكل. 2 - 4.

الهويات المثلثية arcsin وarcos وarctg وarcctg

سبق لنا أن حددنا العلاقة بين الأقواس والوظائف الأساسية لعلم المثلثات. يمكن التعبير عن هذا الاعتماد من خلال عدد من الصيغ التي تسمح للشخص بالتعبير، على سبيل المثال، عن جيب الوسيطة من خلال قوس جيب التمام أو قوس جيب التمام أو العكس. يمكن أن تكون معرفة مثل هذه الهويات مفيدة عند حل أمثلة محددة.

هناك أيضًا علاقات لـ arctg و arcctg:

زوج آخر مفيد من الصيغ يحدد قيمة مجموع arcsin وarcos، بالإضافة إلى arcctg وarcctg من نفس الزاوية.

أمثلة على حل المشكلات

يمكن تقسيم مهام علم المثلثات إلى أربع مجموعات: حساب القيمة العددية لتعبير معين، وإنشاء رسم بياني لدالة معينة، والعثور على مجال التعريف الخاص بها أو ODZ وإجراء تحويلات تحليلية لحل المثال.

عند حل النوع الأول من المشكلة يجب الالتزام بخطة العمل التالية:

عند العمل مع الرسوم البيانية الوظيفية، فإن الشيء الرئيسي هو معرفة خصائصها ومظهر المنحنى. يتطلب حل المعادلات المثلثية والمتباينات جداول الهوية. كلما زاد عدد الصيغ التي يتذكرها الطالب، أصبح من الأسهل العثور على إجابة المهمة.

لنفترض أنك في امتحان الدولة الموحدة تحتاج إلى العثور على إجابة لمعادلة مثل:

إذا قمت بتحويل التعبير بشكل صحيح وإحضاره إلى النموذج المطلوب، فسيكون حله بسيطًا وسريعًا للغاية. أولاً، دعنا ننقل arcsin x إلى الجانب الأيمن من المساواة.

إذا كنت تتذكر الصيغة أركسين (الخطيئة α) = αعندها يمكننا اختصار البحث عن الإجابات إلى حل نظام من معادلتين:

نشأ التقييد على النموذج x مرة أخرى من خصائص arcsin: ODZ for x [-1; 1]. عندما يكون ≠0، يكون جزء من النظام عبارة عن معادلة تربيعية ذات جذور x1 = 1 وx2 = - 1/a. عندما يكون a = 0، فإن x تساوي 1.

وبما أن الدوال المثلثية دورية، فإن دوالها العكسية ليست فريدة من نوعها. إذن المعادلة y= الخطيئة س، على سبيل المثال، له عدد لا نهائي من الجذور. في الواقع، نظرًا لدورية الجيب، إذا كان x جذرًا، فهو كذلك س + 2πن(حيث n عدد صحيح) سيكون أيضًا جذر المعادلة. هكذا، الدوال المثلثية العكسية متعددة القيم. لتسهيل العمل معهم، يتم تقديم مفهوم معانيهم الرئيسية. خذ على سبيل المثال شرط الجيب: y = الخطيئة س. إذا قصرنا الوسيطة x على الفاصل الزمني، فستكون الدالة y = عليها الخطيئة سيزيد رتابة. ولذلك، فإن لها دالة عكسية فريدة تسمى قوس الجيب: x = أرسين ذ.

ما لم ينص على خلاف ذلك، نعني بالدوال المثلثية العكسية قيمها الرئيسية، والتي يتم تحديدها من خلال التعريفات التالية.

أركسين ( ص = أرسين x) هي الدالة العكسية للجيب ( س = سيني
قوس جيب التمام ( ص = أركوس x) هي الدالة العكسية لجيب التمام ( س = مريح) ، لها مجال تعريف ومجموعة من القيم.
ظل قوسي ( ص = أركانتان x) هي الدالة العكسية للظل ( س = تيراغرام ذ) ، لها مجال تعريف ومجموعة من القيم.
ظل التمام القوسي ( ص = arcctg x) هي الدالة العكسية لظل التمام ( س = CTG ذ) ، لها مجال تعريف ومجموعة من القيم.

الرسوم البيانية للدوال المثلثية العكسية

يتم الحصول على الرسوم البيانية للدوال المثلثية العكسية من الرسوم البيانية للدوال المثلثية عن طريق انعكاس المرآة فيما يتعلق بالخط المستقيم y = x. انظر الأقسام جيب التمام، وجيب التمام، والظل، وظل التمام.

ص = أرسين x

ص = أركوس x

ص = أركانتان x

ص = arcctg x

الصيغ الأساسية

هنا يجب عليك إيلاء اهتمام خاص للفترات التي تكون فيها الصيغ صالحة.

أركسين (الخطيئة س) = سفي
الخطيئة (اركسين س) = س
أركوس (كوس س) = سفي
كوس (أركوس س) = س

القطب الشمالي (tg س) = سفي
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = xفي
ctg(arcctg x) = x

الصيغ المتعلقة بالدوال المثلثية العكسية

أنظر أيضا: اشتقاق الصيغ للدوال المثلثية العكسية

صيغ الجمع والفرق

في أو

في و

في و

في

في

في

في

في

مراجع:
في. برونشتاين، ك.أ. سيمنديايف، دليل الرياضيات للمهندسين وطلاب الجامعات، "لان"، 2009.

(الدوال الدائرية، الدوال القوسية) - الدوال الرياضية التي تكون عكسية للدوال المثلثية.

جيب التمام القوس، دالة عكسية لـ cos (x = cos y)، ص =أركوس سيتم تعريفه في وله العديد من القيم. بمعنى آخر، يتم إرجاع الزاوية بقيمتها كوس.

جيب التمام القوس(تعيين: أركوس x; أركوس xهي الزاوية التي جيب تمامها يساوي سوما إلى ذلك وهلم جرا).

وظيفة ص = كوس سمتواصلة ومحدودة على طول خط الأعداد بأكمله. وظيفة ص = أركوس سيتناقص بشدة.

خصائص وظيفة أركسين.

الحصول على وظيفة أركوس.

نظرا لوظيفة ص = كوس س. في جميع أنحاء مجال تعريفه بأكمله، فهو رتيب متعدد الحكمة، وبالتالي، هو المراسلات العكسية ص = أركوس سليست وظيفة. لذلك، سننظر في الجزء الذي يتناقص عليه بشكل صارم ويأخذ جميع قيمه - . على هذا الجزء ص = كوس سيتناقص بشكل رتيب تمامًا ويأخذ جميع قيمه مرة واحدة فقط، مما يعني وجود دالة عكسية على القطعة ص = أركوس س، الذي يكون رسمه البياني متماثلًا مع الرسم البياني ص = كوس سعلى قطعة مستقيمة نسبيا ص = س.