A Mercator vetület felépítése. A Mercator térkép rejtélye

Gyalogos vagy kerékpáros utazás során a topográfiai térkép nélkülözhetetlen társ a kutató számára. Az egyik feladat térképészet(az egyik olyan tudományág, mint pl Geodézia) a Föld ívelt felületének képe (a Föld figurája) lapos térképen. A probléma megoldásához választania kell ellipszoid- egy háromdimenziós test alakja, megközelítőleg ennek megfelelő a Föld felszíne, dátum— a koordinátarendszer kezdőpontja (az ellipszoid közepe) és a főmeridián (angol. kiinduló meridián) És kivetítés- módszer ennek a testnek a felületének síkon történő ábrázolására.

Ellipszoidok és dátumok

BAN BEN más idő térképek készítéséhez különféle lehetőségeket használtak a Föld felszínének gömb vagy ellipszoid formájában történő ábrázolására .

A Föld 6378137 méteres (vagy 6367600 méteres) sugarú gömbként való ábrázolása lehetővé teszi a földfelszín bármely pontjának koordinátáinak meghatározását két szám formájában - szélesség $\phi$ és hosszúság $\lambda$:

Mert föld ellipszoidja a (földrajzi) szélességként használt fogalom geodéziai szélesség(Angol) geodéziai szélesség) φ - az a szög, amelyet a normál egy adott pontban a Föld ellipszoidjának felületével és egyenlítőjének síkjával zár be , és a normál nem megy át az ellipszoid közepén az Egyenlítő és a sarkok kivételével:

Hosszúsági érték hosszúság) λ az ellipszoid kezdeti (nulla) meridiánjának megválasztásától függ.
A fő (egyenlítői) féltengely sugarát általában az ellipszoid paramétereiként használják a és tömörítés f .
Az $f = ((a-b) \over a)$ kompresszió határozza meg az ellipszoid pólusok lapítottságát.

Az egyik első ellipszoid az volt Bessel ellipszoid(Bessel ellipszoid, Bessel 1841), Friedrich Bessel 1841-es mérései alapján határozta meg ( Friedrich Wilhelm Bessel), a fél-nagy tengely hosszával a= 6377397,155 més tömörítés f = 1:299,152815 . Jelenleg Németországban, Ausztriában, a Cseh Köztársaságban és néhány ázsiai és európai országban használják.

dátum Potsdam (PD)

Korábban térképek készítéséhez vetítésben UTM használt nemzetközi ellipszoid (Nemzetközi ellipszoid 1924, Hayford ellipszoid) a fő (egyenlítői) féltengely hosszával a= 6378388 més tömörítés f = 1:297,00 John Fillmore Hayford amerikai földmérő javasolta ( 1910-ben.

John Fillmore Hayford

dátum ED 50 (Európai dátum 1950)

• ellipszoid - Nemzetközi ellipszoid 1924
• Greenwich főmeridián)

1946 óta a Szovjetunió teljes területén végzett munkák elvégzéséhez (a Szovjetunió Minisztertanácsának 1946. április 7-i 760. sz. határozata) geodéziai koordináta-rendszert használtak. SK-42 (Pulkovo 1942), alapján Kraszovszkij ellipszoid a fő (egyenlítői) féltengely hosszával a= 6378245 més tömörítés f= 1:298,3 . Ez a referenciaellipszoid Feodosius Nikolaevich Krasovsky szovjet csillagász-geodézusról kapta a nevét. Ennek az ellipszoidnak a középpontja a Föld tömegközéppontjához képest körülbelül 100 méterrel eltolódik, hogy a legjobban illeszkedjen a Föld felszínéhez a Szovjetunió európai területén.

dátum Pulkovo-1942 (Pulkovo 1942)

• ellipszoid - Krasovsky ( Krassowsky 1940)
• elsődleges meridián - Greenwich meridián ( Greenwich főmeridián)

Jelenleg (beleértve a rendszerben GPS) ellipszoidot széles körben használják WGS84 (World Geodetic System 1984) fő tengelyhosszal a= 6378137 m, tömörítés f = 1:298,257223563 és az excentricitás e = 0,081819191 . Ennek az ellipszoidnak a középpontja egybeesik a Föld tömegközéppontjával.

dátum WGS84 (EPSG:4326)

• ellipszoid - WGS84
• Kiinduló meridián - referencia meridián (IERS Reference Meridian (International Reference Meridian)) 5,31″-rel keletre halad el a greenwichi meridiántól. Ebből a meridiánból mérik a hosszúságot a rendszerben GPS(Angol) GPS hosszúság)
  

Koordinátarendszer középpontja WGS84 egybeesik a Föld tömegközéppontjával, tengelyével Z koordinátarendszer célja referencia pólus (Angol) IERS referenciapólus (IRP)és egybeesik az ellipszoid forgástengelyével, a tengellyel x végighalad a kezdőmeridián és a kezdőponton átmenő sík metszésvonala mentén, és merőleges a tengelyre Z, tengely Y merőleges a tengelyre x.

Az ellipszoid alternatívája WGS84 egy ellipszoid PZ-90, használják a rendszerben GLONASS, a fél-nagy tengely hosszával a= 6378136 més tömörítés f = 1:298,25784 .

Nullapont konverziók

A nullapontok közötti átmenet legegyszerűbb lehetőségével Pulkovo-1942És WGS84 csak a Kraszovszkij ellipszoid középpontjának az ellipszoid középpontjához viszonyított elmozdulását kell figyelembe venni WGS84:
be ajánlott GOST 51794-2001 —
dX= +00023,92 m; dY= –00141,27 m; dZ= –00080,91 m;
be ajánlott Világgeodéziai rendszer 1984. NIMA, 2000 —
dX= +00028 m; dY= –00130 m; dZ= –00095 m.
Meg kell jegyezni, hogy a fentiek az együtthatók átlagos értékei, amelyeket a pontosabb konverzió érdekében a földfelszín minden pontjára külön-külön kell kiszámítani. Például a Fehéroroszországgal szomszédos Lengyelország esetében ezek a paraméterek a következők:
dX= +00023 m; dY= –00124 m; dZ= –00082 m (adatok szerint )
Ezt az átalakulást ún háromparaméteres.
Pontosabb transzformációval ( Molodenszkij átalakulása) figyelembe kell venni az ellipszoidok alakja közötti különbséget, amelyet két paraméter határoz meg:
da- a fő féltengelyek hossza közötti különbség, df— különbség a tömörítési arányok között (különbség a simításban). Az értékük megegyezik GOSTÉs NIMA:
da= – 00108 m; df= + 0,00480795 ⋅ 10 -4 m.

A nullapontok közötti átmenetnél ED 50És WGS84 A konverziós paraméterek a következők:
da= – 00251 m; df= - 0,14192702 ⋅ 10 -4 m;
Európa számára dX= -87 m; dY= –96 m; dZ= –120 m (szerint Felhasználói kézikönyv a WGS-84-et érintő nullapont-transzformációkról, 3. kiadás, 2003 ).

A megadott öt paraméter halmaza ( dX, dY, dZ, da, df) beírható egy navigátorba vagy navigációs programba a felhasználó által használt adatpont jellemzőjeként.

Előrejelzések

A háromdimenziós földfelszín kétdimenziós térképen való ábrázolásának módját a kiválasztott térképvetítés.
Legnepszerubb ( Normál) hengeres Mercator vetületés olyan fajta, mint keresztirányú hengeres Mercator-vetület (Keresztirányú Mercator).

Az évszázadok óta ismert normál Mercator-vetítéstől eltérően, amely különösen alkalmas az egyenlítői régiók ábrázolására, a keresztirányú vetítés abban különbözik, hogy a henger, amelyre a bolygó felszínét vetítik, 90°-kal el van forgatva:

Hengeres Mercator vetület

Gömb alakú Mercator vetület

Szférikus vetítéshez a következő képletek alkalmazhatók a földgömb felszínén lévő pont $\phi$ és hosszúsági fokának $\lambda$ (radiánban) téglalap alakú $x$ és $y$ koordinátáinak konvertálására a térképen (méterben):
$x = (\lambda - (\lambda)_0) \cdot R$ ;
$y = arcsinh (\tan (\phi)) \cdot R =\ln ( (\tan( ((\phi \over 2) + (\pi \over 4) )))) \cdot R$
(logaritmikus érintőképlet) ,
ahol $R$ a gömb sugara, $(\lambda)_0$ a főmeridián hosszúsága.
A $k$ léptéktényező a távolságarányt jelenti a térképrács mentén. rács távolság) helyi (geodéziai) távolságra (eng. geodéziai távolság):
$k = (1 \over (\cos \phi))$.
A fordított fordítás a következő képletekkel valósul meg:
$\lambda = (x \over R) + (\lambda)_0 $ ;
$ \phi = (\pi \over 2) - 2 \arctan(e^(-y \over R)) $ .
A Mercator-vetítés egyik fontos jellemzője a navigációhoz az rumba vonal(Angol) lombard vonalak) vagy rhoxodrome (eng. loxodrom) egyenes vonalként van ábrázolva.
A loxodrom olyan ív, amely a meridiánokat azonos szögben metszi, azaz. útvonal állandóval ( rhoxodromic) útszög.
Útirányszög, PU(Angol) cím) a mérési helyen lévő meridián északi iránya és a nyomvonal iránya közötti szög, az óramutató járásával megegyezően mérve a földrajzi északi iránytól (0° az északi mozgás irányának jelzésére, 90° a Kelet).
A loxodromok olyan spirálok, amelyek korlátlan számú fordulatot tesznek, amikor közelednek a pólusokhoz.

Meg kell jegyezni, hogy a rhoxodrom nem a legrövidebb út két pont között − ortodroma,ív nagy körösszeköti ezeket a pontokat .

Web Mercator

A Mercator gömbprojekció egy változatát számos térképszolgáltatás használja, pl. OpenStreetMap, Google Maps, Bing Maps.

BAN BEN OpenStreetMap a világtérkép egy négyzet, melynek tengelyei mentén a pontok koordinátái vannak xÉs y, amely -20 037 508,34 és 20 037 508,34 m között fekszik. Ennek eredményeként egy ilyen térképen nem láthatók az északi szélesség 85,051129°-tól északra és a déli szélesség 85,051129°-tól délre fekvő területek. Ez a $\phi_(max)$ szélességi érték a megoldás az egyenletre:
$\phi_(max) = 2\arctan(e^\pi) — (\pi\több mint 2) $ .
Mint minden Mercator-vetítésben összeállított térképet, ezt is területtorzulások jellemzik, amelyek leginkább a térképen ábrázolt Grönland és Ausztrália összehasonlításakor mutatkoznak meg:

Amikor berajzol egy térképet OpenStreetMap koordináták (szélesség és hosszúság) az ellipszoidon a rendszerben WGS84úgy vetülnek a térképsíkra, mintha ezek a koordináták egy sugarú gömbön lennének meghatározva R = a= 6 378 137 m(újravetítés) - ellipszoid koordináták gömbi ábrázolása (" ellipszoid koordináták gömbfejlődése"). Ez a vetület, az ún Web Mercator) megfelel EPSG (European Petroleum Survey Group) kód 3857 (" WGS 84/Pseudo-Mercator«).
Reprojecting from EPSG:4326 V EPSG: 3857($\phi ,\lambda \rightarrow x,y $) a fenti képletek szerint valósul meg a szokásos gömb alakú Mercator vetülethez.
Egy ilyen térképen az északi irány mindig megegyezik a térkép felső oldalának irányával, a meridiánok egymástól egyenlő távolságra lévő függőleges vonalak.
De egy ilyen vetítés, ellentétben a gömb- vagy elliptikus Mercator-vetülettel, nem p egyszögletű ( konform), a benne lévő rumbavonalak nem egyenesek. Rumba vonal (loxodrom) a meridiánokat állandó szögben metsző egyenes.
A vizsgált vetítés előnye a könnyű kiszámíthatóság.

A megadott vetületben a térkép téglalap alakú koordináta ráccsal rajzolható meg (hosszúsági és szélességi értékek szerint).
A térképre való hivatkozás (a térképen lévő derékszögű koordináták és a földi földrajzi koordináták összehasonlítása) elvégezhető ismert koordinátákkal rendelkező $N$ pontok használatával. Ehhez meg kell oldani egy $2 N$ alakú egyenletrendszert
$X = \rho_(\lambda) \lambda - X_0$ , $Y = arcsinh (\tan (\phi)) \cdot \rho_(\phi) - Y_0 $.
Egyenletrendszer megoldásához és a $X_0$, $Y_0$, $\rho_(\lambda)$, $\rho_(\phi)$ paraméterek értékeinek meghatározásához használhat például egy matematikai csomagot. Mathcad.
A térképkötés helyességének ellenőrzéséhez meghatározhatja a felépített rács téglalapja oldalhosszának arányát. Ha egy téglalap vízszintes és függőleges oldala azonos szöghossznak felel meg a hosszúságban és szélességben, akkor a vízszintes oldal hosszának (párhuzamos ív - kis kör) és a függőleges oldal hosszának (meridián ív - nagy kör) aránya ) egyenlőnek kell lennie a $\cos \phi$ értékkel, ahol a $ \phi$ a hely földrajzi szélessége.

Elliptikus Mercator vetület

Elliptikus Mercator vetület ( EPSG: 3395 — WGS 84/World Mercator) például a szolgáltatások használják Yandex térképek,Űrfotók.
Elliptikus vetület esetén a következő képletek érvényesek a földgömb felszínén lévő pont $\phi$ és hosszúsági fokának $\lambda$ (radiánban) téglalap alakú $x$ és $y$ koordinátáira való konvertálására a térképen (méterben):
$x = (\lambda - (\lambda)_0) \cdot a$ ;
$y = a \ln (\tan ((\pi \over 4) + (\phi \over 2)) (((1 - e \sin (\phi)) \over (1 + e \sin (\phi ))))^(e \over 2)) $ ,
ahol $a$ az ellipszoid fél-főtengelyének hossza, $e$ az ellipszoid excentricitása, $(\lambda)_0$ a főmeridián hosszúsága.
A $k$ léptéktényező a következőképpen adódik:
$k = ((\sqrt ((1 - (e^2)) (((\sin \phi))^2)))) \over (\cos \phi)) $ .
A fordított fordítás a következő képletekkel valósul meg:
$\lambda = (x \over a) + (\lambda)_0 $ ;
$ \phi = (\pi \over 2) — 2 \arctan(e^(-y \over a) (((1 — e \sin (\phi)) \over (1 + e \sin (\phi) )))^(e \over 2)) $ .
A szélesség kiszámítása iteratív képlettel történik; első közelítésként a gömbi Mercator-vetület képletével kiszámított szélességi értékeket kell használni.

Keresztirányú hengeres Mercator vetület

A keresztirányú Mercator-vetítés két leggyakrabban használt típusa a Gauss-Kruger-vetítés. Gauss-Krüger) (széles körben elterjedt a volt Szovjetunió területén) és az univerzális keresztirányú Mercator-vetület (eng. Univerzális keresztirányú Mercator (UTM)).
Mindkét vetületnél a henger, amelyen a vetítés történik, lefedi a Föld ellipszoidját egy ún. központi (axiális) meridián ( angol középső meridián, hosszúsági origó) zónák. Zóna(Angol) zóna) a Föld felszínének két 6°-os hosszúsági különbségű meridián által határolt szakasza. Összesen 60 zóna van. A zónák teljesen lefedik a Föld felszínét a déli szélesség 80° és az északi szélesség 84° között.
A különbség a két vetület között az, hogy a Gauss-Kruger vetület egy érintőhengerre, az univerzális keresztirányú Mercator-vetület pedig egy szekáns hengerre vetítés (a szélső meridiánok torzulásának elkerülése érdekében):

Gauss-Kruger vetület

A Gauss-Kruger vetületet Carl Gauss és Louis Kruger német tudósok dolgozták ki.
Ebben a vetületben a zónákat nyugatról keletre számozzuk, a 0°-os meridiántól kezdve. Például az 1. zóna a 0°-os meridiántól a 6°-os meridiánig terjed, középső meridiánja 3°.
A topográfiai térképek szovjet elrendezési és nómenklatúrájú rendszerében a zónákat oszlopoknak nevezik, és nyugatról keletre vannak számozva, a 180°-os meridiántól kezdve.
Például Gomel és környéke az övezethez tartozik 6 (oszlop 36 ) 33°-os középső meridiánnal.
A zónákat/oszlopokat párhuzamok sorokra osztják (minden 4°-on), amelyeket nagybetűk jelölnek latin betűkkel tól től A előtt V, az Egyenlítőtől kezdve a sarkokig.
Például Gomel és környéke a sorozathoz tartozik N. Így a Gomelt ábrázoló, 1:1 000 000 (10 km-ben 1 cm-ben) méretarányú térképlap teljes neve így néz ki. N-36. Ez a lap nagyobb léptékű térképlapokra van felosztva:


Fehéroroszország és a szomszédos országok esetében a menetrend a következő:

Egy pont helyzetének topográfiai térkép segítségével történő meghatározásához téglalap alakú koordináták rácsát alkalmazzuk a térképen xÉs Y, kilométerben kifejezve. A zóna axiális meridiánjának képével párhuzamos vonalrendszer alkotja (függőleges rácsvonalak, tengelyek x) és rá merőlegesen (vízszintes rácsvonalak, tengelyek). Y).
1:200 000 méretarányú térképen a rácsvonalak távolsága 4 km; 1:100 000 - 2 km méretarányú térképen.
Koordináta x a térképlap függőleges szélein van előjelezve és kifejezi az egyenlítőtől való távolságot és a koordinátát Y a térképlap vízszintes szélein van aláírva, és a zónaszámból (az érték első egy vagy két számjegyéből) és a pontnak a zóna középső meridiánjához viszonyított helyzetéből áll (az érték utolsó három számjegye, a zóna középső meridiánjának 500 km-es értékkel).


az N36-123 szovjet lap töredéke topográfiai térkép méretarány 1:100 000

Például a térkép fenti töredékén a felirat 6366 a függőleges rácsvonal közelében azt jelenti: 6 - 6. zóna, 366 a távolság kilométerben az axiális meridiántól, hagyományosan 500 km-rel nyugat felé tolva, és a felirat 5804 a vízszintes rácsvonal közelében az Egyenlítőtől mért távolságot jelzi kilométerben.

Univerzális keresztirányú Mercator vetület

Univerzális keresztirányú Mercator ( UTM) fejlesztette ki az US Army Corps of Engineers ( Egyesült Államok Hadsereg Mérnöki Hadteste) az 1940-es években.

Térképek készítése vetítésben UTM korábban ellipszoidot használtak Nemzetközi 1924- háló UTM (nemzetközi), és jelenleg - ellipszoid WGS84- háló UTM (WGS84).
Ebben a vetületben a zónákat nyugatról keletre számozzuk, a 180°-os meridiántól kezdve.
Ezt a rendszert az USA és a NATO fegyveres erői használják. Az Egyesült Államok és a NATO fegyveres erői):

Minden zóna 8° szélességi fokonként vízszintes csíkokra van osztva. Ezeket a csíkokat betűk jelölik, délről északra, a betűtől kezdve C a 80° szélességi körhöz Sés egy betűvel végződik x a 84. szélességi fokra N. Levelek énÉs O az 1-es és 0-s számokkal való összetéveszthetőség elkerülése végett kimaradt. A betűvel jelölt sáv x, a 12. szélességi fokot foglalja el.
Ebben a vetületben a zóna egy számmal van jelölve. hosszúsági zóna) és egy betű (szélességi csatorna, angol. szélességi zóna):


Ez az ábra két nem szabványos hosszúsági zónát mutat - a zónát 32V kiterjesztették egész Dél-Norvégiára, és a 31V területet lerövidítették, hogy csak a vizet fedje le.
Gomel és környéke esetében a zóna neve 36U 33°-os középső meridiánnal:

A zónát téglalap alakú (kilométeres) rács borítja (az UPPM Universal Transverse Mercator Projection szerinti rács):


A fenti térképrészleten a rácsnégyzet oldalhossza 10 km.

Az egyes zónák koordinátarendszerének origóját az Egyenlítő és a zóna középső meridiánja metszéspontja határozza meg.
Koordináta E (Keleti irány) egy ilyen rácson a középső meridiántól mért távolságot jelöli a térképen méterben (keletre - pozitív, nyugatra - negatív), amelyhez hozzáadódik + 500 000 méter (eng. Hamis húsvét
Koordináta N (Észak felé vezető út) egy ilyen rácson az egyenlítőtől mért távolságot jelöli a térképen méterben (északra - pozitív, délre - negatív), és déli félteke ezt a távolságot levonjuk 10 000 000 méterből. Hamis északozás), hogy elkerüljük a negatív értékek megjelenését.
Például a fenti térképen a rács négyzetének bal alsó sarkában a koordináták a következőképpen vannak kiírva
36U(vagy 36+ ) 380000 5810000 ,
Ahol 36 — hosszúsági zóna, U — szélességi zóna, 380000 — keleti irány, 5810000 — észak felé vezető út.

Konvertálja a szélességi és hosszúsági fokokat koordinátákká UTMábrával illusztrálva:

P– vizsgált pont
F- a pontból a középső meridiánra esett merőleges metszéspontja P, a központi meridiánnal (egy pont a központi meridiánon ugyanazzal észak felé vezető út, mint a vizsgált pont P) . Pont szélessége F(Angol) lábnyom szélesség) jelölése $\phi ‘ $ .
O- egyenlítő
OZ- központi meridián
LP- párhuzamos pont P
ZP— egy pont meridiánja P
OL = k 0 S- meridián ív az egyenlítőtől
NAK,-NEK = N — észak felé vezető út
FP = E — keleti irány
GN— irány a térképrácstól északra (eng. térképhálózati észak)
C- a meridiánok konvergenciaszöge (eng. meridiánok konvergenciája) - a valódi észak iránya közötti szög (eng. igazi Észak) és a térképrácstól északra

Téglalap koordináták átalakításakor ( x, Y) az ellipszoidra vonatkozó Gauss-Kruger vetülethez WGS84 derékszögű koordinátákhoz ( N, E) az univerzális keresztirányú Mercator-vetülethez ugyanazon az ellipszoidon WGS84 szükséges figyelembe venni a léptéktényezőt léptéktényező) $k_0 = 0,9996 $ :
$ N = X \cdot k_0 $ ;
$ E = Y_0 + Y \cdot k_0 $ ,
ahol Y_0 $ = 500 000 $ méter.

A megadott $k_0 = 0,9996 $ léptéktényező csak a zóna középső meridiánjára érvényes. Ahogy távolodsz az axiális meridiántól, a léptéktényező megváltozik.

Jegyzet. Hiba a koordináták térképről történő leolvasásakor ( georeferálási pontosság) általában ±0,2 mm-nek vesszük. Pontosan ez az analóg térkép létrehozásához használt eszközök pontossága.

Geoid

Meg kell jegyezni, hogy bolygónk felszínének pontosabb közelítése az geoid(Angol) geoid) a föld gravitációs mezőjének ekvipotenciális felülete, azaz a geoid felülete mindenhol merőleges a függővonalra. De a gravitációt a Földről érkező gravitációs erő és a Föld forgásához kapcsolódó centrifugális erő vektorösszege határozza meg, így a gravitációs potenciál nem esik egybe a tisztán gravitációs potenciállal.
A geoid egybeesik a Világóceán átlagos szintjével, amelyhez képest mérik tengerszint feletti magasságok.
A geoidnak összetett alakja van, amely tükrözi a tömegek Földön belüli eloszlását, ezért a geodéziai problémák megoldásához a geoidot egy forgási ellipszoid helyettesíti. A geoid legmodernebb matematikai modellje az EGM2008, amely felváltotta a népszerű modellt EGM96.

Folytatjuk.

Nézze meg ezt a térképet, és mondja meg, melyik terület nagyobb: Grönland, fehérrel vagy Ausztrália, narancssárgával? Úgy tűnik, hogy Grönland legalább háromszor nagyobb, mint Ausztrália.

Ám a kézikönyvet nézve meglepődve olvassuk, hogy Ausztrália területe 7,7 millió km 2, Grönlandé pedig csak 2,1 millió km 2. Grönland tehát csak a mi térképünkön tűnik olyan nagynak, de a valóságban az kevesebb, mint Ausztrália körülbelül három és félszer. Ha összehasonlítja ezt a térképet egy földgömbbel, akkor láthatja, hogy minél távolabb van egy terület az Egyenlítőtől, annál jobban megnyúlik.

A térkép, amelyet nézünk, felhasználásával készült térképvetítés, amelyet a 16. században Gerardus Mercator flamand tudós talált fel. Olyan korszakban élt, amikor új kereskedelmi útvonalak épültek az óceánokon át. Kolumbusz 1492-ben fedezte fel Amerikát, és az első körülhajózás Magellán vezetése alatt 1519–1522 között zajlott - amikor Mercator 10 éves volt. A nyílt területeket térképeken kellett ábrázolni, és ehhez meg kellett tanulni, hogyan kell egy kerek Földet sík térképen ábrázolni. A térképeket pedig úgy kellett elkészíteni, hogy a kapitányoknak kényelmes legyen használni őket.

Hogyan használja a kapitány a térképet? Kijelöl egy pályát ennek mentén. A 13–16. századi tengerészek portolánokat használtak – térképeket, amelyek egy medencét ábrázoltak. Földközi-tenger, valamint Európa és Afrika partjai Gibraltáron túl. Az ilyen térképeket egy állandó irányú vonallal, lombozathálóval jelölték. Hagyja, hogy a kapitány a nyílt tengeren vitorlázzon egyik szigetről a másikra. Vonalzót helyez a térképre, meghatározza az irányt (például „dél-délkelet felé”), és az iránytű szerint parancsot ad a kormányosnak, hogy tartsa ezt az irányt.

Mercator ötlete az volt, hogy megőrizze azt az elvet, hogy vonalzóval és világtérképen ábrázolja a pályát. Vagyis ha állandó irányt tart az iránytűn, akkor a térképen az út egyenes lesz. De hogyan kell ezt csinálni? És itt a matematika jön a térképész segítségére. Vágja gondolatban a földgömböt keskeny csíkokra a meridiánok mentén, az ábra szerint. Minden ilyen csík nagy torzítás nélkül kihajtható egy síkon, majd háromszög alakú alakká válik - ívelt oldalakkal rendelkező „ék”.

A földgömbről azonban kiderül, hogy feldarabolták, és a térképnek folyamatosnak kell lennie, vágások nélkül. Ennek elérése érdekében minden éket „majdnem négyzetekre” osztunk. Ehhez az ék bal alsó pontjából rajzoljunk egy szegmenst 45°-os szögben az ék jobb oldalára, onnan vízszintes vágást húzunk az ék bal oldalára - vágjuk le az első négyzetet . Attól a ponttól, ahol a vágás véget ér, ismét rajzolunk egy 45°-os szöget bezáró szakaszt a jobb oldalra, majd egy vízszinteset balra, levágva a következő „majdnem négyzetet”, és így tovább. Ha az eredeti ék nagyon keskeny volt, a "majdnem négyzetek" csak kis mértékben térnek el a valódi négyzetektől, mivel az oldaluk majdnem függőleges lesz.

Végezzük el az utolsó lépéseket. Egyenesítsük a „majdnem négyzeteket” valódira négyzet alakú. Mint tudjuk, a torzítások tetszőlegesen kicsinyíthetők az ékek szélességének csökkentésével, amelyekbe a földgömböt vágjuk. Tegyük sorba a földgömbön az Egyenlítővel szomszédos négyzeteket. Az összes többi négyzetet sorban rájuk helyezzük, először az egyenlítői négyzetek méretére nyújtva őket. Az eredmény egy azonos méretű négyzetrács. Igaz, ebben az esetben a térképen egyenlő távolságra lévő párhuzamosok már nem lesznek egyenlő távolságra a földgömbön. Hiszen minél távolabb volt a földgömb eredeti négyzete az egyenlítőtől, annál nagyobb nagyításon ment keresztül, amikor átkerült a térképre.

Az irányok közötti szögek azonban ezzel a konstrukcióval torzítatlanok maradnak, mert az egyes négyzetek gyakorlatilag csak a léptékben változtak, és az irányok nem változnak, ha a képet egyszerűen nagyítjuk. És pontosan ezt akarta Mercator, amikor előállt a vetítésével! A kapitány vonalzó segítségével megrajzolhatja útvonalát a térképen, és ezen az úton vezetheti hajóját. Ebben az esetben a hajó az összes meridiánhoz azonos szöget bezáró vonal mentén fog haladni. Ezt a vonalat hívják rhoxodrome .

A loxodrom mentén úszni nagyon kényelmes, mert nem igényel különösebb számításokat. Igaz, a rhoxodrom nem a legrövidebb vonal a földfelszín két pontja között. Egy ilyen legrövidebb vonal úgy határozható meg, hogy e pontok közé húzunk egy szálat egy földgömbön.

Evgeniy Panenko művész

Mercator-vetítés

A konform hengeres vetületet először Mercator holland térképész javasolta és használta 1569-ben.

Ennek a vetületnek a képleteinek levezetéséhez először meghatározzuk a méretarányt a párhuzamosok alapján a legegyszerűbb hengervetületben az úgynevezett négyzetes vetületben. Ebben a vetületben az azonos számú hosszúsági és szélességi fokon áthúzott meridiánok és párhuzamosok négyzetrácsot alkotnak a térképen, és az összes meridián és az egyenlítő mentén fennálló hosszúságok megmaradnak (egyenlő távolságú vetítés).

Legyenek PC0A0 és PD0B0 (1. ábra) meridiánok egy R sugarú földgömbön végtelen hosszúságkülönbséggel, és legyenek az egyenesek

Rizs. 1. Két meridián és két párhuzamos a földgömbön és a térképen hengeres vetületben

A CA és a DB a megfelelő meridiánok a térképen négyzetes vetületben.

Ekkor a földgömbön egy tetszőleges szélességi és r sugarú párhuzamos végtelen kicsi C0D0 szakasza megfelel a térképen lévő végtelen kicsi CD szakasznak, és a párhuzamos skálán lévő léptéknek.

CD = AB = A0 B0 ,

Ahol A0B0 az egyenlítő íve.

Mivel a körívek aránya megegyezik sugaraik arányával, akkor

Tól től OS 0VAL VEL", Ahol OS 0VAL VEL"= Megvan

Ennélfogva,

A képletből kitűnik, hogy a párhuzamos skála egy négyzetes vetítésben egységtől a végtelenig változik, és egyenlő az egyenlítőn lévő egységgel (= 0°-nál), és a végtelennel a póluspontnál (= 90°-nál). A négyzetes vetületben a pólust az egyenlítővel egyenlő hosszúságú egyenes szakasz ábrázolja.

Ahhoz, hogy a meridiánok mentén a skála egyenlő legyen a párhuzamosok (m=n) skálájával, azaz négyzetes vetületről konformálisra (torzulási ellipszisről körre) lépjünk, meg kell nyújtani a meridiánokat. a négyzetes vetítés minden pontban annyiszorosa, ahányszor ennek a vetületnek a párhuzamai megnövekednek a földgömb megfelelő párhuzamaihoz képest, azaz idővel. Következésképpen ahhoz, hogy első közelítésként egy négyzet alakú kartográfiai rácsot konformális vetületű kartográfiai rácsmá alakítsunk, az OA, AB, BC stb. meridiánszakaszokat ennek megfelelően meg kell szorozni (2. ábra).

Rizs. 2. Négyzetes vetület átalakítása konform hengeressé

1, 2, 3 stb. értékkel, ahol 1, 2, 3 ezeknek a szakaszoknak a felezőpontjainak szélessége. Ekkor az OS1 meridián szakaszt konformális vetületben, amely megfelel az OS szegmensnek négyzetes vetületben, a kifejezés reprezentálja

OS1 = OA1 + A1 B1, + B1C1 = OA 1 + AB 2 + IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT. 3 ,

És mivel a szegmensek

OA = AB = BC,

OS 1 =OA (1 +2 +3).

Meridián szakasz OS Az 1. ábrát minél pontosabban határozzuk meg, minél kisebbre vesszük az azt alkotó szakaszokat, mivel a meridiánok húzódásának folyamatosnak kell lennie az egyenlítőtől egy adott párhuzamosig.

A legpontosabb eredményt akkor kapjuk, ha a Mercator-projekcióban a D meridiánszakasz a végtelen összegből áll. nagy mennyiség végtelenül kicsi mennyiségek

,

Ahol Dx- a meridián végtelen kis szakasza négyzetes vetületben,

DD- a meridián megfelelő infinitezimális szakasza a Mercator konformális vetületben. De a skála állandósága miatt a meridiánok mentén négyzetes vetületben a szakasz

Az infinitezimális mennyiségek összegét a magasabb matematikában integrálnak nevezzük. Az egyenlőség mindkét oldalának integráljának felvétele azt jelenti, hogy az egyenlőség ezen részei végtelenül kicsi értékeinek összegét bizonyos határokon belül vesszük.

A kifejezés integrálja a szélességi fokon belül 0-tól Írjuk így

Az egyenlőség bal oldalán végzett integráció eredményeként megkapjuk a D meridiánszakaszt; az egyenlőség jobb oldala egy táblázatintegrál egyenlő

Így a meridián szakasz

,

ahol C az integrációs állandó.

A C értéknek minden szélességi fokon állandónak kell lennie, így könnyen meghatározható = 0° felvételével. = 0°-nál a párhuzamos az egyenlítőnek felel meg, amelyre D = 0, azaz.

Ennélfogva,

A természetes logaritmusról a decimálisra áttérve és D-t a térkép fő léptékén és centiméterben kifejezve megkapjuk a végső munkaképletet a D meridiánszakasz kiszámításához egy golyó konform hengeres vetületében.

(29)

Ahol Mod=0,4343.

A képlet azt mutatja, hogy a pólus D meridián szakasza ( = 90°) egyenlő a végtelennel, vagyis a pólus nem lesz ábrázolva a térképen ebben a vetületben.

Ha a Földet ellipszoidnak vesszük, megkapjuk a képletet

(30)

ahol a a Föld ellipszoidjának egyenlítőjének sugara (méterben kifejezve),

U ugyanaz, mint az egyenszögű kúpvetület (22) képletében.

A meridiánok távolságát konformális vetületben és négyzetes vetületben a képlet határozza meg

Ahol radián mértékegységben van kifejezve. Ha a Földet ellipszoidnak vesszük, és a térkép fő léptékében és centiméterben fejezzük ki, akkor

Ezt a képletet gyakran a formába írják

(31)

Ahol U- távolság a térkép középső meridiánjától a meghatározandó meridiánig,

°-különbség az átlagos és a meghatározott meridiánok hosszúsága között, fokban kifejezve, °=57°,3.

Nyilvánvaló, hogy a konform hengeres vetület torzulásait egy érintő hengeren a képletekkel fejezzük ki

(32)

A D meridián szakaszok, az y ordináták és a skálák kiszámításához konform hengeres vetületben egy leválasztó hengerre, a munkaképletek a következő alakúak lesznek

(34)

(35)

(37)

ahol r0 a Föld ellipszoidjának 0 szélességi fokával párhuzamos szakasz sugara,

a Föld ellipszoidjának szélességi körének r-sugara, amely a skálát határozza meg,

A térkép fő léptéke,

° - az átlagos és a meghatározott meridiánok hosszúsági fokának különbsége, fokban kifejezve.

Térképrács Mercator vetületben

Ahhoz, hogy a Mercator-vetületben térképrácsot készítsünk, és referenciapontokat ábrázoljunk a készülő térképen, ismerni kell a meridiánok metszéspontjainak téglalap alakú koordinátáit (D meridián szakasz és y ordináta), valamint a párhuzamosok és referenciapontok metszéspontjait.

A szélességi argumentum D átlagos értékét a Haditengerészet Vízrajzi Igazgatósága által összeállított speciális táblázatokból választjuk ki, az y értékét pedig a (35) képlet segítségével számítjuk ki.

A tengeri térképeken a koordináták origója a középső meridián és a tengermedence fő párhuzamos metszéspontja, amelyre a térképeket készítik. Ez a párhuzamos szakasz párhuzamos, és a léptéke egyenlő eggyel.

A térképlap keretének sarkai csúcsainak derékszögű koordinátáinak ismeretében keresse meg ennek a keretnek az oldalainak méreteit, mint a déli és északi párhuzamosok D meridiánszakaszának különbségét, valamint y a nyugati és keleti meridiánra. Az oldalak talált méretei alapján egy téglalapot építünk (a lap belső kerete), amely a térkép közbenső meridiánjainak és párhuzamainak kialakításához, valamint referenciapontok megrajzolásához lesz az alapja.

A Mercator-vetületben a meridiánok és a párhuzamosok párhuzamos és egymásra merőleges egyenesekként vannak ábrázolva, így ezek megszerkesztéséhez elegendő a D meridiánszakaszokat meghatározni. A térkép X tengellyel és az y ordinátával való párhuzamainak metszéspontjaihoz a térkép meridiánjainak az Y tengellyel való metszéspontjaira. Ha ezeket az értékeket megtalálta, határozza meg a D - Dyu és y - y3 különbségeket a jelzett pontokhoz. Itt a Dyu a déli párhuzam meridián szakasza, az uz pedig a nyugati meridián ordinátája. Ezeket a különbségeket a keret délnyugati sarkának tetejétől a nyugati és a déli oldal mentén fektetjük le, és vonalakat húzunk a lerakódási pontokon keresztül, párhuzamosan a déli, illetve az oldalsó oldallal, amelyek a térkép párhuzamosai és meridiánjai lesznek. .

3. ábra Térképrács konform hengeres vetületben (Mercator)

ábrán. A 3. ábra egy térképrácsot mutat konform hengeres vetületben (egy érintő hengeren) a képhez földgolyó. Ebben a vetületben a skálaértékeket a 4. táblázat tartalmazza.

4. táblázat

Mérlegek a konform hengeres Mercator-vetületben.

Tekintettel arra, hogy a Mercator-vetület egyenlő szögű, és a meridiánok párhuzamos egyenesekként vannak ábrázolva, van egy figyelemre méltó tulajdonság: Az a vonal, amely az összes meridiánt ugyanabban a szögben metszi, ebben a vetületben egyenesként van ábrázolva. Ezt a vonalat rhoxodromnak hívják. Egy mozgó hajó, ha iránytű segítségével ugyanazt az irányt tartja, valójában egy rhoxodromot követ. A Mercator vetületnek ez a tulajdonsága széles körben elterjedt a tengeri térképeken.

Rizs. 4. Ortodróm és rhoxodrom a térképen a Mercator vetületben

Ortodrom és rhoxodrom

A Mercator-projekcióban megrajzolt térkép segítségével könnyen és egyszerűen meg lehet jelölni egy hajó útját, és meghatározni annak állandó pályáját, vagyis azt az irányt, amelyben mozognia kell, hogy egyik pontból a másikba jusson. A hajó állandó irányát úgy határozzuk meg, hogy szögmérővel megmérjük a térkép ezen pontjait összekötő egyenes és az egyik meridián közötti szöget.

Meg kell azonban jegyezni, hogy az A és B pontok közötti nagy távolságnál (4. ábra) a gömbön lévő loxodrom jelentősen eltávolodik a vetületben lévő ortodromtól (a pontok közötti legrövidebb távolság).

Rizs. 5. Ortodróma és rhoxodrom New York és Moszkva között a térképen a Mercator vetületben.

A Mercatort egy görbe vonal ábrázolja. Ebben az esetben a navigátor nem egy, hanem több pályán kormányozza a hajót, bizonyos pontokon (a és b) megváltoztatva a mozgás irányát. A hajó útvonalát a térképen egy ortodromba írt szaggatott akkordvonalak fogják ábrázolni. A rajz kapcsán a hajó A pontból pontba A ponttól azimut alá fog menni A b ponthoz - irányszög alatt, b ponttól B végpontig - irányszög alatt.

Az áttekinthetőség kedvéért jelezhetjük (5. ábra), hogy New York és Moszkva között az ortodrom hossza 7507 km, a loxodrom pedig 8371 km, azaz a hosszak közötti különbség 864 km. A legnagyobb távolság a loxodrom pontok és az ortodroma között itt eléri az 1650 km-t.

A Mercator vetület második kényelme a tengeri navigációs térképekhez való felhasználása során az, hogy lehetővé teszi, hogy egyszerűen, a gyakorlathoz kellő pontossággal meghatározza a térképtől mért távolságokat tengeri mérföldben, anélkül, hogy speciális léptéket kell készíteni, hanem csak osztásokat használ. fok vagy perc) a kártyakeret oldalaira nyomtatva. Egy tengeri mérföld 1852 m-nek felel meg, ami hozzávetőlegesen az egyperces meridiánív átlagos hosszának felel meg.

Ha például egy térképről meg kell határozni az AB távolságot tengeri mérföldben (42. ábra), akkor az AB szakaszt egy iránytű megoldással eltávolítva helyezze az iránytűt a térképkeret legközelebbi oldalára úgy, hogy a a szakasz közepe - C pont - az A és B pont átlagos szélességén van (a C1 pontban). Az ebben a szegmensben számított meridiánpercek száma az AB távolságot fejezi ki tengeri mérföldben (a 6. ábrán az A B szegmens = 215 mérföld).

Összegzésképpen meg kell jegyezni, hogy a különböző léptékű topográfiai és földmérési-topográfiai térképek összeállításakor térképészeti anyagként széles körben használnak különböző, konformális hengeres vetületben összeállított tengerészeti térképeket. Ezért ennek a vetületnek a jellemzőinek ismerete nagy gyakorlati jelentőséggel bír.

Rizs. 6. Az AB távolság meghatározása mérföldben a térképtől a Mercator vetületben

Gyakorlat

Számítsa ki a D meridián szakaszt és az „y” ordinátát egy konform hengeres vetületben a c pont érintőhengerére földrajzi koordináták= 30°, 35° (az X tengelynek vett átlagos meridiántól) = 1:5000000. Kraszovszkij ellipszoidja.

Konform hengeres vetítés - 5,0 az 5-ből 1 szavazat alapján

Lehetővé teszi az országok körvonalainak más területekre való ráfedését, figyelembe véve a Mercator-vetület torzulásainak kompenzációját. Ezt a vetületet egykor navigációs célokra hozták létre - a pontosság érdekében kölcsönös megegyezés az „észak–déli” és „nyugat–kelet” tengely mentén fekvő területek. Ennek azonban megvan a maga hátránya - minél közelebb van a pólusokhoz, annál nagyobb a torzítás. Más előrejelzések is komoly torzításokkal rendelkeznek. Ez az oka a felfogásunknak földrajzi térkép is jelentősen torz - mondjuk Grönland a Mercator vetületi térképen háromszor nagyobb területet foglal el, mint Ausztrália, bár a valóságban 3,5-szer kisebb (!). És minél közelebb van az Egyenlítőhöz, annál kisebb az országok relatív mérete.

Általában ezen az oldalon mindenféle érdekes trükköt hajthat végre, és metamorfózisokat nézhet különböző országok fedvényben. Még az is meglepő, hogy egy ilyen oldal nem jelent meg korábban - az alapötlet annyira jó. Néha csodálatos hatásokat érhet el, amelyek megtörik a megszokott mintákat. Alternatív megoldásként az ország körben forgatható, ebben az esetben a vetítési kompenzációkat is figyelembe veszik.

Lássunk néhány hatást.
Itt van például néhány európai ország átfedése az indonéz szigeteken. Nézd, milyen szerényen nagy Franciaország Kalimantanon (jobbra). A Cseh Köztársaság Dél-Malajzia és Szingapúr (középen), Norvégia pedig Szumátrán a bal oldalon található. Európai viszonylatban nagyon hosszú, valójában csak valamivel hosszabb Szumátra szigeténél.

2. Kína Kelet-Eurázsiában. Ha kijavítod nyugati határ a Tallinn - Prága vonalon, majd a kelet (Mandzsúria) Novoszibirszktől keletre, a Liaodong-félsziget pedig valahol az Asztana régióban lesz. Hainan Közép-Iránban lesz.

3. Ausztrália Kelet-Eurázsiában. Itt látszik a legtisztábban a Mercator-vetület kompenzációja: Münchentől Cseljabinszkig, sőt még inkább délről északra terjed. Itt láthatja, milyen kolosszális sivatagi területek vannak Ausztráliában - nem kevésbé, mint Szibéria fagyos kiterjedése, mert többé-kevésbé csak délkeleten, nyugaton pedig egy keskeny sáv lakott.

4. Mexikó Európáról. A francia Bresttől majdnem egészen Nyizsnyij Novgorod. A mexikói Kalifornia pedig Normandiától Velencéig terjed.

5. Indonézia Kelet-Eurázsiában. A szigetek hossza megegyezik az Észak-Írországtól Közép-Kazahsztánig terjedő távolsággal, és Kalimantan egyedül könnyedén lefedi az egész balti régiót az orosz északnyugattal.

6. Egyesült Államok Kelet-Eurázsiában. Tallinnból – több, mint Krasznojarszkba!

7. Kazahsztán Európáról. Általában véve is nagyon tekintélyes: Nyugat-Franciaországtól majdnem Harkovig. Lefedi a kontinentális Európa nagy részét.

8. Irán Észak-Európában: a norvég Lofotentől Kazanyig :)

9. Vietnam az európai Oroszországban. Függőlegesen megegyezik a 7-es számú, Leningrád - Szevasztopol vonat távolságával, de vízszintesen sem semmi: Moszkvától Cseljabinszkig, és ívesen.

További érdekes összehasonlítások.

10. Kamcsatka és Nagy-Britannia. Elég kicsi: a Lopatka-foktól Palanáig.

11. Észtország olyan, mint Libéria egyharmada, ami elvileg kicsi.

12. Ausztria, Magyarország, Belgium Madagaszkáron.

Nézzük most az orosz megfelelőket.

13. Oroszország Ausztráliáról. Ha Perth a Makhachkala régióban van, akkor Melbourne valahol Barnaul közelében van. Szilárd. De mindazonáltal Oroszország majdnem a Fidzsi-szigetekig terjed.

14. Oroszország Afrikáról. Kuban Dél-Afrika régiójában (Novorossiysk, mint Fokváros) - Kamcsatka eléri Anatólia déli részét, körülbelül ott, ahol Antalya található.

15. Oroszország tovább Dél Amerika. Ha a Tierra del Fuego körülbelül ott van, ahol Csecsenföld található, akkor Kamcsatka a kolumbiai régióban, Chukotka pedig a Panama-csatornától északra található. Látod, milyen kolosszális az országunk? Több, mint egy egész kontinens.

16. Oroszország tovább Észak Amerika. San Francisco a Krím régióban található - Chukotka szinte Írország közelében van. Itt egyébként jól látható az Atlanti-óceán északi részének óceáni kiterjedésének mérete.

17. Luxemburg Szentpéterváron. Nem is olyan kicsi :)))

18. Ezen a területen (Banglades, kékkel jelölve) - 168 millió ember él!!! El tudod képzelni a népsűrűséget? És nem kényelmes mérsékelt éghajlat, és a párás trópusi dzsungel és a Gangesz és a Brahmaputra csatornái...

19. Desszertnek pedig Chili a Transzszibériai Vasút mentén. Mint látható, egy keskeny sávban fedi le a Moszkvától a Bajkálig terjedő távolságot.

Ezek érdekes összehasonlítások :)