Dom Posao

Izgradnja Mercator projekcije. Misterija Mercatorove karte

Kada putujete pješice ili biciklom, topografska karta je nezaobilazan pratilac istraživača. Jedan od zadataka kartografija(jedna od disciplina takve nauke kao što je geodezija) je slika zakrivljene površine Zemlje (slika Zemlje) na ravnoj karti. Da biste riješili ovaj problem morate odabrati elipsoid- oblik trodimenzionalnog tijela, približno odgovarajući zemljine površine, datum— početna tačka koordinatnog sistema (centar elipsoida) i početni meridijan (eng. početni meridijan) I projekcija- metoda prikazivanja površine ovog tijela na ravni.

Elipsoidi i datumi

IN drugačije vrijeme za izradu karata korištene su različite opcije za predstavljanje Zemljine površine u obliku kugle ili elipsoida .

Predstavljanje Zemlje kao sfere poluprečnika 6378137 metara (ili 6367600 metara) omogućava vam da odredite koordinate bilo koje tačke na zemljinoj površini u obliku dva broja - geografske širine $\phi$ i dužine $\lambda$:

Za zemljin elipsoid koncept koji se koristi kao (geografska) širina geodetske širine(engleski) geodetske širine) φ - ugao formiran od normale na površinu zemljinog elipsoida u datoj tački i ravni njenog ekvatora , i normala ne prolazi kroz centar elipsoida isključujući ekvator i polove:

Vrijednost geografske dužine geografska dužina) λ zavisi od izbora početnog (nultog) meridijana za elipsoid.
Radijus glavne (ekvatorijalne) poluose se obično koristi kao parametri elipsoida a i kompresiju f .
Kompresija $f = ((a-b) \preko a)$ određuje spljoštenost elipsoida na polovima.

Jedan od prvih elipsoida bio je Beselov elipsoid(Beselov elipsoid, Besel 1841), utvrđen mjerenjima Friedricha Bessela 1841. Friedrich Wilhelm Bessel), sa dužinom velike poluose a= 6377397.155 m i kompresiju f = 1:299,152815 . Trenutno se koristi u Njemačkoj, Austriji, Češkoj i nekim azijskim i evropskim zemljama.

datum Potsdam (PD)

Ranije za izradu karata u projekciji UTM korišteno međunarodni elipsoid (Međunarodni elipsoid 1924, Hayfordov elipsoid) sa dužinom glavne (ekvatorijalne) poluose a= 6378388 m i kompresiju f = 1:297,00 , koji je predložio američki geodet John Fillmore Hayford ( 1910. godine.

John Fillmore Hayford

datum ED 50 (Evropski datum 1950)

elipsoid - Međunarodni elipsoid 1924
Prvi meridijan Greenwicha)

Za izvođenje radova na cijeloj teritoriji SSSR-a od 1946. godine (Rezolucija Vijeća ministara SSSR-a od 7. aprila 1946. br. 760) korišten je geodetski koordinatni sistem SK-42 (Pulkovo 1942), na osnovu elipsoid Krasovskog sa dužinom glavne (ekvatorijalne) poluose a= 6378245 m i kompresiju f= 1:298,3 . Ovaj referentni elipsoid je dobio ime po sovjetskom astronomu-geodezi Feodosiusu Nikolaevichu Krasovskom. Središte ovog elipsoida je pomaknuto u odnosu na Zemljino središte mase za otprilike 100 metara kako bi najbolje odgovaralo Zemljinoj površini na europskoj teritoriji SSSR-a.

datum Pulkovo-1942 (Pulkovo 1942)

elipsoid - Krasovski ( Krasowsky 1940)
početni meridijan - Greenwich meridijan ( Prvi meridijan Greenwicha)

Trenutno (uključujući u sistemu GPS) elipsoid se široko koristi WGS84 (Svjetski geodetski sistem 1984.) sa glavnom dužinom osovine a= 6378137 m, kompresija f = 1:298,257223563 i ekscentričnost e = 0,081819191 . Središte ovog elipsoida poklapa se sa centrom mase Zemlje.

datum WGS84 (EPSG:4326)

elipsoid - WGS84
Prime Meridian - referentni meridijan (IERS referentni meridijan (međunarodni referentni meridijan)), prolazeći 5,31″ istočno od Griničkog meridijana. Od ovog meridijana se mjeri geografska dužina u sistemu GPS(engleski) GPS dužina)

Centar koordinatnog sistema WGS84 poklapa se sa Zemljinim centrom mase, osom Z koordinatni sistem je usmjeren na referentni pol (engleski) IERS referentni stub (IRP) i poklapa se sa osom rotacije elipsoida, osom X prolazi duž linije presjeka početnog meridijana i ravnine koja prolazi kroz početnu točku i okomita na osu Z, osa Y okomito na osu X.

Alternativa elipsoidu WGS84 je elipsoid PZ-90, koji se koristi u sistemu GLONASS, sa dužinom velike poluose a= 6378136 m i kompresiju f = 1:298,25784 .

Konverzije datuma

Uz najjednostavniju opciju prijelaza između datuma Pulkovo-1942 I WGS84 potrebno je uzeti u obzir samo pomak centra elipsoida Krasovskog u odnosu na centar elipsoida WGS84:
preporučuje se u GOST 51794-2001 —
dX= +00023,92 m; dY= –00141,27 m; dZ= –00080,91 m;
preporučuje se u Svjetski geodetski sistem 1984. NIMA, 2000 —
dX= +00028 m; dY= –00130 m; dZ= –00095 m.
Treba napomenuti da su gore navedene prosječne vrijednosti koeficijenata, koji se za precizniju konverziju moraju izračunati za svaku tačku na zemljinoj površini pojedinačno. Na primjer, za Poljsku, susjednu Bjelorusiju, ovi parametri su sljedeći:
dX= +00023 m; dY= –00124 m; dZ= –00082 m (prema podacima )
Ova transformacija se zove troparametarski.
Sa preciznijom transformacijom ( transformacija Molodenskog) potrebno je uzeti u obzir razliku između oblika elipsoida, koju određuju dva parametra:
da- razlika između dužina glavnih poluosi, df— razlika između omjera kompresije (razlika u spljoštenju). Njihove vrijednosti su iste za GOST I NIMA:
da= – 00108 m; df= + 0,00480795 ⋅ 10 -4 m.

Prilikom prelaska između datuma ED 50 I WGS84 Parametri konverzije su:
da= – 00251 m; df= - 0,14192702 ⋅ 10 -4 m;
za Evropu dX= -87 m; dY= –96 m; dZ= –120 m (prema Priručnik za korisnike o datumskim transformacijama koje uključuju WGS-84, 3. izdanje, 2003. ).

Skup od navedenih pet parametara ( dX, dY, dZ, da, df) može se unijeti u navigator ili navigacijski program kao karakteristika datuma koji koristi korisnik.

Projekcije

Način prikazivanja trodimenzionalne zemljine površine na dvodimenzionalnoj karti određuje se odabranim projekcija karte.
Najpopularniji ( normalno) cilindrična Merkatorova projekcija i takva raznolikost kao poprečna cilindrična Merkatorova projekcija (Transverse Mercator).

Za razliku od normalne Mercatorove projekcije, koja je poznata vekovima, a koja je posebno dobra za prikazivanje ekvatorijalnih oblasti, poprečna projekcija se razlikuje po tome što je cilindar na koji se projektuje površina planete zarotiran za 90°:

Cilindrična Mercatorova projekcija

Sferna Mercatorova projekcija

Za sfernu projekciju primjenjuju se sljedeće formule za pretvaranje geografske širine $\phi$ i geografske dužine $\lambda$ tačke na površini Zemljine sfere (u radijanima) u pravokutne koordinate $x$ i $y$ na karti (u metrima):
$x = (\lambda - (\lambda)_0) \cdot R$ ;
$y = arcsinh (\tan (\phi)) \cdot R =\ln ((\tan(((\phi \over 2) + (\pi \over 4) )))) \cdot R$
(logaritamska tangentna formula) ,
gdje je $R$ polumjer sfere, $(\lambda)_0$ je geografska dužina početnog meridijana.
Faktor razmjera $k$ predstavlja omjer udaljenosti duž mreže karte. rastojanje mreže) do lokalne (geodetske) udaljenosti (eng. geodetska udaljenost):
$k = (1 \preko (\cos \phi))$.
Obrnuti prijevod se implementira pomoću sljedećih formula:
$\lambda = (x \preko R) + (\lambda)_0 $ ;
$ \phi = (\pi \preko 2) - 2 \arctan(e^(-y \preko R)) $ .
Važna karakteristika Mercator projekcije za navigaciju je to rumba line(engleski) rhumb linije) ili rhoxodrome (eng. loksodrom) je prikazana kao prava linija.
Loksodrom je luk koji siječe meridijane pod istim uglom, tj. staza sa konstantom ( rhoxodromic) ugao putanje.
Ugao staze, PU(engleski) naslov) je ugao između sjevernog smjera meridijana na mjestu mjerenja i smjera pruge, mjeren u smjeru kazaljke na satu od smjera prema geografskom sjeveru (0° se koristi za označavanje smjera kretanja prema sjeveru, 90° do istok).
Loksodromi su spirale koje prave neograničen broj okreta dok se približavaju polovima.

Treba napomenuti da roksodrom nije najkraći put između dvije tačke − ortodrom, arc veliki krug povezujući ove tačke .

Web Mercator

Varijantu Mercatorove sferne projekcije koriste mnogi kartografski servisi, npr. OpenStreetMap, Google Maps, Bing Maps.

IN OpenStreetMap karta svijeta je kvadrat sa koordinatama tačaka duž osi x I y, koji se nalazi između -20,037,508,34 i 20,037,508,34 m. Kao rezultat, takva karta ne prikazuje područja koja leže sjeverno od 85,051129° sjeverne geografske širine i južno od 85,051129° južne geografske širine. Ova vrijednost geografske širine $\phi_(max)$ je rješenje jednadžbe:
$\phi_(max) = 2\arctan(e^\pi) — (\pi\over 2) $ .
Kao i svaka karta sastavljena u Mercatorovoj projekciji, karakteriziraju je izobličenja područja, koja se najjasnije očituju kada se uporede Grenland i Australija prikazane na karti:

Prilikom crtanja karte OpenStreetMap koordinate (širina i dužina) na elipsoidu u sistemu WGS84 se projektuju na ravan karte kao da su ove koordinate definisane na sferi poluprečnika R = a= 6,378,137 m(reprojekcija) - sferni prikaz elipsoidnih koordinata (" sferni razvoj elipsoidnih koordinata"). Ova projekcija, tzv Web Mercator) odgovara EPSG (European Petroleum Survey Group) kod 3857 (" WGS 84/Pseudo-Mercator«).
Reprojecting from EPSG:4326 V EPSG:3857($\phi ,\lambda \rightarrow x,y $) se implementira prema gornjim formulama za uobičajenu sfernu Merkatorovu projekciju.
Na takvoj karti smjer prema sjeveru uvijek odgovara smjeru prema gornjoj strani karte; meridijani su okomite linije koje su podjednako udaljene jedna od druge.
Ali takva projekcija, za razliku od sferne ili eliptične Merkatorove projekcije, nije p jednougaoni ( konforman), linije rumbe u njemu nisu ravne. Rumba linija (loksodrom) je prava koja seče meridijane pod konstantnim uglom.
Prednost razmatrane projekcije je njena lakoća proračuna.

U navedenoj projekciji karta se može nacrtati s pravokutnom koordinatnom mrežom (prema vrijednostima geografske dužine i širine).
Referiranje karte (poređenje pravokutnih koordinata na karti i geografskih koordinata na tlu) može se izvršiti korištenjem $N$ tačaka sa poznatim koordinatama. Da biste to učinili, potrebno je riješiti sistem od $2 N$ jednačina oblika
$X = \rho_(\lambda) \lambda - X_0$ , $Y = arcsinh (\tan (\phi)) \cdot \rho_(\phi) - Y_0 $ .
Za rješavanje sistema jednadžbi i određivanje vrijednosti parametara $X_0$, $Y_0$, $\rho_(\lambda)$, $\rho_(\phi)$ možete koristiti, na primjer, matematički paket Mathcad.
Da biste provjerili ispravnost povezivanja karte, možete odrediti omjer duljina stranica pravokutnika konstruirane mreže. Ako horizontalna i vertikalna strana pravougaonika odgovaraju istoj ugaonoj dužini u geografskoj dužini i širini, onda je omjer dužine horizontalne stranice (paralelni luk - mali krug) i dužine okomite stranice (meridijanski luk - veliki krug ) treba biti jednak $\cos \phi$ , gdje je $ \phi$ geografska širina mjesta.

Eliptična Merkatorova projekcija

Eliptična Merkatorova projekcija ( EPSG:3395 — WGS 84/World Mercator) koriste, na primjer, usluge Yandex mape,Svemirske fotografije.
Za eliptičnu projekciju primjenjuju se sljedeće formule za pretvaranje geografske širine $\phi$ i geografske dužine $\lambda$ tačke na površini Zemljine sfere (u radijanima) u pravokutne koordinate $x$ i $y$ na karti (u metrima):
$x = (\lambda - (\lambda)_0) \cdot a$ ;
$y = a \ln (\tan ((\pi \preko 4) + (\phi \preko 2)) (((1 - e \sin (\phi)) \over (1 + e \sin (\phi) ))))^(e \preko 2)) $ ,
gdje je $a$ dužina velike poluose elipsoida, $e$ je ekscentricitet elipsoida, $(\lambda)_0$ je geografska dužina početnog meridijana.
Faktor skale $k$ je dat sa:
$k = ((\sqrt ((1 - (e^2) (((\sin \phi))^2)))) \over (\cos \phi)) $ .
Obrnuti prijevod se implementira pomoću sljedećih formula:
$\lambda = (x \preko a) + (\lambda)_0 $ ;
$ \phi = (\pi \over 2) — 2 \arctan(e^(-y \over a) (((1 — e \sin (\phi)) \over (1 + e \sin (\phi) )))^(e \preko 2)) $ .
Geografska širina se izračunava pomoću iterativne formule; kao prvu aproksimaciju treba koristiti vrijednost geografske širine izračunatu pomoću formule za sfernu Mercatorovu projekciju.

Poprečna cilindrična Merkatorova projekcija

Dvije najčešće korištene vrste poprečne Mercatorove projekcije su Gauss-Krugerova projekcija. Gauss-Krüger) (rasprostranjena na području bivšeg SSSR-a) i univerzalna poprečna Merkatorova projekcija (eng. Univerzalni poprečni Mercator (UTM)).
Za obje projekcije, cilindar na kojem se projekcija događa prekriva zemaljski elipsoid duž meridijana tzv. centralni (aksijalni) meridijan ( engleski centralni meridijan, ishodište geografske dužine) zone. Zona(engleski) zona) je dio zemljine površine omeđen sa dva meridijana s razlikom u geografskoj dužini od 6°. Ukupno ima 60 zona. Zone u potpunosti pokrivaju površinu Zemlje između geografskih širina 80°S i 84°N.
Razlika između ove dvije projekcije je u tome što je Gauss-Krugerova projekcija projekcija na tangentni cilindar, a univerzalna poprečna Mercatorova projekcija je projekcija na sekantni cilindar (da bi se izbjegla izobličenja na ekstremnim meridijanima):

Gauss-Krugerova projekcija

Gauss-Krugerovu projekciju razvili su njemački naučnici Carl Gauss i Louis Kruger.
U ovoj projekciji, zone su numerisane od zapada prema istoku, počevši od 0° meridijana. Na primjer, zona 1 proteže se od 0° meridijana do 6° meridijana, njen centralni meridijan je 3°.
U sovjetskom sistemu rasporeda i nomenklature topografskih karata, zone se nazivaju kolonama i numeriraju se od zapada prema istoku, počevši od meridijana od 180°.
Na primjer, Gomel i njegova okolina pripadaju zoni 6 (kolona 36 ) sa centralnim meridijanom od 33°.
Zone/kolone su podijeljene paralelama u redove (svaka 4°), koji su označeni velikim slovima sa latiničnim slovima od A prije V, počevši od ekvatora do polova.
Na primjer, Gomel i njegova okolina pripadaju seriji N. Dakle, puni naziv lista karte u mjerilu 1:1 000 000 (10 km u 1 cm), koji prikazuje Gomel, izgleda kao N-36. Ovaj list je podijeljen na listove karata većeg razmjera:

Za Bjelorusiju i susjedne zemlje raspored je sljedeći:

Za određivanje položaja točke pomoću topografske karte, na kartu se primjenjuje mreža pravokutnih koordinata X I Y, izraženo u kilometrima. Formira ga sistem linija paralelnih sa slikom aksijalnog meridijana zone (vertikalne linije mreže, ose X) i okomito na njega (horizontalne linije mreže, osi Y).
Na karti razmjera 1:200.000, udaljenost između linija mreže je 4 km; na karti razmjera 1:100.000 - 2 km.
Koordinate X je potpisan na okomitim rubovima lista karte i izražava udaljenost do ekvatora i koordinata Y je potpisan na horizontalnim rubovima lista karte i sastoji se od broja zone (prva jedna ili dvije cifre vrijednosti) i položaja tačke u odnosu na središnji meridijan zone (zadnje tri cifre vrijednosti, sa središnjim meridijanom zone dodijeljena vrijednost od 500 km).

fragment lista N36-123 Sovjetski topografska karta razmera 1:100.000

Na primjer, na gornjem fragmentu karte natpis 6366 blizu vertikalne linije mreže znači: 6 — 6. zona, 366 je udaljenost u kilometrima od aksijalnog meridijana, konvencionalno pomjerena prema zapadu za 500 km, i natpis 5804 blizu horizontalne linije mreže označava udaljenost od ekvatora u kilometrima.

Univerzalna poprečna Merkatorova projekcija

Univerzalni poprečni Mercator ( UTM) je razvio Inženjerski korpus američke vojske ( Inženjerski korpus američke vojske) 1940-ih godina.

Za izradu karata u projekciji UTM ranije se koristio elipsoid Internacional 1924— net UTM (međunarodni), a trenutno - elipsoid WGS84— net UTM (WGS84).
U ovoj projekciji zone su numerisane od zapada prema istoku, počevši od meridijana od 180°.
Ovaj sistem koriste oružane snage SAD-a i NATO-a. Oružane snage Sjedinjenih Država i NATO-a):

Svaka zona je podijeljena na horizontalne trake na svakih 8° geografske širine. Ove pruge su označene slovima, od juga prema sjeveru, počevši od slova C za geografsku širinu 80° S i završava se slovom X za geografsku širinu 84° N. Pisma I I O izostavljen da bi se izbjegla zabuna sa brojevima 1 i 0. Traka označena slovom X, zauzima 12° geografske širine.
Zona u ovoj projekciji označena je brojem. geografska zona) i slovo (kanal geografske širine, engleski. geografska zona):

Ova slika prikazuje dvije nestandardne zone geografske dužine - zona 32V prošireno da pokrije cijelu južnu Norvešku, a područje 31V skraćeno da pokrije samo vodu.
Za Gomel i okolinu, zona je označena kao 36U sa centralnim meridijanom od 33°:

Zona je prekrivena pravougaonom (kilometarskom) mrežom (rešetka prema Univerzalnoj poprečnoj Mercatorovoj projekciji, UPPM):

Dužina stranice kvadrata mreže u gornjem fragmentu karte je 10 km.

Porijeklo koordinatnog sistema za svaku zonu je određeno presjekom ekvatora i centralnog meridijana zone.
Koordinate E (Easting) na takvoj mreži predstavlja udaljenost na karti od centralnog meridijana u metrima (na istok - pozitivno, na zapad - negativno), na koju se dodaje + 500.000 metara (eng. False Easting
Koordinate N (Northing) na takvoj mreži predstavlja udaljenost na karti od ekvatora u metrima (na sjever - pozitivno, na jug - negativno), a u južna hemisfera ova udaljenost se oduzima od 10.000.000 metara. False Northing) kako bi se izbjegla pojava negativnih vrijednosti.
Na primjer, za donji lijevi ugao kvadrata mreže na gornjoj karti, koordinate su zapisane kao
36U(ili 36+ ) 380000 5810000 ,
Gdje 36 — geografska zona, U — geografska zona, 380000 — easting, 5810000 — sjevernjaci.

Pretvorite geografsku širinu i dužinu u koordinate UTM ilustrovano slikom:

P— tačka koja se razmatra
F- tačka preseka okomice spuštena na centralni meridijan iz tačke P, sa centralnim meridijanom (tačka na centralnom meridijanu sa istim sjevernjaci, kao tačka koja se razmatra P) . Geografska širina tačke F(engleski) geografska širina otiska) označava se kao $\phi ‘ $.
O- ekvator
OZ- centralni meridijan
LP- paralelna tačka P
ZP— meridijan tačke P
OL = k 0 S- meridijanski luk od ekvatora
OF = N — sjevernjaci
FP = E — easting
GN— smjer sjeverno od mreže karte (eng. mreža sjever)
C- ugao konvergencije meridijana (eng. konvergencija meridijana) - ugao između pravca pravog severa (eng. pravi sever) i sjeverno od mreže karte

Prilikom transformacije pravokutnih koordinata ( X, Y) za Gauss-Krugerovu projekciju na elipsoid WGS84 na pravougaone koordinate ( N, E) za univerzalnu transverzalnu Merkatorovu projekciju na isti elipsoid WGS84 potrebno je uzeti u obzir faktor skale faktor skale) $k_0 = 0,9996 $ :
$ N = X \cdot k_0 $ ;
$ E = Y_0 + Y \cdot k_0 $ ,
gdje je $Y_0 = 500.000 $ metara.

Navedeni faktor razmjera $k_0 = 0,9996 $ vrijedi samo za centralni meridijan zone. Kako se udaljavate od aksijalnog meridijana, faktor skale se mijenja.

Bilješka. Greška u čitanju koordinata sa karte ( preciznost georeferenciranja) se obično uzima kao ±0,2 mm. Upravo to je tačnost uređaja koji se koriste za kreiranje analogne karte.

Geoid

Treba napomenuti da je točnija aproksimacija površine naše planete geoid(engleski) geoid) je ekvipotencijalna površina Zemljinog gravitacionog polja, tj. površina geoida je svuda okomita na liniju viska. Ali gravitacija je određena vektorskom sumom gravitacijske sile sa Zemlje i centrifugalne sile povezane s rotacijom Zemlje, tako da se gravitacijski potencijal ne poklapa s čisto gravitacijskim potencijalom.
Geoid se poklapa sa prosječnim nivoom Svjetskog okeana, u odnosu na koji se mjeri nadmorske visine.
Geoid ima složen oblik koji odražava distribuciju masa unutar Zemlje, pa je zbog toga, za rješavanje geodetskih problema, geoid zamijenjen elipsoidom okretanja. Najsavremeniji matematički model geoida je EGM2008, koji je zamijenio popularni model EGM96.

Nastavlja se.

Pogledajte ovu kartu i recite mi koja teritorija je veća: Grenland, označen bijelom bojom, ili Australija, označen narandžastom? Čini se da je Grenland najmanje tri puta veći od Australije.

Ali, gledajući referentnu knjigu, sa iznenađenjem čitamo da je površina Australije 7,7 miliona km 2, a površina Grenlanda samo 2,1 milion km 2. Dakle, Grenland se čini tako velikim samo na našoj karti, ali u stvarnosti jeste manje od Australije otprilike tri i po puta. Upoređujući ovu kartu sa globusom, možete vidjeti da što je teritorija udaljenija od ekvatora, to se više rasteže.

Mapa koju gledamo napravljena je pomoću projekcija karte, koji je u 16. veku izumeo flamanski naučnik Gerardus Merkator. Živio je u eri kada su se gradili novi trgovački putevi preko okeana. Kolumbo je otkrio Ameriku 1492. i to prvi plovidba pod vodstvom Magellana odvijala se 1519–1522 - kada je Mercator imao 10 godina. Otvorena zemljišta su se morala ucrtati na mape, a za to je bilo potrebno naučiti kako prikazati okruglu Zemlju na ravnoj karti. A karte su morale biti napravljene tako da kapetanima bude zgodno da ih koriste.

Kako kapetan koristi kartu? On iscrtava kurs duž njega. Pomorci 13.–16. stoljeća koristili su portolane - karte koje su prikazivale bazen jadransko more, kao i obale Evrope i Afrike iza Gibraltara. Takve karte su bile označene mrežom rumba - linija stalnog pravca. Neka kapetan treba da plovi po pučini od jednog ostrva do drugog. On primjenjuje ravnalo na kartu, određuje kurs (na primjer, "jug-jugoistok") i daje kormilaru naredbu da drži ovaj kurs prema kompasu.

Mercatorova ideja je bila da se očuva princip iscrtavanja kursa pomoću ravnala i na karti svijeta. Odnosno, ako držite stalan smjer na kompasu, tada će put na karti biti ravna. Ali kako to učiniti? I tu matematika priskače u pomoć kartografu. Mentalno izrežite globus na uske trake duž meridijana, kao što je prikazano na slici. Svaka takva traka može se rasklopiti na ravni bez puno izobličenja, nakon čega će se pretvoriti u trokutastu figuru - "klin" sa zakrivljenim stranama.

Međutim, ispada da je globus raščlanjen, a karta bi trebala biti kontinuirana, bez rezova. Da bismo to postigli, svaki klin podijelimo na "skoro kvadrate". Da biste to učinili, od donje lijeve točke klina, nacrtajte segment pod kutom od 45° na desnu stranu klina, odatle nacrtamo horizontalni rez na lijevoj strani klina - odrežite prvi kvadrat . Od tačke na kojoj se rez završava, ponovo crtamo segment pod uglom od 45° na desnu stranu, zatim horizontalni na lijevu stranu, odsijecajući sljedeći "skoro kvadrat" i tako dalje. Ako je originalni klin bio vrlo uzak, "skoro kvadrati" će se malo razlikovati od pravih kvadrata, jer će im stranice biti gotovo okomite.

Hajde da završimo poslednje korake. Ispravimo "skoro kvadrate" na prave kvadratni oblik. Kao što razumijemo, izobličenja se mogu učiniti manjim po želji smanjenjem širine klinova na koje isječemo globus. Postavimo u red kvadrate koji se nalaze uz ekvator na globusu. Na njih ćemo postaviti sve ostale kvadrate redom, prvo ih razvući do veličine ekvatorijalnih kvadrata. Rezultat je mreža kvadrata iste veličine. Istina, u ovom slučaju paralele koje su jednako raspoređene na karti više neće biti jednako raspoređene na globusu. Uostalom, što je prvobitni kvadrat na globusu bio udaljeniji od ekvatora, to je bilo veće povećanje kada je prebačeno na kartu.

Međutim, uglovi između pravaca sa ovom konstrukcijom će ostati neiskrivljeni, jer se svaki kvadrat praktično menjao samo u razmeri, a pravci se ne menjaju kada se slika jednostavno uvećava. A to je upravo ono što je Mercator želio kada je osmislio svoju projekciju! Kapetan može ucrtati svoj kurs na karti koristeći lenjir i voditi svoj brod tim kursom. U tom slučaju, brod će ploviti duž linije koja ide pod istim uglom prema svim meridijanima. Ova linija se zove rhoxodrome .

Plivanje duž loksodroma je vrlo zgodno jer ne zahtijeva posebne proračune. Istina, roksodrom nije najkraća linija između dvije tačke na zemljinoj površini. Takva najkraća linija može se odrediti povlačenjem niti na globusu između ovih tačaka.

Umetnik Evgenij Panenko

Mercator projekcija

Konformnu cilindričnu projekciju prvi je predložio i upotrijebio holandski kartograf Mercator 1569. godine.

Da bismo izveli formule za ovu projekciju, prvo odredimo razmjer po paralelama u najjednostavnijoj cilindričnoj projekciji u takozvanoj kvadratnoj projekciji. U ovoj projekciji, meridijani i paralele povučeni kroz isti broj stepeni u geografskoj dužini i širini čine mrežu kvadrata na karti, a dužine duž svih meridijana i ekvatora su sačuvane (ekvidistantna projekcija).

Neka su PC0A0 i PD0B0 (slika 1) meridijani na kugli poluprečnika R sa beskonačno malom razlikom u geografskoj dužini, a prave

Rice. 1. Dva meridijana i dvije paralele na globusu i na karti u cilindričnoj projekciji

CA i DB su odgovarajući meridijani na karti u kvadratnoj projekciji.

Tada će beskonačno mali segment C0D0 proizvoljne paralele sa zemljopisnom širinom i poluprečnikom r na globusu odgovarati beskonačno malom segmentu CD na karti, a skala duž paralele

CD = AB = A0 B0 ,

Gdje je A0B0 luk ekvatora.

Pošto je omjer lukova kružnica jednak omjeru njihovih polumjera, onda

Od OS 0SA", Gdje OS 0SA"= Imamo

dakle,

Iz formule je jasno da paralelna skala u kvadratnoj projekciji varira od jedinice do beskonačnosti, i jednaka je jedinici na ekvatoru (at = 0°), i beskonačnosti u tački pola (at = 90°). Pol u kvadratnoj projekciji predstavljen je ravnim segmentom jednake dužine ekvatoru.

Sada, da bi skala duž meridijana bila jednaka skali duž paralela (m=n), tj. da bismo prešli sa kvadratne projekcije na konformnu (od distorzione elipse u kružnice), potrebno je rastegnuti meridijane kvadratne projekcije u svakoj tački onoliko puta koliko puta se paralele ove projekcije povećavaju u odnosu na odgovarajuće paralele globusa, tj. puta. Shodno tome, da bi se, kao prva aproksimacija, kvadratna kartografska mreža transformisala u kartografsku mrežu konformne projekcije, potrebno je u skladu sa tim pomnožiti meridijanske segmente OA, AB, BC, itd. (Sl. 2).

Rice. 2. Transformacija kvadratne projekcije u konformnu cilindričnu

sa 1, 2, 3, itd., gdje su 1,2, 3 geografske širine središta ovih segmenata, respektivno. Tada će meridijanski segment OS1 u konformnoj projekciji, koji odgovara segmentu OS u kvadratnoj projekciji, biti predstavljen izrazom

OS1 = OA1 + A1 B1, + B1C1 = OA 1 + AB 2 + B.C. 3 ,

I od segmenata

OA = AB = BC,

OS 1 =OA (1 +2 +3).

Meridijanski segment OS 1 će se odrediti točnije što se uzimaju manji segmenti koji ga čine, budući da rastezanje meridijana mora biti kontinuirano od ekvatora do date paralele.

Najtačniji rezultat će se dobiti kada se meridijanski segment D u Mercatorovoj projekciji sastoji od beskonačne sume velika količina beskonačno male količine

Gdje Dx- beskonačno mali segment meridijana u kvadratnoj projekciji,

DD- odgovarajući infinitezimalni segment meridijana u Mercatorovoj konformnoj projekciji. Ali zbog postojanosti skale duž meridijana u kvadratnoj projekciji, segment

Zbir beskonačno malih veličina u višoj matematici naziva se integral. Uzimanje integrala obje strane jednakosti znači uzimanje sume infinitezimalnih vrijednosti ovih dijelova jednakosti u određenim granicama.

Integral izraza unutar vrijednosti geografske širine od 0 do Zapišimo to ovako

Kao rezultat integracije na lijevoj strani jednakosti, dobijamo meridijanski segment D; desna strana jednakosti je tablični integral jednak

Dakle, meridijanski segment

gdje je C integracijska konstanta.

Vrijednost C mora biti konstantna za sve geografske širine, tako da se može lako odrediti uzimanjem = 0°. Na = 0°, paralela odgovara ekvatoru, za koji je D = 0, tj.

dakle,

Prelazeći sa prirodnog logaritma na decimalni i izražavajući D na skali glavne karte iu centimetrima, imaćemo konačnu radnu formulu za izračunavanje meridijanskog segmenta D u konformnoj cilindričnoj projekciji za loptu

(29)

Gdje Mod=0,4343.

Formula pokazuje da je meridijanski segment D za pol (= 90°) jednak beskonačnosti, odnosno pol neće biti prikazan na karti u ovoj projekciji.

Uzimajući Zemlju kao elipsoid, imaćemo formulu

(30)

gdje je a poluprečnik ekvatora zemljinog elipsoida (izražen u metrima),

U je ista vrijednost kao u formuli (22) jednakokutne konusne projekcije.

Udaljenosti između meridijana u konformnoj projekciji, kao iu kvadratnoj projekciji, određuju se formulom

Gdje je izraženo u radijanskim mjerama. Uzimajući Zemlju kao elipsoid i izražavajući je u razmeri glavne karte iu centimetrima, imaćemo

Ova formula se često piše u obliku

(31)

Gdje U- udaljenost od srednjeg meridijana karte do onoga koji se utvrđuje,

°-razlika između geografske dužine prosječnog i utvrđenog meridijana, izražena u stepenima, °=57°,3.

Očigledno, izobličenja u konformnoj cilindričnoj projekciji na tangentni cilindar će se izraziti formulama

(32)

Da bismo izračunali meridijanske segmente D, ordinate y i skale u konformnoj cilindričnoj projekciji na sekantni cilindar, radne formule će imati oblik

(34)

(35)

(37)

gdje je r0 polumjer paralelnog presjeka sa geografskom širinom 0 na zemljinom elipsoidu,

r-radijus paralele sa zemljopisnom širinom na zemljinom elipsoidu, po kojem je skala određena,

Razmjer glavne karte,

° - razlika u geografskoj dužini prosječnog i utvrđenog meridijana, izražena u stepenima.

Mreža karte u Mercator projekciji

Za izradu kartografske mreže u Mercator projekciji i iscrtavanje referentnih tačaka na karti koja se sastavlja potrebno je poznavati pravokutne koordinate (meridijanski segment D i ordinata y) presječnih tačaka meridijana i paralela i referentnih tačaka.

Prosječna vrijednost D za argument geografske širine bira se iz posebnih tabela koje je sastavila Hidrografska uprava Ratne mornarice, a vrijednost y se izračunava pomoću formule (35).

Podrijetlo koordinata na nautičkim kartama uzima se kao točka presjeka srednjeg meridijana i glavne paralele morskog bazena za koji se karte izrađuju. Ova paralela je paralela preseka, a njena razmera je jednaka jedan.

Poznavajući pravokutne koordinate vrhova uglova okvira lista karte, pronađite dimenzije stranica ovog okvira kao razliku u meridijanskim segmentima D za južnu i sjevernu paralelu i razliku u vrijednostima y za zapadne i istočne meridijane. Na osnovu pronađenih dimenzija stranica gradi se pravougaonik (unutrašnji okvir lista) koji će biti osnova za konstruisanje međumeridijana i paralela karte, kao i za crtanje referentnih tačaka.

Meridijani i paralele u Mercatorovoj projekciji prikazani su kao paralelne i međusobno okomite prave, pa je za njihovo konstruisanje dovoljno odrediti meridijanske segmente D. Za tačke preseka paralela karte sa X osom i ordinatom y za tačke preseka meridijana karte sa Y osom. Kada se pronađu ove vrednosti, odredite razlike D - Dyu i y - y3 za naznačene tačke. Ovdje je Dyu meridijanski segment južne paralele, a uz je ordinata zapadnog meridijana. Ove razlike su položene od vrha jugozapadnog ugla okvira duž zapadne i južne strane, a linije su povučene kroz tačke taloženja, paralelne sa južnom, odnosno bočnom stranom, što će biti paralele i meridijani karte .

Slika 3 Mreža karte u konformnoj cilindričnoj projekciji (Mercator)

Na sl. Slika 3 prikazuje mrežu karte u konformnoj cilindričnoj projekciji (na tangentnom cilindru) za sliku globus. Vrijednosti skale u ovoj projekciji date su u tabeli 4.

Tabela 4

Skala u konformnoj cilindričnoj Mercatorovoj projekciji.

Zbog činjenice da je Merkatorova projekcija jednakougaona, a meridijani su u njoj prikazani kao paralelne prave linije, ima jednu izvanredno svojstvo: Linija koja seče sve meridijane pod istim uglom prikazana je kao prava linija u ovoj projekciji. Ova linija se zove rhoxodrome. Brod u pokretu, ako drži isti kurs uz pomoć kompasa, zapravo prati roksodrom. Ovo svojstvo Mercator projekcije dovelo je do njegove široke upotrebe za nautičke karte.

Rice. 4. Ortodrom i rhoxodrome na karti u Mercator projekciji

Ortodrom i rhoxodrome

Koristeći mapu urađenu u Mercatorovoj projekciji, lako je i jednostavno označiti putanju broda i odrediti njegov stalni kurs, odnosno smjer u kojem se mora kretati da bi stigao s jedne tačke na drugu. Stalni kurs broda određuje se mjerenjem kutomjera ugla između prave linije koja povezuje ove točke na karti i jednog od meridijana.

Međutim, treba napomenuti da se sa velikim rastojanjem između tačaka A i B (slika 4), loksodrom na sferi značajno udaljava od ortodroma (najkraće udaljenosti između ovih tačaka), koji je u projekciji

Rice. 5. Ortodrom i rhoxodrome između New Yorka i Moskve na karti u Mercator projekciji.

Mercator je predstavljen krivom linijom. U ovom slučaju, navigator upravlja brodom ne jednim kursom, već nekoliko, mijenjajući smjer kretanja u određenim točkama (a i b). Putanja broda će biti prikazana na karti u obliku isprekidanih linija tetiva upisanih u ortodrom. U odnosu na crtež, brod od tačke A do tačke Aće ići ispod azimuta od tačke A do tačke b - ispod azimuta, od tačke b do krajnje tačke B - ispod azimuta.

Radi jasnoće možemo naznačiti (slika 5) da je između Njujorka i Moskve dužina ortodroma 7507 km, a loksodroma 8371 km, odnosno razlika između njihovih dužina je 864 km. Najveća udaljenost između tačaka loksodroma i ortodroma ovdje doseže 1650 km.

Druga pogodnost Mercator projekcije u njenoj upotrebi za pomorske navigacijske karte je to što vam omogućava da lako, s dovoljnom preciznošću za vježbanje, odredite udaljenosti u nautičkim miljama od karte, bez pribjegavanja konstruiranju posebnih skala, već koristeći samo podjele (u stepeni ili minute) odštampane na bočnim stranama okvira kartice. Nautička milja je jednaka 1852 m, što približno odgovara prosječnoj dužini meridijanskog luka od jedne minute.

Ako je, na primjer, iz karte potrebno odrediti udaljenost AB u nautičkim miljama (slika 42), tada, nakon uklanjanja segmenta AB pomoću rješenja kompasa, nanesite kompas na najbližu stranu okvira karte tako da sredina segmenta - tačka C - je na srednjoj geografskoj širini tačaka A i B (u tački C1). Broj meridijanskih minuta izračunat unutar ovog segmenta će izraziti udaljenost AB u nautičkim miljama (na slici 6, segment A B = 215 milja).

U zaključku treba napomenuti da se prilikom sastavljanja topografskih i geodetsko-topografskih karata različitih mjerila, kao kartografski materijal naširoko koriste razne pomorske karte sastavljene u konformnoj cilindričnoj projekciji. Stoga je poznavanje karakteristika ove projekcije od velike praktične važnosti.

Rice. 6. Određivanje udaljenosti AB u miljama od karte u Mercatorovoj projekciji

Vježbajte

Izračunajte meridijanski segment D i ordinatu "y" u konformnoj cilindričnoj projekciji na tangentni cilindar za tačku c geografske koordinate= 30°, 35° (od prosječnog meridijana uzetog kao X osa) na = 1:5000000. elipsoid Krasovskog.

Konformna cilindrična projekcija - 5.0 od 5 na osnovu 1 glasa

Omogućava vam da prekrijete konture zemalja na drugim teritorijama, uzimajući u obzir kompenzaciju za izobličenje Mercator projekcije. Ova projekcija je nekada stvorena u navigacijske svrhe - da bi se pružila tačnost međusobnog dogovora teritorije duž ose “sjever-jug” i “zapad-istok”. Međutim, on ima svoj nedostatak - što je bliže polovima, to je veća distorzija. Druge projekcije takođe imaju ozbiljna izobličenja. Zbog toga je naša percepcija geografska karta je također značajno iskrivljena - recimo, Grenland na projekcijskoj mapi Mercatora zauzima površinu tri puta veću od Australije, iako je u stvarnosti 3,5 puta manja (!). I što je bliže ekvatoru, relativna veličina zemalja je manja.

Općenito, na ovoj stranici možete izvoditi razne zanimljive trikove i gledati metamorfoze različite zemlje u preklapanju. Čak je iznenađujuće da se takva stranica nije pojavila ranije - osnovna ideja je tako dobra. Ponekad dobijete nevjerovatne efekte koji razbijaju uobičajene obrasce. Alternativno, zemlja se može rotirati u krug, u kom slučaju će se u obzir uzeti i kompenzacije projekcije.

Da vidimo neke efekte.
Evo, na primjer, prekrivanje nekih evropskih zemalja na indonezijskim ostrvima. Pogledajte kako skromno velika Francuska izgleda na Kalimantanu (desno). Češka se nalazi iznad južne Malezije i Singapura (u sredini), a Norveška na Sumatri na lijevoj strani. Veoma dugačak u evropskim razmerama, zapravo je samo nešto duži od ostrva Sumatra.

2. Kina u istočnoj Evroaziji. Ako to popraviš zapadna granica na liniji Talin - Prag, zatim će istok (Mandžurija) biti istočno od Novosibirska, a poluostrvo Liaodong će biti negde u regionu Astane. Hainan će biti u centralnom Iranu.

3. Australija u istočnoj Evroaziji. Tu je najjasnije vidljiva kompenzacija Mercatorove projekcije: ona se proteže od Minhena do Čeljabinska, a još više od juga prema sjeveru. Ovdje možete vidjeti kakve kolosalne pustinjske teritorije postoje u Australiji - ništa manje od smrznutih prostranstava Sibira, jer je naseljena manje-više samo na jugoistoku i uskom pojasu na zapadu.

4. Meksiko o Evropi. Od francuskog Bresta skoro do Nižnji Novgorod. A meksička Kalifornija se proteže od Normandije do Venecije.

5. Indonezija u istočnoj Evroaziji. Dužina ostrva je ekvivalentna udaljenosti od Severne Irske do Centralnog Kazahstana, a sam Kalimantan lako pokriva čitav baltički region sa ruskim severozapadom.

6. Sjedinjene Američke Države u istočnoj Evroaziji. Od Talina - više nego do Krasnojarska!

7. Kazahstan o Evropi. Takođe, generalno, veoma respektabilan: od zapada Francuske skoro do Harkova. Pokriva većinu kontinentalne Evrope.

8. Iran u sjevernoj Evropi: od norveških Lofota do Kazana :)

9. Vijetnam u evropskoj Rusiji. Vertikalno je ekvivalentno udaljenosti voza br. 7 Lenjingrad - Sevastopolj, ali horizontalno takođe nije ništa: od Moskve do Čeljabinska, i to zakrivljeno.

Ostala zanimljiva poređenja.

10. Kamčatka i Velika Britanija. Prilično je mali: od rta Lopatka do Palane.

11. Estonija je kao trećina Liberije, koja je u principu mala.

12. Austrija, Mađarska, Belgija na Madagaskaru.

Pogledajmo sada ruske ekvivalente.

13. Rusija o Australiji. Ako je Perth u regiji Mahačkale, onda je Melburn negdje blizu Barnaula. Solid. Ali svejedno, Rusija se proteže skoro do Fidžija.

14. Rusija o Africi. Kuban u regionu Južne Afrike (Novorosijsk kao Kejptaun) - Kamčatka dopire do juga Anadolije, otprilike tamo gde je Antalija.

15. Rusija dalje južna amerika. Ako je Tierra del Fuego otprilike tamo gdje je Čečenija, onda je Kamčatka u regionu Kolumbije, a Čukotka sjeverno od Panamskog kanala. Vidite li koliko je naša zemlja kolosalna? Više od cijelog kontinenta.

16. Rusija dalje sjeverna amerika. San Francisko je u regionu Krima - Čukotka je skoro blizu Irske. Ovdje možete jasno vidjeti veličinu oceanskih prostranstava sjevernog Atlantika, inače.

17. Luksemburg na Sankt Peterburgu. Nije tako mali :)))

18. Na ovoj teritoriji (Bangladeš, označeno plavom bojom) - živi 168 miliona ljudi!!! Možete li zamisliti gustinu naseljenosti? I nije udobno umjerena klima, i vlažna tropska džungla i kanali Ganga i Brahmaputre...

19. I za desert - čili uz Transsibirsku željeznicu. Kao što vidite, on pokriva udaljenost od Moskve do Bajkala uskom trakom.

Ovo su zanimljiva poređenja :)