Matematikai anyag "az akkordok, érintők és szekánsok által alkotott szögekre vonatkozó tételek". Tételek két párhuzamos egyenes által alkotott szögekről
1. § Fordított tétel
Ebben a leckében megtudjuk, mely tételeket nevezzük konverznek, példákat adunk konverz tételekre, tételeket fogalmazunk meg két párhuzamos egyenes és egy keresztirányú szögről, valamint megismerkedünk az ellentmondásos bizonyítás módszerével.
Amikor különféle geometriai formákÁltalában definíciókat fogalmaznak meg, tételeket bizonyítanak, és figyelembe veszik a tételekből származó következményeket. Minden tételnek két része van: feltétel és következtetés.
A tétel feltétele az, ami adott, a következtetés pedig az, amit bizonyítani kell. Nagyon gyakran egy tétel feltétele a „ha” szóval kezdődik, a következtetés pedig az „akkor” szóval kezdődik. Például egy egyenlő szárú háromszög tulajdonságaira vonatkozó tétel a következőképpen fogalmazható meg: "Ha a háromszög egyenlő szárú, akkor az alapjában lévő szögek egyenlőek." A „Ha a háromszög egyenlő szárú” tétel első része a tétel feltétele, az „akkor az alapjában lévő szögek egyenlőek” tétel második része a tétel következtetése.
Azt a tételt, ahol a feltétel és a következtetés felcserélődik, inverz tételnek nevezzük. Az egyenlő szárú háromszög tulajdonságaira vonatkozó tétel fordított tétele így hangzik: "Ha egy háromszög két szöge egyenlő, akkor egy ilyen háromszög egyenlő szárú."
Írjuk le mindegyiket röviden:
Látjuk, hogy a feltétel és a következtetés helyet cserélt.
Ezen állítások mindegyike igaz.
Felmerül a kérdés: mindig igaz-e az az állítás, ahol a feltétel a következtetéssel együtt változik?
Nézzünk egy példát.
Ha a szögek függőlegesek, akkor egyenlők. Ez igaz állítás, és van bizonyítéka. Fogalmazzuk meg az ellenkező állítást: ha a szögek egyenlőek, akkor függőlegesek. Ez az állítás téves, ezt egy cáfoló példával is könnyű ellenőrizni: vegyünk két derékszöget (lásd az ábrát), ezek egyenlőek, de nem függőlegesek.
Így a már bizonyított állításokkal (tételekkel) kapcsolatos fordított állítások (tételek) mindig bizonyítást igényelnek.
2. § Tételek két párhuzamos egyenes és egy keresztirányú szögekre
Emlékezzünk most vissza a bizonyított állításokra - két egyenes párhuzamosságának előjeleit kifejező tételekre, fogalmazzuk meg fordított tételeiket, és bizonyítsuk be azok érvényességét.
A párhuzamos egyenesek első jele.
Ha két egyenes keresztben metszi egymást, és az érintett szögek egyenlőek, akkor az egyenesek párhuzamosak.
Fordított tétel:
Ha két párhuzamos egyenest egy keresztirányú metsz, akkor a metszésszögek egyenlőek.
Bizonyítsuk be ezt az állítást.
Adott: az a és b párhuzamos egyeneseket AB szekáns metszi.
Bizonyítsuk be: az 1. és 2. keresztezett szögek egyenlőek. (Lásd a képen)
Bizonyíték:
Tegyük fel, hogy az 1 és 2 szögek nem egyenlőek.
Tegyük félre az AB sugár CAB szögét, amely egyenlő a 2 szöggel, így a CAB szög és a 2 szög a CA és b egyenesek AB metszéspontja által keresztezett szögek.
Felépítés szerint ezek a keresztirányú szögek egyenlőek, ami azt jelenti, hogy a CA egyenes párhuzamos a b egyenessel.
Azt találtuk, hogy két a és CA egyenes áthalad az A ponton, párhuzamosan a b egyenessel. Ez ellentmond a párhuzamos egyenesek axiómájának: egy olyan ponton keresztül, amely nem egy adott egyenesen fekszik, csak egy, az adott egyenessel párhuzamos egyenes halad át.
Ez azt jelenti, hogy a feltevésünk hibás, az 1 és 2 szögek egyenlőek.
A tétel bizonyítást nyert.
3. § Az ellentmondásos bizonyítás módja
Ennek a tételnek a bizonyításakor az ellentmondásos bizonyítás módszerének nevezett érvelési módszert alkalmaztuk. A bizonyítás megkezdésekor a bizonyításhoz szükségesnek az ellenkezőjét feltételeztük. Ezt a feltevést helyesnek tartva érveléssel ellentmondásba jutottunk a párhuzamos egyenesek axiómájával. Ebből arra a következtetésre jutottunk, hogy a feltevésünk nem igaz, de a tétel állítása igaz. Ezt a fajta bizonyítást gyakran használják a matematikában.
Tekintsük a bizonyított tétel következményét.
Következmény:
Ha egy egyenes merőleges két párhuzamos egyenes közül az egyikre, akkor merőleges a másikra is.
Legyen az a egyenes párhuzamos a b egyenessel, a c egyenes merőleges az a egyenesre, azaz. szög 1 = 90°.
A c egyenes metszi az a vonalat, ami azt jelenti, hogy a c egyenes metszi a b egyenest is.
Ha párhuzamos egyenesek metszik egy keresztirányú vonalat, a keresztirányú szögek egyenlőek, ami azt jelenti, hogy 1 = 2 szög.
Mivel az 1 szög = 90°, akkor a 2. szög = 90°, ami azt jelenti, hogy a c egyenes merőleges a b egyenesre.
A vizsgálat bebizonyosodott.
Az egyenesek párhuzamosságának második kritériumának inverz tétele:
Ha két párhuzamos egyenest egy keresztirányú metsz, akkor a megfelelő szögek egyenlőek.
Az egyenesek párhuzamosságának harmadik kritériumának fordított tétele:
Ha két párhuzamos egyenest egy keresztirányú metsz, akkor az egyoldali szögek összege 180º.
Így ebben a leckében megtudtuk, mely tételeket nevezzük fordítottnak, megfogalmaztunk és megvizsgáltunk tételeket két párhuzamos egyenes és egy keresztirányú szögről, valamint megismerkedtünk az ellentmondásos bizonyítás módszerével is.
A felhasznált irodalom listája:
- Geometria. 7-9. évfolyam: tankönyv. általános műveltségre szervezetek / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev és társai - M.: Oktatás, 2013. - 383 p.: ill.
- Gavrilova N.F. Órafejlesztések geometria 7. osztályban. - M.: „VAKO”, 2004, 288 p. - (Az iskolai tanár segítségére).
- Belitskaya O.V. Geometria. 7. osztály. 1. rész. Tesztek. – Szaratov: Líceum, 2014. – 64 p.
Rybalko Pavel
Ez az előadás a következőket tartalmazza: 3 tétel bizonyítással és 3 feladat a tanult anyag megszilárdításához részletes megoldás. A bemutató hasznos lehet a tanár számára az órán, mivel sok időt takarít meg. Általános áttekintésként is használható a tanév végén.
Letöltés:
Előnézet:
A prezentáció előnézetének használatához hozzon létre egy Google-fiókot, és jelentkezzen be: https://accounts.google.com
Diafeliratok:
Tételek két párhuzamos egyenes és egy keresztirányú szögekre. Előadó: Rybalko Pavel 7. osztályos tanuló, Mytishchi, 2012
Tétel: Ha két párhuzamos egyenest egy keresztirányú metsz, akkor a metszésszögek egyenlőek. a az A-ban B 1 2 1 = 2 c
Bizonyítás: A B C D M N 1 2 A B C D M N 1 2 K O Legyenek az AB és CD egyenesek párhuzamosak, MN a metszőjük. Bizonyítsuk be, hogy az 1 és 2 keresztirányú szögek egyenlőek egymással. Tegyük fel, hogy 1 és 2 nem egyenlők. Rajzoljunk egy K F egyenest az O ponton keresztül. Ekkor az O pontban megszerkeszthetjük a KON , amely keresztben fekszik és egyenlő 2-vel. De ha KON = 2, akkor a K F egyenes párhuzamos lesz CD-vel. Megállapítottuk, hogy két AB és K F egyenest húzunk az O ponton, párhuzamosan a CD egyenessel. De ez nem lehet. Ellentmondáshoz jutottunk, mert feltételeztük, hogy 1 és 2 nem egyenlő. Ezért a feltevésünk hibás, és 1 egyenlőnek kell lennie 2-vel, azaz a keresztirányú szögek egyenlőek. F
Tétel: Ha két párhuzamos egyenest egy keresztirányú metsz, akkor a megfelelő szögek egyenlőek. a az A-ban B 1 2 1 = 2
Bizonyítás: 2 a az A B-ben 3 1 Legyen az a és b párhuzamos egyeneseket az AB metsző, akkor a keresztben 1 és 3 egyenlő lesz. 2 és 3 függőleges. Az 1 = 3 és 2 = 3 egyenlőségekből az következik, hogy 1 = 2. A tétel bizonyítva
Tétel: Ha két párhuzamos egyenest egy keresztirányú metsz, akkor az egyoldali szögek összege 180°. a az A-ban B 3 1 1 + 3 = 180°
Bizonyítás: Legyen az a és b párhuzamos egyeneseket AB metsző, akkor a megfelelő 1 és 2 egyenlő lesz, 2 és 3 szomszédos, ezért 2 + 3 = 180 °. Az 1 = 2 és 2 + 3 = 180 ° egyenlőségekből az következik, hogy 1 + 3 = 180 °. A tétel bizonyítást nyert. 2 a az A B-ben 3 1
Megoldás: 1. Legyen X 2, akkor 1 = (X+70°), mert az 1 és 2 szögek összege = 180°, amiatt, hogy szomszédosak. Készítsünk egyenletet: X+ (X+70°) = 180° 2X = 110° X = 55° (2. szög) 2. Határozzuk meg: 1. 55° + 70° = 125° 3. 1 = 3, azaz. Nak nek. függőlegesek. 3 = 5, mert keresztben fekszenek. 125° 5 = 7, mert függőlegesek. 2 = 4, mert függőlegesek. 4 = 6, mert keresztben fekszenek. 55° 6 = 8, mert függőlegesek. 1. feladat: A B 4 3 5 8 7 2 1 6 Feltétel: keresse meg azokat a szögeket, amelyek akkor keletkeznek, ha két párhuzamos A és B egyenes metszi a C keresztirányú vonalat, ha az egyik szög 70°-kal nagyobb, mint a másik.
Megoldás: 1. Mert 4 = 45°, akkor 2 = 45°, mert 2 = 4 (mint megfelelő) 2. 3 szomszédos 4-el, tehát 3+ 4 = 180°, ebből következik, hogy 3= 180° - 45° = 135°. 3. 1 = 3, mert keresztben fekszenek. 1 = 135°. Válasz: 1=135°; 2=45°; 3=135°. 2. feladat: A B 1 Feltétel: az ábrán A II B és C II D egyenesek, 4=45°. Keresse meg az 1, 2, 3 szögeket. 3 2 4
Megoldás: 1. 1= 2, mert függőlegesek, ami 2= 45°-ot jelent. 2. 3 szomszédos 2-vel, tehát 3+ 2=180°, és ebből következik, hogy 3= 180° - 45°= 135°. 3. 4 + 3=180°, mert egyoldalúak. 4 = 45°. Válasz: 4=45°; 3=135°. 3. feladat: A B 2 Feltétel: két párhuzamos egyenest A és B metszi egy C metsző. Keresse meg, mi lesz 4 és 3, ha 1=45°. 3 4 1
Tételek a kialakult szögekről
Geometria, III. fejezet, 7. évfolyam
L.S. Atanasyan tankönyvéhez
legmagasabb kategóriájú matematikatanár
Városi oktatási intézmény "Upshinskaya alapvető középiskola"
A Mari El Köztársaság Orsha kerülete
Ennek a tételnek a fordítottja
Tétel: Egy egyenlő szárú háromszögben az alapszögek egyenlőek .
Tétel: Ha egy háromszög egyenlő szárú, akkor az alapszögei egyenlőek .
A tétel feltétele (adott): háromszög - egyenlő szárú
A tétel következtetése (Bizonyítás): az alapszögek egyenlőek
A tétel feltétele : az alapszögek egyenlőek
A tétel következtetése : háromszög - egyenlő szárú
ÚJ NYILATKOZAT
Fordított
tétel
Ha egy háromszögnek két szöge van
egyenlők, akkor egyenlő szárú .
Ennek a tételnek a fordítottja
Mindig ennek az ellenkezője igaz?
Tétel
Fordított tétel
Ha két szög összege 180 0 , akkor a szögek szomszédosak
Szomszédos szögek összege
egyenlő 180-al 0 .
Ha a szögek egyenlőek,
akkor függőlegesek
A függőleges szögek egyenlőek
Ha egy háromszögben az egyik oldalára húzott felező egyben az erre az oldalra húzott medián, akkor ez a háromszög egyenlő szárú
Egy egyenlő szárú háromszögben az alaphoz húzott felező a medián és a magasság
Ha egy háromszögben az egyik oldalára húzott felező egyenlő az oldalra húzott magassággal, akkor ez a háromszög egyenlő szárú
E Ha a háromszög egyenlő szárú, akkor az alaphoz húzott felező , a medián és a magasság is
Két párhuzamos egyenes és egy keresztirányú szögek
Mindig ennek az ellenkezője igaz?
Tétel
Fordított tétel
Ha kettő párhuzamos vonalak egy szekáns keresztezi őket, akkor a keresztezett szögek egyenlőek
keresztirányú szögek egyenlő Hogy vonalak párhuzamosak .
De ez ellentmond párhuzamosság axiómája , akkor a feltevésünk téves
MÓDSZERBŐL
SZEMBEN
A bizonyítandónak ellentétes feltételezést állítottunk fel
Az érvelés révén ellentmondáshoz jutunk egy jól ismert axiómával vagy tétellel
Arra a következtetésre jutunk, hogy a feltevésünk helytelen, és a tétel helyes
De ez ellentmond párhuzamosság axiómája
Ezért a feltevésünk téves
Ha két párhuzamos egyenest egy keresztirányú metsz, akkor a metszésszögek egyenlőek
A TÉTEL KÖVETKEZTETÉSE
Ha egy egyenes merőleges két párhuzamos egyenes közül az egyikre, akkor merőleges a másikra is
Szögek alakultak ki
két párhuzamos egyenes és egy keresztirányú
Tétel
Fordított tétel
Ha két egyenes metszéspontjában egy szekáns a megfelelő szögek egyenlőek , Azt vonalak párhuzamosak .
Ha kettő párhuzamos vonalak egy szekáns keresztezi őket, akkor a megfelelő szögek egyenlőek
Szögek alakultak ki
két párhuzamos egyenes és egy keresztirányú
Tétel
Fordított tétel
Ha két egyenes metszéspontjában egy szekáns 0 , Azt vonalak párhuzamosak .
Ha kettő párhuzamos vonalak egy szekáns keresztezi őket, akkor az egyoldali szögek összege 180 0
Az a és b egyenesek párhuzamosak.
Szög keresése 2.
Az a és b egyenesek párhuzamosak.
Ismeretlen szögek keresése
Az a és b egyenesek párhuzamosak.
Ismeretlen szögek keresése
Ismeretlen szögek keresése
Ismeretlen szögek keresése
Ismeretlen szögek keresése
Az a és b egyenesek párhuzamosak. Keresse meg az ismeretlen szögeket, ha két egymást metsző szög összege 100 0 .
Az a és b egyenesek párhuzamosak. Keresse meg az ismeretlen szögeket, ha két megfelelő szög összege 260 0 .
Az a és b egyenesek párhuzamosak. Keresse meg az ismeretlen szögeket, ha két egyoldalú szög különbsége 50 0 .
A két párhuzamos egyenes és azok keresztirányú szögeire vonatkozó tételekről szóló videóóra tartalmazza a tétel szerkezeti jellemzőit bemutató anyagot, példákat a fordított tételek kialakítására és bizonyítására, valamint ezek következményeit. Ennek a videós leckének az a célja, hogy elmélyítse a tétel fogalmát, elemeire bontva, figyelembe véve az inverz tétel fogalmát, fejlessze azt a képességet, hogy egy adott tételhez inverz konstruáljon tételt, a tétel következményeit, és fejlessze az állítások bizonyítási képességét.
A videóóra formája lehetővé teszi, hogy sikeresen helyezzük a hangsúlyt az anyag bemutatásakor, megkönnyítve az anyag megértését és megjegyezését. Ennek a videós leckének a témája összetett és fontos, ezért vizuális segédeszköz használata nem csak tanácsos, hanem kívánatos is. Lehetőséget ad a tanulás minőségének javítására. Az animációs effektusok javítják az oktatási anyagok bemutatását, közelebb hozzák a tanulási folyamatot a hagyományoshoz, a videóhasználat pedig felszabadítja a tanárt az egyéni munka elmélyítésére.
A videóóra a témájának bejelentésével kezdődik. Az óra elején mérlegeljük a tétel komponensekre való felbontását, hogy jobban megértsük felépítését és további kutatási lehetőségeit. A képernyőn egy diagram látható, amely bemutatja, hogy a tétel a feltételekből és a következtetésekből áll. A feltétel és a következtetés fogalmát a párhuzamos egyenesek előjelének példáján keresztül írjuk le, megjegyezve, hogy az állítás egy része a tétel feltétele, a következtetés pedig a következtetés.
A tétel felépítéséről szerzett ismereteit elmélyítve a hallgatók megkapják az adott tétellel fordított tétel fogalmát. Csere eredményeként jön létre - a feltételből lesz a következtetés, a következtetésből - a feltétel. Annak érdekében, hogy fejlesszük a tanulók azon képességét, hogy az adatokkal ellentétes tételeket állítsanak fel, és bizonyítsák azokat, a párhuzamos egyenesek előjeleiről szóló 25. leckében tárgyaltakkal ellentétes tételeket kell figyelembe venni.
A képernyőn a tétel az első tétellel inverz módon jelenik meg, amely a párhuzamos egyenesek előjelét írja le. A feltétel és a következtetés felcserélésével azt az állítást kapjuk, hogy ha bármely párhuzamos egyenest egy keresztirányú metsz, akkor az ebben az esetben képzett keresztirányú szögek egyenlőek lesznek. A bizonyítást az ábra szemlélteti, amelyen az a, b egyenesek, valamint az ezeken az M és N pontjukon áthaladó keresztirányú vonalak láthatók. A ∠1 és ∠2 keresztirányú szögek a képen vannak jelölve. Bizonyítani kell egyenlőségüket. Először is, a bizonyítás feltételezi, hogy ezek a szögek nem egyenlőek. Ehhez egy bizonyos P egyenest húzunk az M ponton keresztül. Egy `∠PMN szöget szerkesztünk, amely keresztben van egy ∠2 szöggel MN-hez képest. A `∠PMN és ∠2 szögek felépítésüknél fogva egyenlőek, ezért MP║b. Következtetés - egy ponttal párhuzamos két egyenest húzunk b-n keresztül. Ez azonban lehetetlen, mert nem felel meg a párhuzamos egyenesek axiómának. A feltevés tévesnek bizonyul, bizonyítva az eredeti állítás érvényességét. A tétel bizonyítást nyert.
Ezt követően felhívjuk a hallgatók figyelmét az érvelés során alkalmazott bizonyítási módszerre. Azt a bizonyítást, amelyben a bizonyított állítást hamisnak tételezzük fel, a geometriában ellentmondásos bizonyításnak nevezzük. Ezt a módszert gyakran használják különféle geometriai állítások bizonyítására. Ebben az esetben a keresztirányú szögek egyenlőtlenségét feltételezve az érvelés során olyan ellentmondás merült fel, amely tagadja egy ilyen ellentmondás érvényességét.
Emlékeztetjük a tanulókat, hogy hasonló módszert használtak már korábban a bizonyításokban. Példa erre a 12. leckében annak a tételnek a bizonyítása, miszerint két olyan egyenes, amely egy harmadikra merőleges, nem metszi egymást, valamint a 28. leckében a párhuzamos egyenesek axiómájából származó következmények bizonyítása.
Egy másik bizonyítható következmény szerint egy egyenes merőleges mindkét párhuzamos egyenesre, ha merőleges az egyikre. Az ábrán az a és b egyenes, valamint a rájuk merőleges c egyenes látható. Egy c egyenesnek a merőlegessége azt jelenti, hogy a vele bezárt szög 90°. A és b párhuzamossága, valamint a c egyenessel való metszéspontja azt jelenti, hogy a c egyenes metszi b-t. A b egyenessel alkotott ∠2 szög keresztben van a ∠1 szöggel. És mivel a feltétel szerint az egyenesek párhuzamosak, akkor ezek a szögek egyenlőek. Ennek megfelelően a ∠2 szög is 90° lesz. Ez azt jelenti, hogy a c egyenes merőleges a b egyenesre. A vizsgált tétel bizonyítást nyert.
Ezt követően bizonyítjuk a tételt a második kritériumnak megfordítva párhuzamos egyenesekre. A fordított tétel kimondja, hogy ha két egyenes párhuzamos, akkor a megfelelő szögek egyenlőek lesznek. A bizonyítás egy c szekáns, valamint az a és b párhuzamos egyenesek felépítésével kezdődik. Az ebben az esetben létrehozott szögek az ábrán vannak jelölve. Van egy pár megfelelő szög, az úgynevezett ∠1 és ∠2, valamint a ∠3 szög is, amely keresztben fekszik az ∠1 szöggel. A és b párhuzamossága keresztben fekvő ∠3=∠1 egyenlőséget jelent. Figyelembe véve, hogy ∠3, ∠2 függőlegesek, akkor is egyenlők. Az ilyen egyenlőségek következménye az az állítás, hogy ∠1=∠2. A vizsgált tétel bizonyítást nyert.
Ebben a leckében az utolsó bizonyítandó tétel a párhuzamos egyenesekre vonatkozó utolsó teszt inverze. Szövegében az áll, hogy ha egy keresztirányú párhuzamos vonalakon halad át, akkor a kialakult egyoldalú szögek összege 180°. A bizonyítás menetét az ábra szemlélteti, amelyen a c szekánst metsző a és b egyenesek láthatók. Be kell bizonyítani, hogy az egyoldali szögek összege 180° lesz, azaz ∠4+∠1 = 180°. Az a és b egyenesek párhuzamosságából a megfelelő ∠1 és ∠2 szögek egyenlősége következik. A ∠4, ∠2 szögek szomszédossága azt jelenti, hogy 180°-ot adnak össze. Ebben az esetben a ∠1= ∠2 szögek – ami azt jelenti, hogy a ∠4 szöghez hozzáadott ∠1 180° lesz. A tétel bizonyítást nyert.
Az inverz tételek kialakításának és bizonyításának mélyebb megértéséhez külön meg kell jegyezni, hogy ha egy tétel bizonyított és igaz, ez nem jelenti azt, hogy az inverz tétel is igaz lesz. Ennek megértéséhez egy egyszerű példát mutatunk be. Van egy tétel, hogy minden függőleges szög egyenlő. A fordított tétel úgy hangzik, mintha minden egyenlő szög függőleges, ami nem igaz. Végül is létrehozhat két egyenlő szöget, amelyek nem függőlegesek. Ez a látható képen látható.
A „Tételek két párhuzamos egyenes és egy keresztirányú szögekről” című videóóra egy vizuális segédlet, amelyet a tanár használhat geometria órán, és sikeresen alkothat képet inverz tételekről és következményekről, valamint bizonyítása az anyag önálló tanulása során, és hasznos lehet a távoktatási képzésben.
